Bài tập Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Vậy có 25% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ và 75% giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn Q$_{1}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: n = 42.

Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là Q$_{1}$ = x$_{11}$.

Mà x$_{11}$ Î [20; 40).

Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là nhóm [20; 40).

Đáp án đúng là: B

Goi x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{20}$ là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: x$_{1}$, x$_{2}$ Î [5; 7); x$_{3}$, …, x$_{9}$ Î [7; 9); x$_{9}$, …, x$_{16}$ Î [9; 11); x$_{17}$, …, x$_{19}$ Î [11; 13); x$_{20}$ Î [13; 15).

Ta có $\frac{n}{2}=10$ nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [9; 11).

Đáp án đúng là: C

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{20}$ là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: x$_{1}$, x$_{2}$ Î [5; 7); x$_{3}$, …, x$_{9}$ Î [7; 9); x$_{9}$, …, x$_{16}$ Î [9; 11); x$_{17}$, …, x$_{19}$ Î [11; 13); x$_{20}$ Î [13; 15).

Ta có $\frac{n}{4}=5$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm [7; 9).

n = 20, n$_{m}$ = 7, C = 2, u$_{m}$ = 7, u$_{m+1}$ = 9.

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

${Q}_{1}=7+\frac{\frac{20}{4}-2}{7}\cdot (9-7)\approx 7{,}86\approx 8$.

Đáp án đúng là: A

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{24}$ lần lượt là số nhân viên theo thứ tự không giảm.

Do x$_{1}$, …, x$_{3}$ Î [6; 8); x$_{4}$, …, x$_{9}$ Î [8; 10); x$_{10}$, …, x$_{17}$ Î [10; 12); x$_{18}$, …, x$_{24}$ Î [12; 14).

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}({x}_{12}+{x}_{13})$ thuộc nhóm [10; 12) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là ${Q}_{2}=10+\frac{\frac{24}{2}-(3+6)}{8}\cdot (12-10)=10{,}75$ .

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}({x}_{6}+{x}_{7})$ thuộc nhóm [8; 10) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q}_{1}=8+\frac{\frac{24}{4}-3}{6}\cdot (10-8)=9.$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}({x}_{18}+{x}_{19})$ thuộc nhóm [12; 14) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${Q}_{3}=12+\frac{\frac{3.24}{4}-(3+6+8)}{7}\cdot (14-12)\approx 12{,}3$.

Đáp án đúng là: C

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{39}$ là x$_{30}$ Î [6; 8).

Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

${Q}_{3}=6+\frac{\frac{3.39}{4}-(3+8+12)}{12}\cdot (8-6)=\frac{169}{24}\approx 7{,}042$.

Đáp án đúng là: B

Ta hiệu chỉnh được bảng tần số ghép nhóm như sau:

Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là n = 53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240.

Ta có $\frac{n}{2}=\frac{240}{2}=120.$

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{240}$ lần lượt là số vỏ chai nhựa 240 học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm.

Do x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{53}$ Î [10,5; 15,5); x$_{54}$, ¼, x$_{13}$$_{5}$ Î [15,5; 20,5) nên trung vị của mẫu số liệu x$_{1}$, x$_{2}$, ¼, x$_{240}$ là $\frac{1}{2}({x}_{120}+{x}_{121})$ Î [15,5; 20,5).

Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

${M}_{e}=15{,}5+\frac{\frac{240}{2}-53}{82}\cdot (20{,}5-15{,}5)=\frac{803}{41}\approx 19{,}59$.

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu là n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Gọi x$_{1}$, …, x$_{56}$ là thời gian vào internet của 56 học sinh và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Ta có x$_{1}$, x$_{2}$, x$_{3}$ Î [9,5; 12,5); x$_{4}$, x$_{5}$, ..., x$_{15}$ Î [12,5; 15,5); x$_{16}$, x$_{17}$, ..., x$_{30}$ Î [15,5; 18,5); x$_{31}$, x$_{32}$, ..., x$_{54}$ Î [18,5; 21,5); x$_{55}$, x$_{56}$ Î [21,5; 24,5).

Khi đó, trung vị là $\frac{1}{2}({x}_{28}+{x}_{29})$. Do 2 giá trị x$_{28}$, x$_{29}$ thuộc nhóm [15,5; 18,5) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

${M}_{e}=15{,}5+\frac{\frac{56}{2}-(3+12)}{15}\cdot (18{,}5-15{,}5)=18{,}1.$

Đáp án đúng là: D

Do số lần gặp sự cố là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, …, x$_{100}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$, …, x$_{17}$ Î [0,5; 2,5); x$_{18}$, …, x$_{50}$ Î [2,5; 4,5); x$_{51}$, …, x$_{75}$ Î [4,5; 6,5); x$_{76}$, …, x$_{95}$ Î [6,5; 8,5); x$_{96}$, …, x$_{100}$ Î [8,5; 10,5).

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x$_{1}$, x$_{2}$, …, x$_{100}$ là $\frac{1}{2}({x}_{25}+{x}_{26})$. Do đó x$_{25}$ và x$_{26}$ thuộc nhóm [2,5; 4,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q}_{1}=2{,}5+\frac{\frac{1.100}{4}-17}{33}\cdot (4{,}5-2{,}5)=\frac{197}{66}\approx 2{,}98$

.

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của mẫu là n = 40.

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, …, x$_{40}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x$_{1}$, x$_{2}$ Î [30; 40); x$_{3}$, …, x$_{12}$ Î [40; 50); x$_{13}$, …, x$_{28}$ Î [50; 60); x$_{29}$, …, x$_{36}$ Î [60; 70); x$_{37}$, x$_{38}$ Î [70; 80); x$_{39}$, x$_{40}$ Î [80; 90).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q}_{1}=40+\frac{10-2}{10}\cdot 10=48$ (kg).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

${Q}_{2}=50+\frac{20-12}{16}\cdot 10=55$ (kg).

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q}_{3}=60+\frac{30-28}{8}\cdot 10=62{,}5$ (kg).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: Q$_{1}$ = 48 (kg), Q$_{2}$ = 55 (kg), Q$_{3}$ = 62,5 (kg).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 5 + 7 + 10 + 6 = 28.

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$, …, x$_{28}$là thời gian xem tivi của 28 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}$.

Do hai giá trị x$_{14}$ và x$_{15}$ thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó

M$_{e}$ = 30 + $\frac{{14 - 12}}{{10}}$⋅ 10 = 30 + 2 = 32 (giờ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Cỡ mẫu n = 40.

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do hai giá trị x$_{10}$, x$_{11}$ đều thuộc nhóm [5; 10) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó Q$_{1}$ = 5 + $\frac{{\frac{{40}}{4} - 4}}{{12}}$⋅ 5 = 5 + 2,5 = 7,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu n = 40.

Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$. Do hai giá trị x$_{30}$, x$_{31}$ đều thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó Q$_{3}$ = 30 + $\frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 20}}{{16}}$⋅ 10 = 30 + 6,25 = 36,25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tổng cỡ mẫu theo ẩn x: n = 4 + x + 8 + 4 = 16 + x.

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$,…, x$_{n}$ là tuổi thọ của các thiết bị gia dụng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Theo đề bài, nhóm chứa trung vị là nhóm thứ hai [4; 8). Do đó,

7 = 4 + $\frac{{\frac{{(16 + x)}}{2} - 4}}{x}$⋅ (8 – 4)

⇔ 7 = 4 + $\frac{{(8 + 0{,}5x) - 4}}{x}$⋅ (8 – 4)

⇔ 3 = $\frac{{4 + 0{,}5x}}{x}$⋅ 4

⇔ 3x = 16 + 2x ⇔ x = 16 (thiết bị).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Cỡ mẫu: n = 5 + 15 + 20 + 8 + 2 = 50.

b) Sai. Gọi x$_{1}$, x$_{2}$,…, x$_{50}$ là thời gian sử dụng điện thoại của 50 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$. Do hai giá trị x$_{25}$, x$_{26}$ thuộc nhóm [2; 3) nên nhóm này là nhóm chứa trung vị.

c) Đúng. Áp dung công thức tính trung vị:

M$_{e}$ = 2 + $\frac{{\frac{{50}}{2} - 20}}{{20}}$⋅ 1 = 2,25 (giờ).

d) Đúng. Vì nhóm chứa trung vị là nhóm [2; 3) có độ dài là 3 – 2 = 1 và có tần số là m$_{3}$ = 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Cỡ mẫu n = 40. Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do x$_{10}$, x$_{11}$ đều thuộc nhóm [6; 8) nên nhóm này chứa Q$_{1}$.

b) Đúng. Tính Q$_{1}$:

Q$_{1}$ = 6 + $\frac{{10 - 6}}{{14}}$⋅ 2 ≈ 6,57 kg.

c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$. Do x$_{30}$, x$_{31}$ đều thuộc nhóm [8; 10) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó, tần số m$_{3}$ = 12 và m$_{1}$ + m$_{2}$ = 6 + 14 = 20.

d) Sai. Áp dụng công thức tính Q$_{3}$:

Q$_{3}$ = 8 + $\frac{{30 - 20}}{{12}}$⋅ (10 – 8) = 8 + $\frac{{20}}{{12}}$ ≈ 9,67 kg (≠ 9,50).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Cỡ mẫu n = 60. Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}$. Do x$_{15}$, x$_{16}$ đều thuộc nhóm [12; 14) nên nhóm này chứa Q$_{1}$.

Tương tự, tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$. Do x$_{30}$, x$_{31}$ đều thuộc nhóm [12; 14) nên nhóm này chứa Q$_{2}$.

Do đó, cả Q$_{1}$ và Q$_{2}$ cùng thuộc một khoảng nhóm [12; 14).

b) Đúng. Q$_{1}$ = 12 + $\frac{{\frac{{60}}{4} - 10}}{{25}}$⋅ 2 = 12,4.

c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}$. Do x$_{45}$, x$_{46}$ đều thuộc nhóm [14; 16) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó

Q$_{3}$ = 14 + $\frac{{\frac{{3 \cdot 60}}{4} - 35}}{{15}}$⋅ (16 − 14) ≈ 15, 33.

d) Đúng. Phát biểu này đúng với ý nghĩa tứ phân vị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Theo ý nghĩa của trung vị.

b) Sai. Tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ chính là trung vị M$_{e}$, do đó hai giá trị này luôn bằng nhau tuyệt đối chứ không thể nhỏ hơn nhau.

c) Sai. Việc xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r dựa vào tính chất có khoảng $\frac{{r \cdot n}}{4}$ giá trị nhỏ hơn tứ phân vị đó.

d) Đúng. Theo ý nghĩa của tứ phân vị.

Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Cỡ mẫu n = 10 + 10 + 10 + 10 = 40.

b) Đúng. Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do x$_{10}$, x$_{11}$ đều thuộc nhóm [10; 20) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó,

Q$_{1}$ = 10 + $\frac{{\frac{{40}}{4} - 8}}{{14}}$ ⋅ 10 = 10 + $\frac{{10}}{7}$ ≈ 11,43.

c) Sai. Vì tứ phân vị thứ hai Q$_{2}$ là $\frac{{{x_{20}} + {x_{21}}}}{2}$. Do x$_{20}$, x$_{21}$ đều thuộc nhóm [10; 20) nên nhóm này chứa Q$_{2}$ chứ không thuộc nhóm [20; 30).

d) Sai. Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$. Do x$_{30}$, x$_{31}$ đều thuộc nhóm [20; 30) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó

⇒ Q$_{3}$ = 20 + $\frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 22}}{{12}}$⋅ 10 = 20 + $\frac{8}{{12}}$⋅ 10 ≈ 26,67.

Vì vậy giá trị tứ phân vị thứ ba phải xấp xỉ 26,67, không phải 25,0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12,4

Cỡ mẫu n = 28.

Gọi x$_{1}$, x$_{2}$,…, x$_{28}$ là thời gian giải quyết hồ sơ của 28 doanh nghiệp được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}$. Do 2 giá trị x$_{14}$, x$_{15}$ thuộc nhóm [10; 14) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó,

M$_{e}$ = 10 + $\frac{{\frac{{28}}{2} - 8}}{{10}}$⋅ 4 = 10 + 2,4 = 12,4 (phút).

Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4,75

Cỡ mẫu n = 32

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_8} + {x_9}}}{2}$. Do x$_{8}$, x$_{9}$ đều thuộc nhóm [4; 6) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó,

Q$_{1}$ = 4 + $\frac{{\frac{{32}}{4} - 5}}{8}$⋅ 2 = 4 + 0,75 = 4,75 (cm).

Hướng dẫn giải:
Đáp án: 14,2

Cỡ mẫu n = 60

Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}$. Do x$_{45}$, x$_{46}$ đều thuộc nhóm [10; 15) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó,

Q$_{3}$ = 10 + $\frac{{\frac{{3 \cdot 60}}{4} - 24}}{{25}}$⋅ 5 = 10 + 4,2 = 14,2 (điểm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7,6

Cỡ mẫu n = 40.

Tìm Q$_{1}$: Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do x$_{10}$, x$_{11}$ đều thuộc nhóm [4; 8) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó

Q$_{1}$ = 4 + $\frac{{\frac{{40}}{4} - 6}}{8}$⋅ 4 = 4 + 2 = 6.

Tìm Q$_{3}$: Tứ phân vị thứ ba Q$_{3}$ là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$. Do x$_{30}$, x$_{31}$ đều thuộc nhóm [12; 16) nên nhóm này chứa Q$_{3}$. Do đó,

Q$_{3}$ = 12 + $\frac{{\frac{{3 \cdot 40}}{4} - 26}}{{10}}$⋅ 4 = 12 + 1,6 = 13,6.

Q$_{3}$ – Q$_{1}$= 13,6 – 6 = 7,6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 150

Cỡ mẫu n = 40

Mốc thời gian tối đa để lọt vào top 25% này chính là giá trị tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm.

Tứ phân vị thứ nhất Q$_{1}$ là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do x$_{10}$, x$_{11}$ đều thuộc nhóm [140; 160) nên nhóm này chứa Q$_{1}$. Do đó,

Q$_{1}$ = 140 + $\frac{{10 - 5}}{{10}}$⋅ 20 = 140 + 10 = 150 (phút).

Vậy một vận động viên cần hoàn thành cuộc đua với thời gian tối đa là 150 phút thì đạt điều kiện nhận huy chương.