Bài tập Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có $S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1} \right|dx} = - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx = - } \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^2 = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = 6$.

Đáp án đúng là: D

Có $S = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx}$. (vì 2x$^{2}$ + 1 > 0, ∀x [0; 1]).

Đáp án đúng là: B

Ta có $S = \int\limits_1^3 {\left| {\frac{2}{{x + 1}}} \right|dx}$$= \int\limits_1^3 {\frac{2}{{x + 1}}dx}$$= \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^3 = 2\ln 4 - 2\ln 2 = 2\ln 2 = \ln 4$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$$= - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)dx}$.

Đáp án đúng là: A

Có $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {4 + 2x - {x^2} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {4 + 2x - 2{x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {4x + {x^2} - \frac{{2{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = 9$.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x$^{3}$ – x = 2x$^{2}$ – x x$^{3}$ – 2x$^{2}$ = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^3} - x} \right) - \left( {2{x^2} - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2}} \right|dx = - \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)} = \frac{4}{3}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có x$^{3}$ + 11x – 6 = 6x$^{2}$ x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 11x – 6 = 0 x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3.

Ta có

$S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx}$

$= \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có hai hàm số y = x$^{2}$ + x – 2 và y = −x + 1.

Dựa vào đồ thị ta có $S = \int\limits_{ - 3}^1 {\left| {\left( {{x^2} + x - 2} \right) - \left( { - x + 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)dx} = \frac{{32}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì x$^{3}$ + 2 > 0 với mọi x thuộc đoạn [0; 2] nên đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục hoành.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^2 {\left( {{x^3} + 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_0^2 = \left( {\frac{{{2^4}}}{4} + 2 \cdot 2} \right) - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} + 2 \cdot 0} \right) = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm: x2 − 2x = 0 Û x(x − 2) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.

Vì hàm số đổi dấu tại x = 2 trên đoạn [0; 3] nên ta tách tích phân và tính, khi đó:

$S = \int_0^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|} dx = \int_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)} dx + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3$

$= \left( {{2^2} - \frac{{{2^3}}}{3}} \right) - 0 + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - {3^2}} \right) - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right) = \frac{4}{3} + 0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right) = \frac{8}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì x thuộc đoạn [0; 2] nên x + 2 > 0, biểu thức luôn nhận giá trị dương.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^2 {\frac{3}{{x + 2}}} dx = \left. {3\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^2 = 3\ln \left( {2 + 2} \right) - 3\ln \left( {0 + 2} \right) = 3\ln 4 - 3\ln 2 = 3\ln \left( {\frac{4}{2}} \right) = 3\ln 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

x$^{3}$ − x = 3x$^{2}$ − x <=> x$^{3}$ − 3x$^{2}$ = 0 <=> x$^{2}$(x − 3) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 3.

Trên đoạn [0; 3], ta có x$^{3}$ − 3x$^{2}$ ≤ 0 nên |x$^{3}$ − 3x$^{2}$| = 3x$^{2}$ − x$^{3}$.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^3 {\left| {\left( {{x^3} - x} \right) - \left( {3{x^2} - x} \right)} \right|} dx = \int_0^3 {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} dx = \left. {\left( {{x^3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^3 = {3^3} - \frac{{{3^4}}}{4} = \frac{{27}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:

$$2x\sqrt {{x^2} + 1} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\\\sqrt {{x^2} + 1} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.$$

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Trên đoạn [0; $\sqrt 3$], hàm số luôn nhận giá trị không âm.

Đặt u = x$^{2}$ + 1 => du = 2xdx. Đổi cận: x = 0 => u = 1; x = $\sqrt 3$ Þ u = 4.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \int_1^4 {\sqrt u } du = \int_1^4 {{u^{\frac{1}{2}}}} du = \left. {\left( {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^4 = \frac{2}{3} \cdot {4^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3} \cdot {1^{\frac{3}{2}}} = \frac{{14}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình x$^{2}$ − x = 0 <=> x(x − 1) = 0 Û x = 0 hoặc x = 1.

b) Sai. Lấy giá trị x = 0,5 thuộc khoảng (0; 1), ta có 0,5$^{2}$ − 0,5 = −0,25 < 0 nên đồ thị nằm dưới trục hoành.

c) Sai. Công thức đúng phải chứa dấu giá trị tuyệt đối: S = $\int_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx$.

d) Đúng. $S = \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2$

$= \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) - 0 + \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{2^2}}}{2}} \right) - \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Khai triển y = (x − 1)$^{2}$ − 1 = x$^{2}$ − 2x + 1 − 1 = x$^{2}$ − 2x.

b) Sai. Phương trình x$^{2}$ − 2x = 0 có nghiệm x = 0 và x = 2. Trên (0; 2), hàm số nhận giá trị âm.

c) Đúng. $\int_0^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx} = \int_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)} dx + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)} dx$.

d) Đúng. Thực hiện tính diện tích:

$S = \int_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)} dx + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3$

$= \left( {{2^2} - \frac{{{2^3}}}{3}} \right) - 0 + \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - {3^2}} \right) - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right) = \left( {4 - \frac{8}{3}} \right) + 0 - \left( {\frac{8}{3} - 4} \right) = \frac{8}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Giải phương trình x$^{3}$ − 4x$^{2}$ + 3x = 0 <=> x(x$^{2}$ − 4x + 3) = 0 <=> x = 0, x = 1 hoặc x = 3.

b) Sai. Lấy x = 2 thuộc khoảng (1; 3), ta có 2$^{3}$ − 4·2$^{2}$ + 3·2 = −2 < 0. Do đó đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

c) Đúng. Đồ thị nằm phía trên trục hoành tương ứng với đoạn [0; 1]:

${S_1} = \int_0^1 {\left( {{x^3} - 4{x^2} + 3x} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{4{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{5}{{12}}$.

d) Đúng. Diện tích phần nằm dưới trục hoành tương ứng đoạn [1; 3]:

${S_2} = \int_1^3 {\left( { - {x^3} + 4{x^2} - 3x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3 = \left( { - \frac{{81}}{4} + 36 - \frac{{27}}{2}} \right) - \left( { - \frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{3}{2}} \right) = \frac{{32}}{{12}}$

Tổng diện tích $S = {S_1} + {S_2} = \frac{5}{{12}} + \frac{{32}}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm: 4 − x$^{2}$ = x$^{2}$ − 2x <=> 2x$^{2}$ − 2x − 4 = 0.

b) Đúng. Giải phương trình 2x$^{2}$ − 2x − 4 = 0 <=> x = −1 hoặc x = 2.

c) Sai. Tại x = 0 thuộc đoạn [−1; 2], y = 4 − 0$^{2}$ = 4 và y = 0$^{2}$ − 2·0 = 0.

Vì 4 > 0 nên đồ thị y = 4 − x$^{2}$ nằm phía trên.

d) Đúng. Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_{ - 1}^2 {\left( {4 - {x^2} - \left( {{x^2} - 2x} \right)} \right)} dx = \int_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{3} + {x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^2$

$= \left( { - \frac{{16}}{3} + 4 + 8} \right) - \left( {\frac{2}{3} + 1 - 4} \right) = \frac{{20}}{3} - \left( { - \frac{7}{3}} \right) = 9$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x$^{4}$ − 4x$^{2}$ + 4 = x$^{2}$ <=> x$^{4}$ − 5x$^{2}$ + 4 = 0.

b) Sai. Ta có x$^{4}$ − 5x$^{2}$ + 4 = (x$^{2}$ − 1)(x$^{2}$ − 4).

Trên đoạn [0; 1], ta có x$^{2}$ − 1 ≤ 0 và x$^{2}$ − 4 < 0 nên tích của chúng luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

c) Đúng. $S = \int_0^1 {\left| {\left( {{x^4} - 4{x^2} + 4} \right) - {x^2}} \right|} = \int_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)} dx$.

d) Đúng. Thực hiện tính diện tích:

$S = \int_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{5{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = \left( {\frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 4} \right) - 0 = \frac{{38}}{{15}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Vì 4x$^{3}$ ≥ 0 với mọi x thuộc đoạn [0; 2] nên đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Diện tích hình phẳng cần tính là: $S = \int_0^2 {4{x^3}} dx = \left. {{x^4}} \right|_0^2 = {2^4} - {0^4} = 16$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Phương trình hoành độ giao điểm: 6x − 3x$^{2}$ = 0 <=> 3x(2 − x) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.

Trên đoạn [0; 2], ta có 6x − 3x$^{2}$ ≥ 0 nên diện tích hình phẳng là:

$S = \int_0^2 {\left( {6x - 3{x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {3{x^2} - {x^3}} \right)} \right|_0^2 = \left( {3 \cdot {2^2} - {2^3}} \right) - 0 = 12 - 8 = 4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4,5

Phương trình hoành độ giao điểm: x$^{2}$ + 2 = x + 4 <=> x$^{2}$ − x − 2 = 0 <=> x = −1 hoặc x = 2.

Trên đoạn [−1; 2], đồ thị y = x + 4 nằm phía trên đồ thị y = x$^{2}$ + 2.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 4 - \left( {{x^2} + 2} \right)} \right)} dx = \int_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2$

$= \left( { - \frac{8}{3} + 2 + 4} \right) - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2} \right) = \frac{{10}}{3} - \left( { - \frac{7}{6}} \right) = 4{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Phương trình hoành độ giao điểm: −x$^{2}$ + 5x = x$^{2}$ − x <=> 2x$^{2}$ − 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 3.

Trên đoạn [0; 3], ta có (−x$^{2}$ + 5x) − (x$^{2}$ − x) = −2x$^{2}$ + 6x ≥ 0.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^3 {\left( { - 2{x^2} + 6x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{3} + 3{x^2}} \right)} \right|_0^3 = \left( { - 18 + 27} \right) - 0 = 9$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

Phương trình hoành độ giao điểm: x$^{3}$ − 3x$^{2}$ + 2x = 0 <=> x(x$^{2}$ − 3x + 2) = 0 <=>. x = 0, x = 1 hoặc x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S = \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( { - {x^3} + 3{x^2} - 2x} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + {x^2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + {x^3} - {x^2}} \right)} \right|_1^2$

$= \left( {\frac{1}{4} - 1 + 1} \right) - 0 + \left( { - 4 + 8 - 4} \right) - \left( { - \frac{1}{4} + 1 - 1} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0{,}5$.