Bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Có $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \frac{{348\pi }}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Thể tích của vật thể là $V = \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Có $V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sqrt 3 }}{4}{{\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)}^2}dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = \left. { - \sqrt 3 \cos x} \right|_0^\pi = 2\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: C

Diện tích thiết diện $S\left( x \right) = 3.\frac{{{{\left( {2x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{x^2}\sqrt 3$.

Do đó thể tích vật thể $V = \int\limits_1^4 {3{x^2}\sqrt 3 dx} = \left. {\sqrt 3 {x^3}} \right|_1^4 = 63\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: C

$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx}$.

Đáp án đúng là: D

Có x$^{2}$ – 2x = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Thể tích $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16\pi }}{{15}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 6} \right)}^2}dx} = \frac{{552\pi }}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Có $V = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}$$= \left. {\left( {4x - \frac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{16}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $V = \pi \int\limits_2^5 {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^5 {\left( {x - 1} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Có $\sqrt x .{e^{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Thể tích cần tính là $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x {e^{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {x{e^{2{x^2}}}dx} = \left. {\frac{\pi }{4}{e^{2{x^2}}}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{4}\left( {{e^2} - 1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = $\sqrt x$ liên tục và không âm trên đoạn [0; 3].

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V = \pi \int_0^3 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^3 x dx = \left. {\pi \frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 = \pi \left( {\frac{{{3^2}}}{2} - \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = \frac{{9\pi }}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Diện tích thiết diện của vật thể tại hoành độ x là S(x) = x$^{2}$.

Thể tích của vật thể được tính bằng tích phân của diện tích thiết diện:

$V = \int_1^4 {S\left( x \right)} dx = \int_1^4 {{x^2}} dx = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^4 = \frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{1^3}}}{3} = \frac{{64}}{3} - \frac{1}{3} = 21$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bình phương của hàm số sinh ra khối tròn xoay là ${\left( {{e^{x - 1}}} \right)^2} = {e^{2x - 2}}$.

Thể tích khối tròn xoay

$V = \pi \int_1^2 {{{\left( {{e^{x - 1}}} \right)}^2}} dx = \pi \int_1^2 {{e^{2x - 2}}} dx = \left. {\pi \frac{{{e^{2x - 2}}}}{2}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^0}}}{2}} \right) = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: x$^{2}$ = 2x <=> x$^{2}$ − 2x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng

$V = \pi \int_0^2 {\left| {{{\left( {2x} \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|} dx = \pi \int_0^2 {\left( {4{x^2} - {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \pi \left( {\frac{{32}}{3} - \frac{{32}}{5}} \right) = \frac{{64\pi }}{{15}}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích của thiết diện tam giác đều cạnh $a = \sqrt {\sin x}$ là S(x) = $\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{\sqrt 3 \sin x}}{4}$.

Thể tích của không gian mái vòm được tính bằng tích phân diện tích thiết diện:

$V = \int_0^\pi {S\left( x \right)} dx = \int_0^\pi {\frac{{\sqrt 3 \sin x}}{4}} dx = \left. {\frac{{\sqrt 3 \left( { - \cos x} \right)}}{4}} \right|_0^\pi = \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bắt buộc phải có hằng số p, tức là V = $\pi \int_1^2 {{x^6}} dx$.

b) Đúng. Ta có bình phương hàm số là ${\left( {{x^3}} \right)^2} = {x^6}$.

c) Đúng. Đạo hàm f'(x) = 3x$^{2}$ > 0 với mọi x thuộc [1; 2], và f(1) = 1 > 0 nên hàm luôn dương.

d) Đúng. $V = \pi \int_1^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}} dx = \pi \int_1^2 {{x^6}} dx = \left. {\pi \frac{{{x^7}}}{7}} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{{{2^7}}}{7} - \frac{{{1^7}}}{7}} \right) = \pi \left( {\frac{{128 - 1}}{7}} \right) = \frac{{127\pi }}{7}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích hai cạnh, do đó S(x) = $x\sqrt {{x^2} + 1}$.

b) Đúng. $V = \int_0^2 {S\left( x \right)dx} = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx$.

c) Đúng. Đặt u = x$^{2}$ + 1 => du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 => u = 1; x = 2 => u = 5.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích

$V = \int_0^2 {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \frac{1}{2}\int_1^5 {\sqrt u } du = \frac{1}{2}\int_1^5 {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \left. {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^5 = \left. {\frac{1}{3}u\sqrt u } \right|_1^5 = \frac{{5\sqrt 5 - 1}}{3}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình $\cos x = 0$ trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$, ta thu được nghiệm duy nhất x = $\frac{\pi }{2}$.

b) Sai. Công thức tính thể tích khối tròn xoay phải chứa bình phương hàm số, tức là $V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx$.

c) Đúng. Công thức hạ bậc là phương pháp chuẩn để xử lý tích phân của bình phương hàm lượng giác.

d) Đúng. $V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}x} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\left( {\frac{\pi }{4} + 0} \right) - 0} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình $\sqrt x = x \Leftrightarrow x = {x^2}$ (do x ≥ 0) <=> x(1 − x) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.

b) Sai. Lấy giá trị x = $\frac{1}{4}$ thuộc (0; 1), ta có $\sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$. Do đó đồ thị y = $\sqrt x$ nằm phía trên y = x.

c) Sai. Công thức tính thể tích tạo bởi hai đường cong quay quanh trục Ox phải là V = $\pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx$.

d) Đúng. Thực hiện tính thể tích khối tròn xoay:

$V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0} \right) = \frac{\pi }{6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Đường kính là $2\sqrt {1 - {x^2}}$, do đó bán kính của hình bán nguyệt phải là R(x) = $\sqrt {1 - {x^2}}$.

b) Đúng. Diện tích hình bán nguyệt bằng một nửa diện tích hình tròn:

S(x) = $\frac{1}{2}\pi {R^2}(x) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)$.

c) Đúng. Ta có $S\left( { - x} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {{\left( { - x} \right)}^2}} \right) = \frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right) = S\left( x \right)$, nên S(x) là hàm chẵn.

d) Đúng. Vì S(x) là hàm chẵn nên ta tích phân liên tục để tính thể tích:

$V = \int_{ - 1}^1 {S\left( x \right)} dx = 2\int_0^1 {\frac{\pi }{2}\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \int_0^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\pi }}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 36

Thể tích khối tròn xoay cần tính được biểu diễn bằng tích phân:

$V = \pi \int_0^3 {{{\left( {2x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^3 {4{x^2}} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3 = \pi \left( {\frac{{4 \cdot 27}}{3} - 0} \right) = 36\pi$.

Do đó, giá trị của k = $\frac{{36\pi }}{\pi } = 36$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể qua diện tích thiết diện:

$V = \int_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 2x} \right)} dx = \left. {\left( {{x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = \left( {{2^3} + {2^2}} \right) - 0 = 8 + 4 = 12$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Có ${\left( {\sqrt {3{x^2} + 1} } \right)^2} = 3{x^2} + 1$.

Thể tích khối tròn xoay là: $V = \pi \int_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)} dx = \pi \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2 = \pi \left( {\left( {{2^3} + 2} \right) - 0} \right) = 10\pi$.

Đồng nhất với biểu thức V = a$π$, ta tìm được a = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Phương trình hoành độ giao điểm:

${x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow {x^4} = x$ (do x ≥ 0) <=> x(x$^{3}$ − 1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1.

$V = \pi \int_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|} dx = \pi \int_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1 = \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{{3\pi }}{{10}}$.

Đồng nhất với biểu thức, ta có a = 3, b = 10. Tổng a + b = 3 + 10 = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 37,7

Thể tích khối nón tròn xoay này được tính thông qua tích phân:

$V = \pi \int_0^4 {{{\left( {\frac{3}{4}x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^4 {\frac{9}{{16}}{x^2}} dx = \pi \left. {\left( {\frac{9}{{16}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \pi \left( {\frac{3}{{16}} \cdot 64 - 0} \right) = 12\pi \approx 37{,}7$.