Bài tập Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án

Hướng dẫn giải

Đổi: 1 giờ 1 phút 30 giây = 41/40 h, 1 giờ 3 phút 40 giây = 191/180 h 1 giờ 1 phút 55 giây = 743/720 h

Gọi cự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe lần lượt là x, y, z (km).

Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}\frac{x}{12{,}5}+\frac{y}{3{,}6}+\frac{z}{48}=\frac{41}{40} \\ \frac{x}{12}+\frac{y}{3{,}75}+\frac{z}{45}=\frac{191}{180} \\ \frac{x}{12.5}+\frac{y}{4}+\frac{z}{45}=\frac{743}{720}\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 5, y = 0,75, z = 20.

Vậy ự li của mỗi chặng đua chạy, bơi và đạp xe lần lượt là 5 km; 0,75 km; 20 km.

Hướng dẫn giải

Gọi lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là x, y, z (mililít).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).

– Dung dịch mới có nồng độ 18%, suy ra

$\frac{10\%x+20\%y+40\%z}{100}=18\%$

$\Rightarrow 10\%x+20\%y+40\%z=100.18\%\Rightarrow x+2y+4z=180$ (2).

– Lượng dung dịch nồng độ 10% gấp bốn lần lượng dung dịch nồng độ 40%, suy ra x = 4z hay x – 4z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=100 \\ x+2y+4z=180 \\ x-4z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 40, y = 50, z = 10.

Vậy lượng dung dịch mỗi loại acid 10%, 20% và 40% mà nhà hoá học sử dụng lần lượt là 40 ml, 50 ml và 10 ml.

Hướng dẫn giải

Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7; suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C được tạo ra lần lượt là 23x, 24y và 27z hay 8x, 16y và 128z.

– Tổng số tế bào con tạo ra là 480, suy ra 8x + 16y + 128z = 480 (1).

– Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C, suy ra y = x + z hay x – y + z = 0 (2).

– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra, suy ra 8x + 128z = 2 . 16y hay 8x – 32y + 128z = 0 hay x – 4y + 16z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}8x+16y+127z=480 \\ x-y+z=0 \\ x-4y+16z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 8, y = 10, z = 2.

Vậy số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là 8, 10 và 2.

Hướng dẫn giải

Tổng cường độ dòng điện ra vào vào tại điểm B bằng nhau nên ta có I$_{1}$ + I$_{2}$ = I$_{3}$ (1).

Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B được tính bởi:

U$_{AB}$ = I$_{1}$R$_{1}$ = I$_{2}$R$_{2}$, suy ra 16I$_{1}$ = 8I$_{2}$ (2).

Hiệu điện thế giữa hai điểm A và C được tính bởi:

U$_{AC}$ = I$_{1}$R$_{1}$ + I$_{3}$R$_{3}$ = 16I$_{1}$ + 4I$_{3}$, suy ra 16I$_{1}$ + 4I$_{3}$ = 4 + 5 = 9 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}{I}_{1}+{I}_{2}-{I}_{3}=0 \\ 2{I}_{1}-{I}_{2}=0 \\ 16{I}_{1}+4{I}_{3}=9\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được ${I}_{1}=\frac{9}{28},{I}_{2}=\frac{9}{14},{I}_{3}=\frac{27}{28}.$

Hướng dẫn giải

Thị trường cân bằng khi $\{\begin{matrix}{Q}_{{S}_{1}}={Q}_{{D}_{1}} \\ {Q}_{{S}_{2}}={Q}_{{D}_{2}} \\ {Q}_{{S}_{3}}={Q}_{{D}_{3}}\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-380+x+y=350-x-z \\ -405+x+2y-z=760-2y-z \\ -350-2x+3z=145-x+y-z\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2x+y+z=730 \\ x+4y=1165 \\ x+y-4z=-495\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=125 \\ y=260 \\ z=220\end{matrix}.$

Vậy để thị trường cân bằng thì giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao lần lợt là 125 nghìn đồng, 260 nghìn đồng và 220 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền công ty đã vay từ ba ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

– Công ty đã vay 800 triệu đồng, suy ra x + y + z = 800 (1).

– Tổng số tiền lãi năm đầu tiên công ty phải trả cho ba ngân hàng là 60 triệu đồng, suy ra 6%x + 8%y + 9%z = 60 hay 6x + 8y + 9z = 6000 (2).

– Số tiền lãi công ty trả cho hai ngân hàng A và C là bằng nhau, suy ra 6%x = 9%z hay 2x – 3z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=800 \\ 6x+8y+9z=6000 \\ 2x-3z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 300, y = 300, z = 200.

Vậy số tiền công ty đã vay từ ba ngân hàng A, B, C lần lượt là 300 triệu đồng, 300 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

– Tổng số tiền bác có là 650 triệu đồng, suy ra x + y + z = 650 (1).

– Tổng số tiền lãi bác nhận được sau một năm là 50 triệu đồng, suy ra 8%x + 7,5%y + 7%z = 50 hay 8x + 7,5y + 7z = 5000 (2).

– Số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng, suy ra y – z = 100 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=650 \\ 8x+7{,}5y+7z=5000 \\ y-z=100\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 350, y = 200, z = 100.

Vậy số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là 350 triệu đồng, 200 triệu đồng và 100 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là x, y, z (kilôgam).

Theo đề bài ta có:

– Công ty dùng hết 26400 kg nitơ, suy ra 18%x + 20%y + 24%z = 26400 hay 18x + 20y + 24z = 2640000 (1).

– Công ty dùng hết 4900 kg photphat, suy ra 4%x + 4%y + 3%z = 4900 hay 4x + 4y + 3z = 490000 (2).

– Công ty dùng hết 6200 kg kali, suy ra 5%x + 4%y + 6%z = 4900 hay 5x + 4y + 6z = 620000 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}18x+20y+24z=2640000 \\ 4x+4y+3z=490000 \\ 5x+4y+6z=620000\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 40000, y = 60000, z = 30000.

Vậy khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là 40000kg, 60000kg và 30000 kg.

Hướng dẫn giải

Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra x + y + z = 100 (1).

– Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra 8x + 10y + 12z = 980 hay 4x + 5y + 6z = 490 (2).

– Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra 8x = 12z hay 2x –3z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=100 \\ 4x+5y+6z=490 \\ 2x-3z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 30, y = 50, z = 20.

Vậy số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là 30, 50, 20.

Hướng dẫn giải

Gọi số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).

– Số bạn ở nhóm A sau khi chuyển là: x – $\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z;$

– Số bạn ở nhóm B sau khi chuyển là: y – $\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z;$

Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên ta có:$\{\begin{matrix}x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=x \\ y-\frac{1}{2}y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=y\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}x-z=0\ (2) \\ 2x-3y+2z=0\ (3)\end{matrix}.$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=100 \\ x-z=0 \\ 2x-3y+2z=0\ \end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 30, y = 40, z = 30.

Vậy số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là 30, 40, 30.

Hướng dẫn giải

Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Cửa hàng đã dùng hết 2 l hay 2000 ml sữa đặc, suy ra 20x + 10y + 20z = 2000 hay 2x + y + 2z = 200 (1).

– Cửa hàng đã dùng hết 12,8 l hay 12800 ml sữa tươi, suy ra 100x + 120y + 100z = 12800 hay 5x + 6y + 5z = 640 (2).

– Cửa hàng đã dùng hết 2,9 l hay 2900 ml sữa chua, suy ra 30x + 20y + 20z = 2900 hay 3x + 2y + 2z = 290 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}2x+y+2z=200 \\ 5x+6y+5z=640 \\ 3x+2y+2z=290\ \end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 50, y = 40, z = 30.

Vậy số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là 50, 40, 30.

Hướng dẫn giải

Gọi số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Sau nguyên phân tạo ra 168 tế bào con, suy ra 2x + 2y + 2z = 168 (1).

– Số tế bào A tạo ra gấp bốn lần số tế bào B tạo ra, suy ra 2x = 4 . 2y hay 2x – 4 . 2y = 0 (2).

– Số lần nguyên phân của tế bào C nhiều hơn số lần nguyên phân của tế bào B là bốn lần, suy ra y + 4 = z, suy ra 2y + 4 = 2z hay 16 . 2y – 2z = 0 (3).

Đặt a = 2x, b = 2y, c = 2z thì từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:$\{\begin{matrix}a+b+c=168 \\ a-4b=0 \\ 16b-c=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được a = 32, b = 8, c = 128.

Suy ra x = 5, y = 3, z = 7.

Vậy số lần nguyên phân của mỗi tế bào A, B, C lần lượt là 5, 3, 7.

Tổng cường độ dòng điện ra vào vào tại điểm B bằng nhau nên ta có I$_{1}$ = I$_{2}$ + I$_{3}$ (1).

Hiệu điện thế giữa hai điểm A và C được tính bởi:

U$_{AC}$ = I$_{1}$R$_{1}$ + I$_{3}$R$_{3}$ = 4I$_{1}$ + 8I$_{3}$, suy ra 4I$_{1}$ + 8I$_{3}$ = 6 hay 2I$_{1}$ + 4I$_{3}$ = 3 (2).

Hiệu điện thế giữa hai điểm B và C được tính bởi:

U$_{BC}$ = I$_{2}$R$_{2}$ = I$_{3}$R$_{3}$, suy ra 4I$_{2}$ = 8I$_{3}$ hay I$_{2}$ = 2I$_{3}$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}{I}_{1}-{I}_{2}-{I}_{3}=0 \\ 2{I}_{1}+4{I}_{3}=3 \\ {I}_{2}-2{I}_{3}=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được ${I}_{1}=\frac{9}{10},{I}_{2}=\frac{3}{5},{I}_{3}=\frac{3}{10}.$

Hướng dẫn giải

Gọi x, y, z, t lần lượt là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phương trình phản ứng hoá học:

xCH$_{4}$ + yO$_{2}$$\overset{{t}^{o}}{\rightarrow }$ zCO$_{2}$ + tH$_{2}$O.

Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có x = z (1).

Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 4x = 2t hay 2x = t (2).

Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có 2y = 2z + t (3).

Thay (1) và (2) vào (3) ta được 2y = 2x + 2x hay y = 2x.

Vậy y = 2x, z = x, t = 2x.

Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, khi đó y = 2, z = 1, t = 2.

Vậy phương trình cân bằng phản ứng hoá học là CH$_{4}$ + 2O$_{2}$$\overset{{t}^{o}}{\rightarrow }$ CO$_{2}$ + 2H$_{2}$O.

Hướng dẫn giải

Đổi: 80 giờ = 4800 phút, 160 giờ = 9600 phút, 48 giờ = 2880 phút.

Nhà máy hoạt động hết công suất nghĩa là sử dụng được hết thời gian lao động tối đa.

Gọi số lượng áo thun, áo sơ mi, áo khoác cần sản xuất để nhà máy hoạt động hết công suất lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương).

Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}9x+12y+15z=4800 \\ 22x+24y+28z=9600 \\ 6x+8y+8z=2880\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 80, y = 140, z = 160.

Vậy số lượng áo thun, áo sơ mi, áo khoác cần sản xuất để nhà máy hoạt động hết công suất lần lượt là 80, 140, 160.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bác Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

– Bác Hà có 1 tỉ đồng, suy ra x + y + z = 1000 (1).

– Số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng bằng tổng của 20% số tiền đầu tư vào cổ phiếu và 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu, suy ra z = 20%x + 10%y hay 2x + y – 10z = 0 (2).

– Số tiền lãi là 100 triệu đồng, suy ra 12%x + 8%y + 4%z = 100 hay 3x + 2y + z = 2500 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:$\{\begin{matrix}x+y+z=1000 \\ 2x+y-10z=0 \\ 3x+2y+z=2500\ \end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 650, y = 200, z = 150.

Vậy số tiền bác Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 650 triệu đồng, 200 triệu đồng, 150 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Thị trường cân bằng khi $\{\begin{matrix}{Q}_{{S}_{A}}={Q}_{{D}_{A}} \\ {Q}_{{S}_{B}}={Q}_{{D}_{B}} \\ {Q}_{{S}_{C}}={Q}_{{D}_{C}}\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}4x-y-z-5=-2x+y+z+9 \\ -x+4y-z-5=x-2y+z+3 \\ -x-y+4z-1=x+y-2z-1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}6x-2y-2z=14 \\ 2x-6y+2z=-8 \\ 2x+2y-6z=0\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3x-y-z=7 \\ x-3y+z=-4 \\ x+y-3z=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=4{,}5 \\ y=3{,}75 \\ z=2{,}75\end{matrix}.$

Vậy giá mỗi mỗi sản phẩm A, B, C để thị trường cân bằng lần lượt là 4,5 triệu đồng; 3,75 triệu đồng; 2,75 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Gọi giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}210x+152y+125z=212{,}7 \\ 225x+165y+118z=224{,}4 \\ 254x+186y+130z=252{,}2\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 0,4; y = 0,6; z = 0,3.

Vậy giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là 400 nghìn đồng, 600 nghìn đồng và 300 nghìn đồng.