Bài tập Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = 3x + m$^{2}$ + 1.

Suy ra x$^{2}$ = 3x + m$^{2}$ + 1 hay x$^{2}$ – 3x – m$^{2}$ – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–3)$^{2}$ – 4.1.(–m$^{2}$ – 1) = 9 + 4m$^{2}$ + 4 = 4m$^{2}$ + 13.

Với mọi m ta luôn có m$^{2}$≥ 0, nên 4m$^{2}$ + 13 ≥ 13 > 0 hay ∆ > 0.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 4x$^{2}$ và y = –m

Suy ra 4x$^{2}$ = –m. (*)

Để đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x$^{2}$ có điểm chung thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là –m ≥ 0, hay m ≤ 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 2x$^{2}$ và y = mx – m + 2

Suy ra 2x$^{2}$ = mx – m + 2 hay 2x$^{2}$ – mx + m – 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆ = (–m)$^{2}$ – 4.2.(m – 2) = m$^{2}$ – 8m + 16 = (m – 4)$^{2}$.

Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay (m – 4)$^{2}$ > 0, suy ra m – 4 = 0 nên m = 4.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = mx + n

Suy ra x$^{2}$ = mx + n hay x$^{2}$ – mx – n = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(–n) = m$^{2}$ + 4n.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (*) không có nghiệm, tức là ∆ < 0, hay m$^{2>}$

+ 4n < 0.

Vậy ta chọn phương án A.

>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = mx$^{2}$ và y = 2x – 2

Suy ra mx$^{2}$ = 2x – 2 hay mx$^{2}$ – 2x + 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆' = (–1)$^{2}$ – m.2 = 1 – 2m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆' > 0, hay 1 – 2m > 0, nên $m < \frac{1}{2}.$

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được: $m < \frac{1}{2};\,\,m \ne 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

>>

Đáp án đúng là: D

Thay x = 1 vào hàm số y = 2x$^{2}$, ta được: y = 2.1$^{2}$ = 2.

Như vậy, đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 cắt (P): y = 2x$^{2}$ tại một điểm có tọa độ là (1; 2).

Thay x = 1, y = 2 vào hàm số y = (m – 1)x – 2, ta được:

2 = (m – 1).1 – 2

2 = m – 1 – 2

2 = m – 3

m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = –3x$^{2}$ và y = (m + 1)x + 1.

Suy ra –3x$^{2}$ = (m + 1)x + 1 hay 3x$^{2}$ + (m + 1)x + 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = [(m + 1)]$^{2}$ – 4.3.1 = m$^{2}$ + 2m + 1 – 12 = m$^{2}$ + 2m – 11.

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay m$^{2}$ + 2m – 11 = 0.

Xét phương trình trên có ∆$_{m}$' = 1$^{2}$ – 1.(–11) = 12 > 0 nên phương trình có hai nghiệm m phân biệt.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu đều đề bài.

Đáp án đúng là: C

– Ta chứng minh phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

+ Xét phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.

Xét ∆ = b$^{2}$ – 4ac.

Do ac < 0 nên – 4ac > 0>

Lại có b$^{2}$ ≥ 0 nên ∆ > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.$

Ta có: ${x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}$

$= \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}$

$= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.$

Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó $\frac{c}{a} < 0.$

Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.

Như vậy, nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.

+ Xét phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ trái dấu.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b$^{2}$ – 4ac > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.$

Ta có: ${x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}$

$= \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}$

$= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.$

Vì hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ trái dấu nên $\frac{c}{a} < 0,$ suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.

Như vậy, nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.

Vậy, phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = mx + 2m – 1.

Suy ra x$^{2}$ = mx + 2m – 1 hay x$^{2}$ – mx – 2m + 1 = 0. (*)

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó $m > \frac{1}{2}.$>

>>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = –m$^{2}$ – 4m + 5.

Suy ra x$^{2}$ = –m$^{2}$ – 4m + 5. (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, do đó –m$^{2}$ – 4m + 5 > 0 hay m$^{2}$ + 4m – 5 < 0.

Giải bất phương trình:

m$^{2}$ + 4m – 5 < 0

m$^{2}$ – m + 5m – 5 < 0

m(m – 1) + 5(m – 1) < 0

(m – 1)(m + 5) < 0.

Từ bất phương trình trên ta suy ra được m – 1 và m + 5 là hai số trái dấu nhau.

Mà với mọi m ta luôn có m – 1 < m + 5.

Do đó m – 1 là số âm và m + 5 là số dương.

Tức là m – 1 < 0 và m + 5 > 0>

Suy ra m < 1 và m > –5>

Hay –5 < m < 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–4; –3; –2; –1; 0}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>>>>>>

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

$y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và $y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.$

Suy ra $- \frac{1}{2}{x^2} = mx + {m^2} - \frac{1}{2}$ hay x$^{2}$ + 2mx + 2m$^{2}$ – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆' = m$^{2}$ – 1.(2m$^{2}$ – 1) = m$^{2}$ – 2m$^{2}$ + 1 = 1 – m$^{2}$.

Để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là ∆' ≥ 0, hay 1 – m$^{2}$≥ 0 nên m$^{2}$ – 1 ≤ 0.

Giải bất phương trình:

m$^{2}$ – 1 ≤ 0

(m – 1)(m + 1) ≤ 0

Suy ra m – 1 ≤ 0 và m + 1 ≥ 0 (do m – 1 < m + 1)

Do đó m ≤ 1 và m ≥ –1

Hay –1 ≤ m ≤ 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra $\Delta$ = 5 – m > 0 nên m < 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

Vì đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nên phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) vô nghiệm. Suy ra $\Delta$ = m + 1 < 0 nên m < –1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (1) có $\Delta$’ = (–m)$^{2}$ – 1.(–1) = m$^{2}$ + 1 > 0 mọi giá trị của m.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Vậy không có giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x$^{2}$ = m$^{2}$ + 2 nên x$^{2}$ – m$^{2}$ – 2 = 0 (1).

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).

Ta có: $\Delta$’ = 0$^{2}$ – 1.(–m$^{2}$ – 2) = m$^{2}$ + 2 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

mx$^{2}$ = 2x – 1, suy ra mx$^{2}$ – 2x + 1 = 0 (1).

Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình (1).

Để (d) và (P) có 2 điểm chung thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó, m $\neq$ 0 và $\Delta$’ = 1 – m > 0. Suy ra m $\neq$ 0 và m < 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x$^{2}$ = x – 2m, suy ra x$^{2}$ – x + 2m = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x$^{2}$ – x + 2m = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P).

Phương trình (1) có: $\Delta$ = (–1)$^{2}$ – 4.1.2m = 1 – 8m.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (1) vô nghiệm. Suy ra $\Delta$ = 1 – 8m < 0 nên ${\rm{m}} > \frac{1}{8}.$

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì ${\rm{m}} > \frac{1}{8}.$

c) Đúng.

Để đường (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra $\Delta$ = 1 – 8m > 0 nên ${\rm{m}} < \frac{1}{8}.$

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi ${\rm{m}} < \frac{1}{8}.$

d) Sai.

Để đường (d) và parabol (P) có một điểm chung thì phương trình (1) có một nghiệm kép. Suy ra $\Delta$ = 1 – 8m = 0 nên ${\rm{m}} = \frac{1}{8}.$

Vậy có một giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x$^{2}$ = mx + 2n nên x$^{2}$ – mx – 2n = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x$^{2}$ – mx – 2n = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Phương trình (1) có $\Delta$ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(–2n) = m$^{2}$ + 8n.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra $\Delta$ = m$^{2}$ + 8n > 0.

Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung khi m$^{2}$ + 8n > 0.

c) Đúng.

Với n > 0 thì 8n > 0, do đó m$^{2}$ + 8n > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với n > 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

d) Sai.

Với ${\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}}$ ta có: $\Delta = {\left( {2\sqrt {2{\rm{n}}} } \right)^2} + 8{\rm{n}} = 8{\rm{n}} + 8{\rm{n}} = 16{\rm{n}} > 0$ với n > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ${\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}}$.

Vậy với ${\rm{m}} = 2\sqrt {2{\rm{n}}} \;\,\left( {{\rm{n}} > 0} \right)$ thì đường thẳng (d) và parabol (P) có 2 điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

x$^{2}$ = 4mx – 4m$^{2}$, suy ra x$^{2}$ – 4mx + 4m$^{2}$ = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x$^{2}$ – 4mx + 4m$^{2}$ = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Phương trình (1) có $\Delta$’ = (–2m)$^{2}$ – 1.(4m$^{2}$) = 0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm kép.

Vậy (d) luôn tiếp xúc với (P) với mọi giá trị của m.

c) Đúng.

Phương trình (1) có nghiệm là: ${\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 2{\rm{m}}} \right)}}{1} = 2{\rm{m}}{\rm{.}}$

Thay x = 2m vào y = x$^{2}$ ta có: y = (2m)$^{2}$ = 4m$^{2}$.

Vậy giao điểm của (d) và (P) là điểm A(2m ; 4m$^{2}$).

d) Sai.

Để giao điểm của (d) và (P) có tung độ gấp 2 lần hoành độ thì

4m$^{2}$ = 2.2m, suy ra m$^{2}$ – m = 0, suy ra m(m – 1) = 0 nên m = 0 hoặc m = 1.

Vậy có 2 giá trị của m để giao điểm của (d) và (P) có tung độ gấp 2 lần hoành độ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x$^{2}$ = –2mx + 2m + 1, suy ra x$^{2}$ + 2mx – 2m – 1 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x$^{2}$ + 2mx – 2m – 1 = 0.

b) Sai.

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Phương trình (1) có: $\Delta$’ = m$^{2}$ – 1.(– 2m – 1) = m$^{2}$ + 2m + 1 = (m + 1)$^{2}$.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra $\Delta$’ = (m + 1)$^{2}$ > 0, suy ra m + 1 $\neq$ 0 nên m $\neq$ –1 (*).

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi m $\neq$ –1.

c) Đúng.

Phương trình (1) có nghiệm là: ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - {\rm{m}} + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{m}} - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} + 1} \right)}^2}} }}{1} = - 2{\rm{m}} - 1.$

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại một điểm có hoành độ bằng 1.

d) Đúng.

Để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6 thì

1 + (–2m – 1) = 6

–2m = 6

m = –3 (thỏa mãn (*)).

Vậy có một giá trị của m để tổng hoành độ các giao điểm của (d) và (P) bằng 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x$^{2}$ = 2mx – m$^{2}$ + 4 hay x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 4 = 0 (1).

Vậy phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 4 = 0.

b) Đúng.

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Phương trình (1) có: $\Delta$’ = (–m)$^{2}$ – 1.(m$^{2}$ – 4) = 4 > 0 với mọi giá trị của m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Sai.

Phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) + \sqrt 4 }}{1} = {\rm{m}} + 2;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) - \sqrt 4 }}{1} = {\rm{m}} - 2.$

Vậy các hoành độ giao điểm của (d) và (P) là m + 2 và m – 2.

d) Đúng.

Để các giao điểm của (d) và (P) có hoành độ đối nhau thì

m + 2 = –(m – 2)

m + 2 + m – 2 = 0

m = 0.

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x$^{2}$ = 6x – m hay x$^{2}$ – 6x + m = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (1) vô nghiệm.

Suy ra $\Delta$’ = (–3)$^{2}$ – 1.m = 9 – m < 0 nên m > 9.

Mà m là số nguyên nhỏ hơn 20 nên m Î {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19}.

Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

3x$^{2}$ = (m – 1)x + 4 – m hay 3x$^{2}$ – (m – 1)x – 4 + m = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Ta có: $\Delta$ = [–(m – 1)]$^{2}$ – 4.3.(–4 + m) = m$^{2}$ – 14m + 49 = (m – 7)$^{2}$.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra $\Delta$ = (m – 7)$^{2}$ > 0, suy ra m – 7 $\neq$ 0 nên m $\neq$ 7 (*).

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left[ { - \left( {{\rm{m}} - 1} \right)} \right] + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 7} \right)}^2}} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{ - 4 + {\rm{m}}}}{3};\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left[ { - \left( {{\rm{m}} - 1} \right)} \right] - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 7} \right)}^2}} }}{{2 \cdot 3}} = 1.$

Vì tổng các hoành độ bằng 5 nên ta có: $\frac{{ - 4 + {\rm{m}}}}{3} + 1 = 5$ nên m = 16 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –5

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): mx$^{2}$ = x + 5m hay mx$^{2}$ – x – 5m = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra m $\neq$ 0 và $\Delta$ > 0. Suy ra m $\neq$ 0 và (–1)$^{2}$ – 4.m(–5m) = 1 + 20m$^{2}$ > 0 với mọi m nên m $\neq$ 0 (*).

Theo đầu bài ta có: x = 1 là nghiệm của phương trình (1) nên

m.1$^{2}$ – 1 – 5m = 0, suy ra –1 – 4m = 0, suy ra ${\rm{m}} = \frac{{ - 1}}{4}$ (thỏa mãn (*)).

Với ${\rm{m}} = \frac{{ - 1}}{4}$ thì $\Delta = 1 + 20 \cdot {\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)^2} = \frac{9}{4}$ nên nghiệm của phương trình (1) là:

${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {\frac{9}{4}} }}{{2 \cdot \frac{{ - 1}}{4}}} = - 5;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {\frac{9}{4}} }}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Vậy hoành độ của giao điểm còn lại bằng –5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

4x$^{2}$ = 2mx – n$^{2}$ nên 4x$^{2}$ – 2mx + n$^{2}$ = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của (d) và (P).

Để parabol (P) và đường thẳng (d) có 1 điểm chung thì phương trình (1) có 1 nghiệm kép.

Suy ra $\Delta$’ = m$^{2}$– 4n$^{2}$ = 0 nên (m + 2n)(m – 2n) = 0 nên m – 2n = 0 (do m $\neq$ –2n).

Vậy m – 2n = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

(m – 1)x$^{2}$ = mx – 1 hay (m – 1)x$^{2}$ – mx + 1 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra m – 1 $\neq$ 0 và $\Delta$ > 0 nên m $\neq$ 1 và (m – 2)$^{2}$ > 0. Suy ra m $\neq$ 1 và m $\neq$ 2.

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}^2}} }}{{2\left( {{\rm{m}} - 1} \right)}} = {\rm{m}} - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}^2}} }}{{2\left( {{\rm{m}} - 1} \right)}} = \frac{1}{{{\rm{m}} - 1}}{\rm{.}}$

Do đó, ${{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{{{\rm{m}} - 1}} = {\rm{1}}{\rm{.}}$

Vậy tích các hoành độ bằng 1.