Bài tập Tính tuổi của thiên thể, mẫu cổ vật lớp 12 (có lời giải)

Số hạt nhân U đã bị phân rã bằng số hạt nhân Pb tạo thành:

$\Delta {\rm{N}} = \frac{{{{\rm{m}}_{{\rm{Pb}}}}}}{{{{\rm{A}}_{{\rm{Pb}}}}}} \cdot {{\rm{N}}_{\rm{A}}} = \frac{{23,{{15.10}^{ - 3}}}}{{206}}.6,{02.10^{23}} = 6,{76.10^{19}}$(hạt)

Số hạt nhân U còn lại là: ${\rm{N}} = \frac{{{{\rm{m}}_U}}}{{{{\rm{A}}_U}}} \cdot {{\rm{N}}_{\rm{A}}} = \frac{{46,{{97.10}^{ - 3}}}}{{238}}.6,{02.10^{23}} = 11,{9.10^{19}}$(hạt)

Tại thời điểm hiện phát hiện: $\frac{{\Delta {\rm{N}}}}{{\rm{N}}} = \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}}} \Rightarrow {2^{\frac{{\rm{t}}}{{4,{{47.10}^9}}}}} - 1 = 0{,}568 \Rightarrow t = 2,{9.10^9}$ năm.

Cả hai có cùng lượng $_6^{12}{\rm{C}}$ nên lượng $_6^{14}{\rm{C}}$ ban đầu là như nhau.

Định luật phóng xạ: ${N_t} = {N_0} \cdot {2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{{{N_t}}}{{{N_0}}} = \frac{1}{3}$$\Rightarrow t = 9081{,}8$ năm

Đáp án đúng là C

$\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = {m_{10}}{e^{ - \frac{{\ln 2}}{{{T_1}}}t}}\\{m_2} = {m_{20}}{e^{ - \frac{{\ln 2}}{{{T_2}}}t}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{{m_{10}}}}{{{m_{20}}}}{e^{t\ln 2\left( {\frac{1}{{{T_2}}} - \frac{1}{{{T_1}}}} \right)}} \Rightarrow \frac{{{m_{10}}}}{{{m_{20}}}} = \frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}{e^{ - t\ln 2\left( {\frac{1}{{{T_2}}} - \frac{1}{{{T_1}}}} \right)}}$

$\Rightarrow \frac{{{m_{10}}}}{{{m_{20}}}} = \frac{{0{,}72}}{{99{,}28}}{e^{ - 4{,}5\ln 2\left( {\frac{1}{{4{,}46}} - \frac{1}{{0{,}704}}} \right)}} \approx 0{,}333 \Rightarrow \% {m_{10}} = \frac{{0{,}303}}{{1{,}303}} = 23\% .$

Đáp án đúng là A

$\frac{{{N_{con}}}}{{{N_{me}}}} = \left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1} \right) \Rightarrow \frac{{6,{{239.10}^{18}}}}{{1,{{88.10}^{20}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{{4,{{47.10}^9}}}t}} - 1 \Rightarrow t = 3,{3.10^8}$ (năm).

Đáp án đúng là B

$\frac{{{m_{con}}}}{{{m_{me}}}} = \frac{{{A_{con}}}}{{{A_{me}}}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{T}}} - 1} \right) \Rightarrow \frac{1}{{37}} = \frac{{206}}{{238}}\left( {{e^{\frac{{\ln 2}}{{4{,}6}}}} - 1} \right) \Rightarrow t \approx 0{,}2$ (tỉ năm).

a) $\frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} = 1 - {2^{ - \frac{t}{T}}} = 0{,}75 \Rightarrow t = 2T = 2,{5.10^9}$ năm

Niên đại của mẫu đá là cách đây 2,50 tỉ năm.

b) $\frac{N}{{{N_0}}} = {2^{ - \frac{t}{T}}} = 6{,}25\% \Rightarrow t = 4T = {10.10^9}$

Sau 7,50.10$^{9}$ năm, kể từ hiện tại, lượng potassium $_{19}^{40}\;{\rm{K}}$ còn lại trong mẫu đá bằng 6,25% lượng ban đầu.

$\left\{ \begin{array}{l}238 = 206 + 4x + 0y\\92 = 82 + 2x - y\end{array} \right. \Rightarrow x = 8;\,y = 6$.

i. Gọi số hạt $_{92}^{238}{\rm{U}}$ ban đầu là ${N_0}$, số hạt $_{92}^{238}{\rm{U}}$ còn lại là $N \Rightarrow$ số hạt $_{92}^{238}{\rm{U}}$ bị phân rã cũng chính là số hạt $_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}$ được tạo thành là: $\Delta N = {N_0} - N = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$

Theo đề bài: $\frac{{\Delta N}}{N} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{t}{T}}}}} = \frac{1}{5}$$\Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{5}{6} \Rightarrow t = - T{\log _2}\left( {\frac{5}{6}} \right) = 1,{18.10^9}$ năm

Vậy niên đại của mẫu quặng là 1,18 tỉ năm.

ii. Mối liên hệ giữa khối lượng và số nguyên tử trong một mẫu chất là: $m = \frac{N}{{{N_{\rm{A}}}}}A$

Do đó, tỉ lệ khối lượng giữa $_{82}^{206}\;{\rm{Pb}}$ và $_{92}^{238}{\rm{U}}$ là: $\frac{{{m_{{\rm{Pb}}}}}}{{{m_{\rm{U}}}}} = \frac{{206\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{{N_{\rm{A}}}}}}}{{238\frac{{{N_{\rm{U}}}}}{{{N_{\rm{A}}}}}}} = \frac{{206{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{238{N_{\rm{U}}}}} = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{{\Delta N}}{N} = \frac{{238}}{{5.206}} \Rightarrow \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{t}{T}}}}} = \frac{{238}}{{5.206}} = \frac{{119}}{{515}}$

$\Rightarrow {2^{ - \frac{t}{T}}} = \frac{{515}}{{634}} \Rightarrow t = - T{\log _2}\left( {\frac{{515}}{{634}}} \right) = 1,{34.10^9}$ năm.

Ta có ${\rm{H}} = {{\rm{H}}_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow H = 1{,}5H{.2^{ - \frac{t}{{5600}}}} \Rightarrow t = 3276$ năm.

Vậy tuổi của tượng gỗ là 3276 năm.

a) $N = \frac{H}{\lambda } = \frac{H}{{\frac{{\ln 2}}{T}}} = \frac{{0{,}231}}{{\frac{{\ln 2}}{{5730.365.86400}}}} = 6,{02.10^{10}}$ nguyên tử.

b) $H = {H_0}{.2^{ - \frac{t}{T}}} \Rightarrow 0{,}121 = 0,{231.2^{ - \frac{t}{{5730}}}} \Rightarrow t \approx 5345$năm.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $37{,}5\%$ nhỏ hơn $50\%$, nên mẫu gỗ đã trải qua hơn một chu kì bán rã.

b) Đúng. Vì $37{,}5\%$ lớn hơn $25\%$, nên mẫu gỗ chưa trải qua hai chu kì bán rã.

c) Đúng. Với $t = 8000$ năm, ta có $\frac{H}{{{H_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{8000/5730}} \approx 0{,}38$, phù hợp với giá trị đo $37{,}5\%$.

d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn $37{,}5\% :2 = 18{,}75\%$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $\frac{1}{{16}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}$, thiên thạch đã trải qua $4$ chu kì bán rã nên tuổi bằng $8{,}0 \times {10^8}$ năm.

b) Đúng. Do $H = \lambda N$, với cùng đồng vị thì độ phóng xạ và số hạt nhân còn lại giảm theo cùng tỉ lệ.

c) Đúng. Tỉ lệ hạt nhân đã phân rã là $1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}} = 93{,}75\%$.

d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ còn $\frac{1}{{32}}$, không phải $\frac{1}{{64}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Mẫu A có tuổi $5730$ năm, mẫu B có tuổi $17190$ năm nên chênh lệch $11460$ năm.

b) Đúng. $\frac{{5730}}{{17190}} = \frac{1}{3}$.

c) Đúng. $\frac{{50\% }}{{12{,}5\% }} = 4$.

d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn $6{,}25\%$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Sau $5$ ngày, độ phóng xạ còn $50\%$, lớn hơn $30\%$.

b) Sai. Sau $10$ ngày, độ phóng xạ còn $25\%$, nhỏ hơn $30\%$.

c) Đúng. Sau $15$ ngày, độ phóng xạ còn $12{,}5\%$, không đáp ứng yêu cầu.

d) Đúng. Từ $0{,}30 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5}}$ suy ra $t \approx 8{,}7$ ngày.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Ta có $0{,}28 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5730}}$, suy ra $t \approx 10580$ năm.

b) Đúng. Giá trị $10580$ năm nhỏ hơn $12000$ năm.

c) Sai. Làm tròn đến nghìn năm được khoảng $11000$ năm.

d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn khoảng $14\%$ so với mẫu sinh vật sống.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vì $62{,}5\%$ lớn hơn $50\%$, mẫu đá chưa trải qua một chu kì bán rã.

b) Đúng. Từ $0{,}625 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/T}}$ suy ra $t \approx 1{,}02 \times {10^9}$ năm.

c) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm một nửa nên còn $31{,}25\%$.

d) Đúng. Mức giảm là $100\% - 62{,}5\% = 37{,}5\%$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Sau $60$ năm là $3$ chu kì bán rã nên độ phóng xạ còn ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}$.

b) Đúng. Tỉ lệ hạt nhân đã phân rã là $1 - \frac{1}{8} = 87{,}5\%$.

c) Đúng. Sau thêm $20$ năm là $4$ chu kì bán rã nên độ phóng xạ còn $\frac{1}{{16}}$.

d) Sai. Sau $100$ năm là $5$ chu kì bán rã nên độ phóng xạ còn $\frac{1}{{32}}$, không phải $\frac{1}{{64}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Tuổi của A là $500$ triệu năm, tuổi của B là $2000$ triệu năm nên chênh lệch $1500$ triệu năm.

b) Đúng. $2000:500 = 4$.

c) Sai. $\frac{{50\% }}{{6{,}25\% }} = 8$.

d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm còn một nửa, tức $3{,}125\%$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Từ $\frac{1}{5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5730}}$ suy ra $t \approx 13300$ năm.

b) Đúng. $13300 < 15000$.

c) Đúng. Giá trị $13300$ năm phù hợp với phép tính.

d) Đúng. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ giảm còn một nửa, tức từ $20\%$xuống $10\%$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. $\frac{{3{,}6 \times {{10}^9}}}{{9{,}0 \times {{10}^8}}} = 4$.

b) Đúng. Sau $4$ chu kì bán rã, độ phóng xạ còn ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}$.

c) Đúng. Tỉ lệ hạt nhân đã phân rã là $1 - \frac{1}{{16}} = 93{,}75\%$.

d) Sai. Sau thêm một chu kì bán rã, độ phóng xạ còn $\frac{1}{{32}}$, không phải $\frac{1}{{64}}$.

Đáp án: $11460$ năm.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\frac{H}{{{H_0}}} = 25\% = 0{,}25 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$.

Vậy mẫu gỗ đã trải qua $2$ chu kì bán rã.

Tuổi của ngôi mộ là $t = 2 \times 5730 = 11460\;$ năm.

Đáp án: $14270\;$ năm.

Lời giải chi tiết:

Ta có $0{,}18 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/5730}}$.

Suy ra $t = 5730 \times \frac{{\ln 0{,}18}}{{\ln 0{,}5}} \approx 14270$ năm

Đáp án: $17190$ năm.

Lời giải chi tiết:

Độ phóng xạ giảm $8$ lần nên $\frac{H}{{{H_0}}} = \frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$.

Mẫu đã trải qua $3$ chu kì bán rã.

Tuổi của di chỉ là $3 \times 5730 = 17190$ năm.

Đáp án: $3{,}75\;$ tỉ năm.

Lời giải chi tiết:

Ta có $12{,}5\% = \frac{1}{8} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$.

Thiên thạch đã trải qua $3$ chu kì bán rã.

Tuổi thiên thạch là $3 \times 1{,}25 = 3{,}75$ tỉ năm.

Đáp án: $1{,}69\,{\rm{GBq}}$.

Lời giải chi tiết:

Khoảng thời gian từ $6$ giờ đến $21$ giờ là $15$ giờ.

Áp dụng công thức $H = {H_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/T}}$.

Ta có $H = 9{,}60{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{15/6}} = 9{,}60{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2{,}5}} \approx 1{,}69\,{\rm{GBq}}$.

Đáp án: $35{,}3\%$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\frac{H}{{{H_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{8600/5730}} \approx 0{,}353.$

Suy ra độ phóng xạ còn khoảng $35{,}3\% \;$ so với ban đầu.

Đáp án: $69{,}7\;$ ngày.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện thay nguồn là $0{,}20 = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{t/30}}.$

Suy ra $t = 30 \times \frac{{\ln 0{,}20}}{{\ln 0{,}50}} \approx 69{,}7{\rm{\;}}$ ngày

Đáp án: $1{,}25 \times {10^9}$ năm.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\frac{1}{{32}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5}.$

Mẫu đá đã trải qua $5$ chu kì bán rã.

Tuổi mẫu đá là $t = 5 \times 2{,}50 \times {10^8} = 1{,}25 \times {10^9}$ năm

Đáp án: $11460\;$ năm.

Lời giải chi tiết:

Mẫu A đã trải qua $1$ chu kì bán rã nên có tuổi $5730\;$ năm.

Mẫu B đã trải qua $3$ chu kì bán rã nên có tuổi $17190\;$ năm.

Độ chênh lệch tuổi là $17190 - 5730 = 11460$ năm

Đáp án: $3{,}125\%$.

Lời giải chi tiết:

Số chu kì bán rã đã trải qua là $n = \frac{{4{,}50 \times {{10}^9}}}{{9{,}00 \times {{10}^8}}} = 5.$

Do đó $\frac{H}{{{H_0}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}} = 0{,}03125.$

Vậy độ phóng xạ hiện nay còn $3{,}125\%$ so với ban đầu.