Bài tập Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có u$_{1}$ = 2; u$_{2}$ = 2 . 0,5 = 1; u$_{2}$ = 1 . 0,5 = 0,5.

Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-0{,}3}=\frac{10}{7}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{13}{1-0{,}2}=16{,}25$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}\Leftrightarrow -40=\frac{-20}{1-q}\Leftrightarrow q=0{,}5$.

Vậy cấp số nhân lùi vô hạn này có q = 0,5.

Đáp án đúng là: B

Ta có $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}\Leftrightarrow 20=\frac{32}{1-q}\Leftrightarrow q=-0{,}6$.

Vậy cấp số nhân lùi vô hạn này có q = 0,5.

Đáp án đúng là: A

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 3 và q = $-\frac{1}{3}$.

Do đó $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{3}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{9}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 3 và q = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Do đó $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}\Leftrightarrow 20=\frac{{u}_{1}}{1-0{,}5}\Leftrightarrow {u}_{1}=10$.

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 10.

Đáp án đúng là: A

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 3 và q = –0,1.

Do đó $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{3}{1-(-0{,}1)}=\frac{30}{11}$.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy 6,6666… = 6 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + 0,0006 + …

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 6 và q = 0,1.

Do đó $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{6}{1-0{,}1}=\frac{20}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dãy số đã cho là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công bội q = $\frac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện |q| < 1).

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là: S = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ = $\frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{{\frac{2}{3}}}$ = $\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Các số hạng của tổng tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u$_{1}$ = 2 và công bội q = $- \frac{1}{2}$ (thỏa mãn |q| < 1).

Tổng của dãy là: S = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$= $\frac{2}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}$= $\frac{2}{{\frac{3}{2}}} = \frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 0,444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... = $\frac{4}{{10}} + \frac{4}{{100}} + \frac{4}{{1000}} + ...$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = $\frac{4}{{10}}$ và công bội q = $\frac{1}{{10}}$.

S = $\frac{{\frac{4}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{4}{9}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có thể tách S thành hiệu của hai tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

S = $\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...} \right) - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}} + ...} \right)$

Tổng thứ nhất có u$_{1}$ = $\frac{1}{2}$, q$_{1}$ = $\frac{1}{2}$ nên S$_{1}$ = $\frac{{\frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}$ = 1.

Tổng thứ hai có u$_{2}$ = $\frac{1}{3}$, q$_{2}$ = $\frac{1}{3}$ nên S$_{2}$ = $\frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}$.

Vậy S = S$_{1}$ - S$_{2}$ = 1 - $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình vuông ban đầu là S$_{1}$ = 1$^{2}$ = 1.

Cạnh của hình vuông thứ hai bằng $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$, nên diện tích S$_{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Diện tích các hình vuông tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 1 và q = $\frac{1}{2}$.

Tổng các diện tích là S = $\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}}$ = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Điều kiện để là cấp số nhân lùi vô hạn là |q| < 1, không phải chỉ cần q < 1 (ví dụ q = -2 thì không thỏa mãn).

b) Đúng. S = $\frac{3}{{1 - \frac{1}{2}}}$ = 6.

c) Sai. Dãy số có công bội q = -1, do |q| = 1 nên không phải là cấp số nhân lùi vô hạn.

d) Đúng. Vì |q| < 1 nên giới hạn của tổng S$_{n}$ là một số hữu hạn S = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Phần thập phân 0,2323... = $\frac{{23}}{{100}} + \frac{{23}}{{10000}}$ + ... là cấp số nhân lùi vô hạn với q = $\frac{1}{{100}}$.

b) Đúng. S = $\frac{{\frac{{23}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{23}}{{99}}$.

c) Đúng. A = 1 + $\frac{{23}}{{99}} = \frac{{122}}{{99}}$.

d) Sai. Biểu diễn đúng phải là A = 1 + $\frac{{23}}{{{{10}^2}}} + \frac{{23}}{{{{10}^4}}}$ + ... chứ không phải mẫu số tăng thêm 1 chữ số 0 liên tiếp như mệnh đề.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với u$_{1}$ = 1, q = $\frac{1}{2}$.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$S$_{n}$ = $\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}}$ = 2.

c) Sai. Áp dụng công thức tổng cấp số nhân hữu hạn:

S$_{n}$ = $\frac{{1 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = 2 - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$

Do đó biểu thức trong mệnh đề là sai.

d) Sai. Tổng vô hạn là một số hữu hạn bằng 2, không phải + ∞.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Dãy số có số hạng đầu tiên u$_{1}$ = 2 và tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là không đổi, trị tuyệt đối của tỉ số này nhỏ hơn 1.

b) Sai. Công bội của cấp số nhân là q = $\frac{{\frac{2}{7}}}{2} = \frac{1}{7}$.

c) Sai. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là u$_{n}$ = u$_{1}$ ∙ q$^{n-1}$.

Do đó, u$_{n}$ = 2 ∙ ${\left( {\frac{1}{7}} \right)^{n - 1}}$ .

d) Đúng. Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ = $\frac{2}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{7}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta xét tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong tổng:

$\frac{{ - \frac{2}{9}}}{{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$; $\frac{{\frac{4}{{27}}}}{{ - \frac{2}{9}}} = - \frac{2}{3}$; $\frac{{ - \frac{8}{{81}}}}{{\frac{4}{{27}}}} = - \frac{2}{3}$.

Vì tỷ số này luôn không đổi nên các số hạng tạo thành một cấp số nhân. Đồng thời, công bội q = $- \frac{2}{3}$thỏa mãn điều kiện trị tuyệt đối $\left| q \right| = \left| { - \frac{2}{3}} \right| = \frac{2}{3} < 1$ ⇒ Đây là cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Đúng. Nhìn vào biểu thức ta thấy ngay u$_{1}$ = $\frac{1}{3}$.

c) Sai. Công bội q = $\frac{{\left( { - \frac{2}{9}} \right)}}{{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$.

d) Đúng. S = $\frac{{\frac{1}{3}}}{{1 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{5}{3}}} = \frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 18

Các số hạng của tổng S lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u$_{1}$ = 12 và công bội q = $\frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức S = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$, ta có S = $\frac{{12}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{12}}{{\frac{2}{3}}}$ = 18.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 30

Quãng đường rơi lần đầu là 10m.

Quãng đường nảy lên và rơi xuống ở lần chạm thứ nhất là: 2 ∙ (10 ∙ $\frac{1}{2}$) = 10m.

Quãng đường nảy lên và rơi xuống ở lần chạm thứ hai là: 2 ∙ (10 ∙ $\frac{1}{4}$) = 5m.

Quãng đường từ sau lần rơi đầu tiên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 10, q = $\frac{1}{2}$

Tổng các quãng đường nảy là: $\frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}}$= 20m.

Tổng quãng đường quả bóng di chuyển là 10m (rơi lần đầu) + 20m = 30m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 71

Ta có 3,151515... = 3 + 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + …

Xét phần thập phân 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + …

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u$_{1}$ = 0,15 và công bội q = 0,01

Áp dụng công thức $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$, ta được:

S = $\frac{{0{,}15}}{{1 - 0{,}01}} = \frac{{0{,}15}}{{0{,}99}} = \frac{{15}}{{99}} = \frac{5}{{33}}$. Thay lại vào biểu thức ban đầu, ta có:

3,151515... = $3 + \frac{5}{{33}} = \frac{{104}}{{33}}$.

Phân số đã tối giản nên a = 104, b = 33.

Hiệu a - b = 104 - 33 = 71.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vế trái là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 1 và công bội q = 2x.

(Điều kiện |q| < 1 tương đương |2x| < 1 hay |x| < $\frac{1}{2}$, thỏa mãn giả thiết).

Tổng S = $\frac{1}{{1 - 2x}}$= 5.

⇒ 1 - 2x = $\frac{1}{5}$ ⇒ 2x = $\frac{4}{5}$ ⇒ x = 0,4.

⇒ P = 10 ∙ 0,4 = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Diện tích tam giác đều đầu tiên là S$_{1}$ = 12.

Khi nối trung điểm các cạnh của một tam giác, ta được tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu theo tỉ số k = $\frac{1}{2}$.

Do đó, tỉ số diện tích giữa tam giác mới và tam giác ngay trước nó là k$^{2}$ = $\frac{1}{4}$.

⇒ S$_{2}$ = $\frac{1}{4}$ ∙ S1 = 3.

Dãy các diện tích S$_{1}$, S$_{2}$, S$_{3}$... tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u$_{1}$ = 12 và công bội q = $\frac{1}{4}$.

Tổng diện tích các tam giác là: S = $\frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ = $\frac{{12}}{{1 - \frac{1}{4}}}$ = 16.