Bài tập Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác BAM và NCM có:

$\widehat {{\rm{AMB}}} = \widehat {{\rm{CMN}}}$ (đối đỉnh)

$\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{NCM}}}\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}}} \right)$

Suy ra ΔBAM ᔕ ΔNCM (g – g).

Suy ra $\widehat {{\rm{ABM}}} = \widehat {{\rm{CNM}}}$.

Xét hai tam giác ABM và ANC có:

$\widehat {{\rm{ABM}}} = \widehat {{\rm{CNM}}}$

$\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{NAC}}}\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}}} \right)$

Suy ra ΔABM ᔕ ΔANC (g – g).

Đáp án đúng là: A

Xét hai tam giác GCF và GDA có:

$\widehat {{\rm{AGD}}} = \widehat {{\rm{FGC}}}$ (đối đỉnh)

$\widehat {{\rm{DAG}}} = \widehat {{\rm{GFC}}}$ (AD // BF, hai góc so le trong)

Suy ra ΔGCF ᔕ ΔGDA (g – g) (1).

Xét hai tam giác GCF và ABF có:

$\widehat {\rm{F}}$: Góc chung

$\widehat {{\rm{FCG}}} = \widehat {{\rm{FBA}}}$ (GC // BA, hai góc đồng vị)

Suy ra ΔGCF ᔕ ΔABF (g – g) (2).

Từ (1) và (2) suy ra ΔGDA ᔕ ΔABF.

Vậy A sai.

Đáp án đúng là: D

Xét hai tam giác BHA và BAC có:

$\widehat {{\rm{BHA}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ$

$\widehat {\rm{B}}$: Góc chung

Suy ra ΔBHA ᔕ ΔBAC (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{BH}}}}{{{\rm{BA}}}} = \frac{{{\rm{BA}}}}{{{\rm{BC}}}}$.

Suy ra AB$^{2}$ = BH ⋅ BC.

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác ABM và ACN có:

$\widehat {{\rm{AMB}}} = \widehat {{\rm{ANC}}} = 90^\circ$

$\widehat {{\rm{BAM}}} = \widehat {{\rm{CAN}}}$ (do AD là phân giác của góc A)

Suy ra ΔABM ᔕ ΔACN (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{BM}}}}{{{\rm{CN}}}}$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác AKD vuông tại K và tam giác CHB vuông tại H có:

AD = BC (do ABCD là hình bình hành)

$\widehat {DAK} = \widehat {BCH}$ (AD // BC, hai góc so le trong)

Do đó, ∆AKD = ∆CHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AK = HC.

Xét hai tam giác AHB và AEC có:

$\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{AEC}}} = 90^\circ$

$\widehat {{\rm{EAC}}}$: Góc chung

Do đó, ΔAHB ᔕ ΔAEC (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AE}}}}$.

Suy ra AB ⋅ AE = AC ⋅ AH (1).

Xét hai tam giác ADK và ACF có:

$\widehat {{\rm{AKD}}} = \widehat {{\rm{AFC}}} = 90^\circ$

$\widehat {{\rm{FAC}}}$: Góc chung

Do đó, ΔADK ᔕ ΔACF (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AF}}}}$.

Suy ra AD ⋅ AF = AC ⋅ AK (2).

Lấy (1) + (2) ta được AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC ⋅ AH + AC ⋅ AK

Lại có AC ⋅ AH + AC ⋅ AK = AC ⋅ (AH + AK) = AC ⋅ (AH + HC) = AC ⋅ AC = AC$^{2}$.

Vậy AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Xét tứ giác BFED có: EF // BD và BF // DE.

Suy ra BFDE là hình bình hành.

Suy ra BF = ED, EF = BD.

Suy ra BF ⋅ BD = EF ⋅ ED (1).

Xét hai tam giác BFN và MDB có:

$\widehat {{\rm{NBF}}} = \widehat {{\rm{BMD}}}$ (AB // EM, hai góc đồng vị)

$\widehat {{\rm{NFB}}} = \widehat {{\rm{BDM}}}\,\,\,\left( { = \widehat {{\rm{FED}}}} \right)$

Do đó, ΔBFN ᔕ ΔMDB (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{BF}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{BD}}}}$.

Suy ra NF ⋅ DM = BD ⋅ BF (2).

Xét hai tam giác AEF và ECD có:

$\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {{\rm{ECD}}}$ (EF // BC, hai góc đồng vị)

$\widehat {{\rm{AFE}}} = \widehat {{\rm{EDC}}}\,\,\,\left( { = \widehat {{\rm{ABC}}}} \right)$

Do đó, ΔAEF ᔕ ΔECD (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{ED}}}} = \frac{{{\rm{EF}}}}{{{\rm{CD}}}}$.

Suy ra AF ⋅ CD = EF ⋅ ED (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra AF ⋅ CD = NF ⋅ DM hay $\frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{CD}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{DM}}}}$.

Ta có $\widehat {AFN} = \widehat {BFE}$ (đối đỉnh); $\widehat {MDC} = \widehat {BDE}$ (đối đỉnh); $\widehat {BFE} = \widehat {BDE}$ (do BFDE là hình bình hành). Suy ra $\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {{\rm{MDC}}}$.

Xét hai tam giác AFN và MDC có:

$\widehat {{\rm{AFN}}} = \widehat {{\rm{MDC}}}$

$\frac{{{\rm{NF}}}}{{{\rm{CD}}}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{{\rm{DM}}}}$

Suy ra ΔAFN ᔕ ΔMDC (c – g – c).

Đáp án đúng là: B

Ta có $\widehat {{\rm{ANM}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Xét hai tam giác AMN và ABC có:

$\widehat {\rm{A}}$: Góc chung

$\widehat {{\rm{ANM}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}$

Do đó, ΔAMN ᔕ ΔABC (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AM}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AN}}}}{{{\rm{AC}}}}$.

Suy ra AM ⋅ AC = AN ⋅ AB.

Vậy B sai.

Đáp án đúng là: C

Xét hai tam giác EAB và BCD có:

$\widehat {{\rm{EAB}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = 90^\circ$

$\widehat {{\rm{EBA}}} = \widehat {{\rm{BDC}}}$

Do đó, ΔEAB ᔕ ΔBCD (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{EA}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{CD}}}}$ hay $\frac{5}{6} = \frac{{{\rm{7{,}5}}}}{{{\rm{CD}}}}$.

Suy ra ${\rm{CD}} = \frac{{6 \cdot 7{,}5}}{5} = 9$(cm).

Đáp án đúng là: B

Xét hai tam giác DAB và CBD có:

$\widehat {{\rm{DAB}}} = \widehat {{\rm{DBC}}}$ (gt)

$\widehat {{\rm{ABD}}} = \widehat {{\rm{BDC}}}$ (AB // CD, hai góc so le trong)

Do đó, ΔDAB ᔕ ΔCBD (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{CD}}}}$ hay $\frac{{{\rm{12}}}}{{{\rm{BD}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{18}}}}$.

Khi đó, BD$^{2}$ = 12 ⋅ 18 = 216.

Suy ra BD = $\sqrt {216}$ ≈ 14,7 (cm).

Đáp án đúng là: D

Xét hai tam giác ABD và ACB có:

$\widehat {{\rm{ABD}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}$

$\widehat {\rm{A}}$: Góc chung

Do đó, ΔABD ᔕ ΔACB (g – g).

Suy ra $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AB}}}}$ hay $\frac{3}{{{\rm{4{,}5}}}} = \frac{{\rm{x}}}{{\rm{3}}}$.

Khi đó, ${\rm{x}} = \frac{{3 \cdot 3}}{{4{,}5}} = 2$ (cm).

Suy ra y = 4,5 – 2 = 2,5 (cm).