Bài tập Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Động năng của quả bóng được nói đến ở bài toán chính là giá trị của hàm số $E = \frac{1}{2}m{v^2}$ tại m = 1,5 kg và v = 8 m/s.

Vậy động năng của quả bóng đó là: $E = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot {8^2} = 48$ (J).

Đáp án đúng là: C

Sau khi rơi được 3 giây thì quãng đường chuyển động của vật là: s = 4.3$^{2}$ = 36 (m).

Vậy lúc đó, vật còn cách mặt đất là: 400 – 36 = 364 (m).

Đáp án đúng là: C

Thay s = 100 vào s = 4t$^{2}$, ta được:

100 = 4.t$^{2}$

t$^{2}$ = 25

Suy ra t = 5 (do t > 0).

Vậy thời gian để vật chuyển động hết quãng đường 100 m là 5 giây.

Đáp án đúng là: D

Vật chạm đất khi quãng đường chuyển động là 400 m.

Thay s = 400 vào s = 4t$^{2}$, ta được:

400 = 4.t$^{2}$

t$^{2}$ = 100

Suy ra t = 10 (do t > 0).

Vậy mất 10 giây để vật chạm đất khi rơi tự do từ độ cao 400 m.

Đáp án đúng là: C

Khi du khách cách mặt đất 71,5 mét thì người đó đã rơi được quãng đường là:

S = 234 – 71,5 = 162,5 (m).

Thay S = 162,5 vào $S = \frac{{13}}{2}{t^2},$ ta được:

$162{,}5 = \frac{{13}}{2}{t^2},$ suy ra t$^{2}$ = 25 nên t = 5 (do t > 0).

Vậy sau 5 giây thì du khách cách mặt đất 71,5 mét.

Đáp án đúng là: B

Thay v = 2 và F = 120 vào công thức F = av$^{2}$, ta được:

120 = a.2$^{2}$

120 = a.4

a = 30.

Vậy hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là F = 30v$^{2}$.

Đáp án đúng là: D

Thay v = 2 và F = 120 vào công thức F = av$^{2}$, ta được:

120 = a.2$^{2}$

120 = a.4

a = 30.

Do đó, hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là F = 30v$^{2}$.

Thay v = 10 vào hàm số F = 30v$^{2}$, ta được:

F = 30.10$^{2}$ = 3 000 (N).

Vậy tốc độ của gió là 10 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là 3 000 N.

Đáp án đúng là: C

Thay v = 2 và F = 120 vào công thức F = av$^{2}$, ta được:

120 = a.2$^{2}$

120 = a.4

a = 30.

Do đó, hàm số biểu thị lực tác động lên cánh buồm của con thuyền là F = 30v$^{2}$.

Theo bài, cánh buồm của con thuyền chỉ chịu được lực tác động tối đa là 12 000 N nên ta có bất phương trình: F ≤ 12 000 hay 30v$^{2}$ ≤ 12 000.

Giải bất phương trình:

30v$^{2}$ ≤ 12 000

v$^{2}$ ≤ 400

v$^{2}$ – 400 ≤ 0

(v + 20)(v – 20) ≤ 0

v – 20 ≤ 0 (do v + 20 > 0).

0 < v ≤ 20.

Như vậy, con thuyền có thể ra khơi khi tốc độ gió không vượt quá 20 m/s = 72 km/h.

>

Đáp án đúng là: B

Ta mô hình hóa bài toán trên như hình vẽ sau:

Trong đó OH = 4 m, OB = $2\sqrt 5$ m và MN = PQ = 2,4 m.

Khi đó, $PH = \frac{1}{2}PQ = 1{,}2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

⦁ Xét ∆OHB vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB$^{2}$ = OH$^{2}$ + HB$^{2}$

Suy ra HB$^{2}$ = OB$^{2}$ – OH$^{2}$ = ${\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}$ – 4$^{2}$ = 4.

Do HB = 2 (m).

Như vậy, ta có điểm B(2; –4) thuộc parabol (P): y = ax$^{2}$ (a ≠ 0).

Thay x = 2, y = –4 vào hàm số y = ax$^{2}$, ta được:

–4 = a.2$^{2}$

–4 = a.4

a = –1 (thỏa mãn a ≠ 0).

Do đó, hàm số (P): y = –x$^{2}$.

⦁ Giả sử khối hàng MNPQ khi đi qua cổng thì vừa chạm vào cổng.

Khi đó, giả sử điểm N(1,2; y$_{0}$) thuộc (P).

Thay x = 1,2 và y = y$_{0}$ vào hàm số y = –x$^{2}$, ta được:

y$_{0}$ = –(1,2)$^{2}$ = –1,44.

Do đó, NP = 4 – 1,44 = 2,56 (m).

Vậy chiều cao của khối hàng không vượt quá 2,5 mét để có thể đi qua cổng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất và nếu khối hàng cao 2,6 m thì không đi qua cổng được).

Đáp án đúng là: C

Do (P): y = ax$^{2}$ (a ≠ 0) đi qua điểm N(45; 9) nên ta có:

Do đó 9 = a.45$^{2}$ hay 2025a = 9, suy ra $a = \frac{1}{{225}}$ (thỏa mãn).

Khi đó, ta có hàm số $y = \frac{1}{{225}}{x^2}.$

Đường thẳng vuông góc Oy tại F cắt (P) tại A, B với x$_{B}$ > 0.

Ta có ${y_B} = OF = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{2}FB = \frac{1}{2}{x_B}.$ Khi đó, $B\left( {{x_B};\frac{1}{2}{x_B}} \right).$

Lại có $B\left( {{x_B};\frac{1}{2}{x_B}} \right)$ thuộc (P) nên $\frac{1}{2}{x_B} = \frac{1}{{225}}x_B^2.$

Giải phương trình:

$$\frac{1}{2}{x_B} = \frac{1}{{225}}x_B^2$$

$$\frac{1}{{225}}x_B^2 - \frac{1}{2}{x_B} = 0$$

$${x_B}\left( {\frac{1}{{225}}{x_B} - \frac{1}{2}} \right) = 0$$

x$_{B}$ = 0 hoặc $\frac{1}{{225}}{x_B} - \frac{1}{2} = 0$

x$_{B}$ = 0 (loại) hoặc ${x_B} = \frac{{225}}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy $OF = \frac{1}{2}{x_B} = \frac{{225}}{4} = 56{,}25{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: D

Thay x = 4 vào hàm số y = 5x$^{2}$ ta có: y = 5.4$^{2}$ = 80 (cm$^{3}$).

Vậy thể tích hình lăng trụ bằng 80 cm$^{3}$ khi cạnh đáy bằng 4 cm.

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số y = at$^{2}$ đi qua điểm A(5; 200) nên 200 = a.5$^{2}$ suy ra a = 8.

Vậy a = 8.

Đáp án đúng là: C

Thay v = 2,5 và F = 250 vào F = av$^{2}$ ta có 250 = a.2,5$^{2}$, suy ra a = 40. Vậy F = 40v$^{2}$.

Đáp án đúng là: D

Thay y = 150 vào hàm số y = 6t$^{2}$ ta có: 150 = 6.t$^{2}$ nên t = 5 (do t > 0).

Vậy chiếc xe đó đi được 150 m sau 5 giây.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Thay r = 5 vào S = πr$^{2}$ ta có: S = π.5$^{2}$ = 25π.

Vậy diện tích của hình tròn bằng 25π (cm$^{2}$) khi độ dài bán kính đường tròn bằng 5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Quãng đường vật rơi tự do có công thức là s = 4t$^{2}$ nên quãng đường vật rơi tự do là một parabol.

b) Đúng.

Thay t = 2 vào s = 4t$^{2}$ta có: s = 4.2$^{2}$ = 16 (m).

Vậy sau 2 giây, vật rơi tự do được 16 m.

c) Sai.

Sau 2 giây, vật cách mặt đất: 100 – 16 = 84 (m).

Vậy sau 2 giây, vật cách mặt đất 84 m.

d) Đúng. Vật chạm đất thì quãng đường vật rơi là s = 100 m. Do đó, 100 = 4t$^{2}$ nên t = 5 (do t > 0).Vậy sau 5 giây thì vật chạm đất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Diện tích xung quanh của hình lập phương là: 4x$^{2}$ (cm$^{2}$).

b) Đúng.

Diện tích toàn phần của hình lập phương là: S = 4x$^{2}$ + 2x$^{2}$ = 6x$^{2}$ (cm$^{2}$).

Vậy diện tích toàn phần của hình lập phương là S = 6x$^{2}$(cm$^{2}$).

c) Đúng.

Vì hàm số biểu diễn diện tích toàn phần hình lập phương có dạng S = 6x$^{2}$(cm$^{2}$) nên đồ thị hàm số biểu diễn diện tích toàn phần của hình lập phương là một parabol.

d) Đúng.

Thay S = 96 vào S = 6x$^{2}$ta có: 96 = 6x$^{2}$ nên x = 4 (do x > 0).

Vậy khi diện tích toàn phần của hình lập phương bằng 96 cm$^{2}$ thì độ dài cạnh hình lập phương bằng 4 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì C là trung điểm của AB nên AC = CB = AB : 2 = 4 (m). Vậy AC = 4 m.

b) Sai.

Vì OC = 4 m và AC = 4 m nên A(–4; 4).

c) Sai.

Vì điểm A(–4; 4) thuộc parabol y = ax$^{2}$ nên 4 = a.(–4)$^{2}$, suy ra ${\rm{a}} = \frac{1}{4}$. Vậy ${\rm{a}} = \frac{1}{4}$.

d) Sai.

Thay x = 3 vào y = $\frac{1}{4}$x$^{2}$ ta có: y = $\frac{1}{4} \cdot {3^2} = \frac{9}{4} \ne \frac{3}{4}$.

Vậy điểm ${\rm{D}}\left( {3;\;\,\frac{3}{4}} \right)$ không thuộc parabol nói trên

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì quả bóng ở vị trí O thì cách mặt đất 20 m nên OK = 20 m. Vậy OK = 20 m.

b) Sai.

Vì K là trung điểm của AB nên AK = BK = 40 : 2 = 20 (m).

Lại có OK = 20 m nên B(20; –20) (do parabol hướng xuống dưới). Vậy B(20; –20).

c) Đúng.

Vì B(20; –20) thuộc đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ nên –20 = a.20$^{2}$, suy ra ${\rm{a}} = \frac{{ - 1}}{{20}}.$

Vậy (P): ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{{20}}{{\rm{x}}^2}.$

d) Đúng.

Thay x = 10 vào ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{{20}}{{\rm{x}}^2}$ ta có: ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{{20}}{{\rm{x}}^2} = \frac{{ - 1}}{{20}} \cdot {10^2} = - 5$.

Vậy điểm C(10; –5) thuộc quỹ đạo của quả bóng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì chiều rộng chân của vòm cổng bẳng 6 m và A, B là hai điểm ứng với hai chân cổng nên AB = 6 m. Vậy AB = 6 m.

b) Đúng.

Thay x = 3 vào ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{2}{{\rm{x}}^2}$ ta có: ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{2} \cdot {{\rm{3}}^2} = \frac{{ - 9}}{2}$. Vậy ${\rm{B}}\left( {3;\frac{{ - 9}}{2}} \right)$.

c) Sai.

Vì đỉnh cổng trùng với gốc O; A, B nằm là hai điểm ứng với hai chân cổng và ${\rm{B}}\left( {3;\frac{{ - 9}}{2}} \right)$ nên chiều cao của cổng bằng $\left| {\frac{{ - 9}}{2}} \right| = \frac{9}{2}\;\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy chiều cao cổng bằng 4,5 m.

d) Sai.

Ta thấy cổng vòm có chiều cao là 4,5 m và chiều rộng AB = 6 m.

Với x = 2 ta có: ${\rm{y}} = \frac{{ - 1}}{2} \cdot {{\rm{2}}^2} = - 2$.

Chiều cao tối đa mà xe tải có thể đi qua được là: 4,5 – |–2| = 2,5.

Vì 2,5 m < 3 m nên xe tải không đi qua được cổng trên.

Đáp án: 3,5

Thay v = 3 vào ${\rm{K}} = \frac{1}{2}{{\rm{v}}^2}$ ta có: ${\rm{K}} = \frac{1}{2} \cdot {{\rm{3}}^2} = 4{,}5$.

Thay v = 4 vào ${\rm{K}} = \frac{1}{2}{{\rm{v}}^2}$ ta có: ${\rm{K}} = \frac{1}{2} \cdot {{\rm{4}}^2} = 8$.

Vì 8 – 4,5 = 3,5 nên động năng của quả bưởi khi rơi vận tốc 4 m/s lớn hơn khi rơi vận tốc 3 m/s là 3,5 J.

Đáp án: 20

Vận động viên mở dù khi đã rơi tự do được: s = 3 000 – 1 000 = 2 000 (m).

Thay s = 2 000 vào s = $\frac{1}{2}$gt$^{2}$ta có: 2 000 = $\frac{1}{2}$.10t$^{2}$ nên t = 20 (do t > 0).

Vậy sau 20 giây thì vận động viên phải mở dù để khoảng cách đến mặt đất 1 000 m.

Đáp án: 20

Thay v = 3 và F = 315 vào F = av$^{2}$ ta có: 315 = a.3$^{2}$ nên a = 35. Do đó, F = 35v$^{2}$.

Vì con thuyền chỉ chịu được lực tác động tối đa là 14 000 N nên ta có:

35v$^{2}$ ≤ 14 000

v$^{2}$ ≤ 400

v ≤ 20.

Vậy con thuyền có thể ra khơi khi tốc độ của gió không vượt quá 20 m/s.

Đáp án: 16

Diện tích hình tròn bán kính r$_{1}$ là ${{\rm{S}}_1} = {\rm{\pi r}}_1^2$.

Diện tích hình tròn bán kính r là ${\rm{S}} = {\rm{\pi r}}$.

Ta có: $\frac{{\rm{S}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}} = \frac{{{\rm{\pi }}{{\rm{r}}^2}}}{{{\rm{\pi r}}_1^2}} = {\left( {\frac{{\rm{r}}}{{{{\rm{r}}_1}}}} \right)^2} = 16$. Vậy $\frac{{\rm{S}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}} = 16.$

Đáp án: 62,5

Gắn trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

Do (P): y = ax$^{2}$ (a $\ne$ 0) đi qua N(50; 10) nên ta có: 10 = a.50$^{2}$ nên a = 0,004 (thỏa mãn).

Do đó, (P): y = 0,004x$^{2}$.

Đường thẳng vuông góc với Oy tại F cắt (P) tại A, B (x$_{B}$ > 0) nên A, B thuộc (P): y = 0,004x$^{2}$.

Ta có: y$_{B}$ = OF = $\frac{1}{4}{\rm{AB}} = \frac{1}{2}{\rm{FB}} = \frac{1}{2}{{\rm{x}}_{\rm{B}}}$. Do đó, ${\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{B}}};\;\,\frac{1}{2}{{\rm{x}}_{\rm{B}}}} \right)$.

Vì ${\rm{B}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{B}}};\;\,\frac{1}{2}{{\rm{x}}_{\rm{B}}}} \right)$ thuộc (P): y = 0,004x$^{2}$ nên $\frac{1}{2}{{\rm{x}}_{\rm{B}}} = 0{,}004{\rm{x}}_{\rm{B}}^2$

${{\rm{x}}_{\rm{B}}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{B}}} - 125} \right) = 0$

x$_{B}$ = 0 (loại) hoặc x$_{B}$ = 125 (thỏa mãn).

Vậy OF = $\frac{1}{2} \cdot 125 = 62{,}5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.