Bài tập Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ thì theo định lí Viète, ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right..$

Đáp án đúng là: A

Nếu x$_{1}$, x$_{2}$ là hai nghiệm của phương trình –x$^{2}$ – 5x – 3 = 0 thì theo định lí Viète, ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = - 5}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3}\end{array}} \right..$

Đáp án đúng là: D

Do phương trình x$^{2}$ – 7x + 11 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = 7\\P = 11\end{array} \right.$

Do đó S + P = 7 + 11 = 18.

Đáp án đúng là: C

Do phương trình –2x$^{2}$ – 100x + 301 = 0 có hai nghiệm nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}S = - \frac{{ - 100}}{{ - 2}} = - 50\\P = \frac{{301}}{{ - 2}} = - 150{,}5\end{array} \right..$

Do đó S$^{2}$ + P$^{2}$ = (–50)$^{2}$ + (–150,5)$^{2}$ = 25 150,25.

Đáp án đúng là: D

Do phương trình –x$^{2}$ – 50x + 1001 = 0 có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$nên theo định lí Viète, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 50}}{{ - 1}} = 50\\{x_1}{x_2} = \frac{{1001}}{{ - 1}} = - 1001\end{array} \right..$$

Ta có $A = \frac{1}{{{x_1} + 3}} + \frac{1}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_2} + 3 + {x_1} + 3}}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}$

$$= \frac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}$$

$$= \frac{{50 + 6}}{{ - 1001 + 3 \cdot 50 + 9}} = \frac{{ - 28}}{{421}}.$$

Đáp án đúng là: B

Do phương trình 9x$^{2}$ – 100x + 25 = 0 có hai nghiệm dương x$_{1}$, x$_{2}$nên theo định lí Viète, ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{100}}{9}\\{x_1}{x_2} = \frac{{25}}{9}\end{array} \right..$$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{100}}{9}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{{25}}{9} = \frac{{9550}}{{81}}.$

${\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = \frac{{100}}{9} + 2\sqrt {\frac{{25}}{9}} = \frac{{130}}{9}$

Suy ra $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = \sqrt {\frac{{130}}{9}} = \frac{{\sqrt {130} }}{3}$ (vì $\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} > 0)$

Vậy $B = \frac{{\frac{{9550}}{{81}}}}{{\frac{{\sqrt {130} }}{3}}} = \frac{{955\sqrt {130} }}{{351}}.$

Đáp án đúng là: D

Do phương trình x$^{2}$ + 200x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ nên theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 200\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.$

Ta có:

⦁ |x$_{1}$ – x$_{2}$|$^{2}$ = (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ = (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 4x$_{1}$x$_{2}$ = (–200)$^{2}$ – 4.(–1) = 40004.

Suy ra $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt {10001} .$

⦁ $x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 1 \cdot \left( { - 200} \right) = 200.$

Vậy $C = \frac{{100 \cdot 2\sqrt {10001} }}{{200}} = \sqrt {10001} .$

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ – x – 2 = 0 có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right..$

Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình trên trục số bằng

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{1^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right)} = \sqrt 9 = 3.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Phương trình x$^{2}$ – 2x – 1 = 0 có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(–1) = 2 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right..$

Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn x$_{1}$ và x$_{2}$ trên Ox.

Ta có x$_{1}$x$_{2}$ = –1 < 0 nên hai nghiệm x$_{1>}$

, x$_{2}$ trái dấu nhau, do đó hai điểm A(x$_{1}$; 0) và B(x$_{2}$; 0) biểu diễn hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ nằm trên trục Ox và nằm về hai phía của trục Oy.

Ta có AB = |x$_{1}$ – x$_{2}$|.

Suy ra AB$^{2}$ = |x$_{1}$ – x$_{2}$|$^{2}$ = (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 4x$_{1}$x$_{2}$ = 2$^{2}$ – 4.(–1) = 8.

Do đó $AB = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .$

Gọi H là hình chiếu của điểm C(1; 5) trên Ox, khi đó CH = |y$_{C}$| = 5.

Vậy diện tích tam giác ABC là:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2\sqrt 2 = 5\sqrt 2$ (đơn vị diện tích).

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x$^{2}$ – x – 100 = 0 có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.2.(–100) = 801 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có: x$_{1}$x$_{2}$ = –50.

Gọi M và P lần lượt là điểm biểu diễn x$_{1}$ và x$_{2}$ trên Ox.

Ta thấy x$_{1}$x$_{2}$ = –50 < 0 nên hai nghiệm x$_{1>}$

, x$_{2}$ trái dấu nhau, do đó hai điểm M(x$_{1}$; 0) và N(x$_{2}$; 0) biểu diễn hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ nằm trên trục Ox và nằm về hai phía của trục Oy.

Xét ∆OMN và ∆ONP có:

$\widehat {MON} = \widehat {NOP} = 90^\circ$ và $\widehat {OMN} = \widehat {ONP}$ (cùng phụ với $\widehat {ONM}).$

Do đó ∆OMN ᔕ ∆ONP (g.g)

Suy ra $\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OP}}$ nên ON$^{2}$ = OM.OP.

Do M(x$_{1}$; 0) nên OM = |x$_{1}$|.

Do N(x$_{2}$; 0) nên ON = |x$_{2}$|.

Khi đó, ON$^{2}$ = OM.OP = |x$_{1}$|.|x$_{2}$| = |x$_{1}$x$_{2}$| = |–50| = 50.

Suy ra $b = ON = \sqrt {50} = 5\sqrt 2$ (do b > 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ + 4x + 3 = 0 có $\Delta$’ = 2$^{2}$ – 1.3 = 1 > 0 nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 4}}{1} = - 4$.

Ta có: 2x$_{1}$ + 2x$_{2}$ = 2(x$_{1}$ + x$_{2}$) = 2(–4) = –8.

Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng –8.

Đáp án đúng là: D

Phương trình x$^{2}$ – 2x – 3 = 0 có $\Delta$’ = (–1)$^{2}$ – 1.(–3) = 4 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3$, suy ra 6x$_{1}$x$_{2}$ = –18.

Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng –18.

Đáp án đúng là: D

Phương trình x$^{2}$ – 4x + 3 = 0 có $\Delta$’ = (–2)$^{2}$ – 1.3 = 1 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{3}{1} = 3$.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2{\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {3^2} = 9$.

Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng 9.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ + 3x + 1 = 0 có $\Delta$ = 3$^{2}$ – 4.1.1 = 5 > 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{1} = 1$.

Ta có: x$_{2}$ – (x$_{1}$x$_{2}$ – x$_{1}$) = (x$_{1}$+ x$_{2}$) – x$_{1}$x$_{2}$=(–3)$^{2}$ – 1 = 8.

Vậy giá trị biểu thức đã cho là ước của 16.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} > 0$ nên phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{\frac{1}{4}}} = 8;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4$.

Vì x$_{1}$x$_{2}$ = 4 ≠ 0 nên x$_{1}$ ≠ 0 và x$_{2}$ ≠ 0.

Ta có: $\frac{1}{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}} = \frac{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}} = \frac{8}{4} = 2$.

Vậy giá trị biểu thức đã cho bằng 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì $\Delta$ = 9$^{2}$ – 4.1.8 = 49 > 0 nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 9}}{1} = - 9;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{8}{1} = 8$.

Vậy x$_{1}$ + x$_{2}$ < 0, x$_{1}$x$_{2}$ > 0.

b) Đúng.

Vì x$_{1}$ + x$_{2}$ = –9 nên ${\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\left( { - 9} \right)^2} = 81.$ Vậy giá trị biểu thức ${\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2}$ lớn hơn 80.

c) Đúng.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 81 - 2 \cdot 8 = 65$.

Vậy giá trị biểu thức ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2$ bằng 65.

d) Sai.

Ta có: ${\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^3} - 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) = {\left( { - 9} \right)^3} - 3 \cdot 8 \cdot \left( { - 9} \right) = - 513$.

Vậy giá trị biểu thức ${\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3$ nhỏ hơn –500.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì $\Delta$’ = 5$^{2}$ – 1.7 = 18 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 10}}{1} = - 10;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{7}{1} = 7$.

Vậy x$_{1}$ + x$_{2}$ = –10, x$_{1}$x$_{2}$ =7.

b) Đúng.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( { - 10} \right)^2} - 2 \cdot 7 = 86$.

Vậy giá trị biểu thức ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2$ bằng 86.

c) Đúng.

Ta có: ${\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^2 - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( { - 10} \right)^2} - 4 \cdot 7 = 72$.

Suy ra: $\left| {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right| = \sqrt {72} = 6\sqrt 2$.

Vì x$_{1}$ < x$_{2}$ nên ${{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2} = - 6\sqrt 2$.

Vậy ${{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2} = - 6\sqrt 2$.

d) Đúng.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 - {\rm{x}}_2^2 = \left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) = - 6\sqrt 2 \cdot \left( { - 10} \right) = 60\sqrt 2$.

Vậy giá trị biểu thức ${\rm{x}}_1^2 - {\rm{x}}_2^2$ nhỏ hơn 100.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì $\Delta$’ = 1$^{2}$ – 1.(–5) = 6 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5$.

Vậy x$_{1}$ + x$_{2}$ = –2, x$_{1}$x$_{2}$ = –5.

b) Sai.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( { - 2} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 5} \right) = 14$.

Vậy giá trị biểu thức ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2$ bằng 14.

c) Đúng.

Ta có: ${\rm{A}} = \frac{{{{\rm{x}}_{\rm{1}}}\left( {{{\rm{x}}_1} + 3} \right) + {{\rm{x}}_{\rm{2}}}\left( {{{\rm{x}}_2} + 3} \right)}}{{\left( {{{\rm{x}}_2} + 3} \right)\left( {{{\rm{x}}_1} + 3} \right)}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 9}}$.

Vậy ${\rm{A}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + 3\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 9}}$.

d) Đúng.

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = –2, x$_{1}$x$_{2}$ = –5 vào A ta có: ${\rm{A}} = \frac{{14 + 3\left( { - 2} \right)}}{{ - 5 + 3\left( { - 2} \right) + 9}} = \frac{8}{{ - 2}} = - 4$.

Vậy giá trị biểu thức A là số nguyên.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Vì $\Delta$ = 1$^{2}$ – 4.2.(–5) = 41 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1}}{2};\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 5}}{2}$.

Vậy x$_{1}$x$_{2}$ = 5(x$_{1}$ + x$_{2}$).

b) Đúng.

Ta có: ${\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^2 - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{{ - 5}}{2} = \frac{{41}}{4} = 10{,}25$.

Vậy (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ > 10.

c) Đúng.

Vì (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ = 10,25 nên $\left| {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right| = \frac{{\sqrt {41} }}{2}$.

Vì x$_{1}$ < x$_{2}$ nên ${{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \sqrt {41} }}{2}$. Vậy x$_{1}$ – x$_{2}$ < –3.

d) Sai.

Ta có: ${\rm{x}}_1^3 - {\rm{x}}_2^3 = {\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right)^3} + 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{{\rm{x}}_1} - {{\rm{x}}_2}} \right) = {\left( {\frac{{ - \sqrt {41} }}{2}} \right)^3} + 3 \cdot \frac{{ - 5}}{2}\frac{{ - \sqrt {41} }}{2} = \frac{{ - 11\sqrt {41} }}{8} > - 10$.

Vậy ${\rm{x}}_1^3 - {\rm{x}}_2^3 > - 10.$

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì $\Delta$’ = (–3)$^{2}$ – 1.4 = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{2} = 6 > 0;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4 > 0$.

Vậy x$_{1}$> 0, x$_{2}$ > 0.

b) Đúng.

Theo a) ta có: x$_{1}$x$_{2}$ = 4 nên $\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} = \sqrt 4 = 2$.

Vậy ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 3\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} .$

c) Đúng.

Ta có: ${\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = {{\rm{x}}_1} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} = \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) + 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} = 6 + 2 \cdot 2 = 10.$

Vậy ${\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} + \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = 10.$

d) Sai.

Ta có: ${\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right)^2} = {{\rm{x}}_1} - 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} + {{\rm{x}}_2} = \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right) - 2\sqrt {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} = 6 - 2 \cdot 2 = 2.$

Suy ra $\left| {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right| = \sqrt 2 .$ Vậy $\left| {\sqrt {{{\rm{x}}_1}} - \sqrt {{{\rm{x}}_2}} } \right| < 2.$

Đáp án: 1649

Vì $\Delta$ = (–7)$^{2}$ – 4.1.4 = 33 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4$.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {7^2} - 2 \cdot 4 = 41$.

Lại có: ${\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right)^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 2{\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 2 \cdot {4^2} = {\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 + 32.$

Suy ra: ${\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4 = {\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right)^2} - 32 = {41^2} - 32 = 1649.$

Vậy giá trị biểu thức ${\rm{x}}_1^4 + {\rm{x}}_2^4$ bằng 1649.

Đáp án: –25

Vì $\Delta$’ = 1$^{2}$ – 1.(–4) = 5 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 4}}{1} = - 4$.

Ta có: P = (x$_{1}$ + 1)(x$_{2}$ + 1) – (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$

$= {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{1}} - \left[ {\left( {{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2} \right) - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right]$

$= {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} + 5{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} + {\rm{1}} - {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2}$.

= (–2) + 5.(–4) + 1 – (–2)$^{2}$ = –25.

Vậy giá trị biểu thức P bằng –25.

Đáp án: 88

Vì $\Delta$’ = (–5)$^{2}$ – 1.6 = 19 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 10} \right)}}{1} = 10 > 0;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{6}{1} = 6 > 0$.

Do đó, x$_{1}$ > 0; x$_{2}$ > 0.

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {10^2} - 2 \cdot 6 = 88$.

${\left( {\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}} + \sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} } \right)^2} = {{\rm{x}}_{\rm{1}}} + {{\rm{x}}_{\rm{2}}} + 2\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} = 10 + 2 \cdot 6 = 22$ nên $\sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{1}}}} + \sqrt {{{\rm{x}}_{\rm{2}}}} = \sqrt {22}$.

Do đó ${\rm{A}} = \frac{{88\sqrt {22} }}{{\sqrt {22} }} = 88.$

Vậy giá trị biểu thức A bằng 88.

Đáp án: 198

Vì $\Delta$ = (–6)$^{2}$ – 4.1.1 = 32 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{1} = 6;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{1}{1} = 1.$

Vì x$_{1}$x$_{2}$ = 1 ≠ 0 nên x$_{1}$ ≠ 0; x$_{2}$ ≠ 0.

Ta có: ${\rm{B}} = \frac{1}{{{\rm{x}}_1^3}} + \frac{1}{{{\rm{x}}_2^3}} = \frac{{{\rm{x}}_1^3 + {\rm{x}}_2^3}}{{{\rm{x}}_1^3 \cdot {\rm{x}}_2^3}} = \frac{{{{\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}^3} - 3{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}}{{{{\left( {{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right)}^3}}}$.

Thay ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = 6;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = 1$ vào B ta có: ${\rm{B}} = \frac{{{6^3} - 3 \cdot 1 \cdot 6}}{{{1^3}}} = 198.$

Vậy giá trị của biểu thức B bằng 198.

Đáp án: 0,7

Vì $\Delta$’ = (–3)$^{2}$ – 2.3 = 3 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lý Viète ta có: ${{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{2} = 3 > 0;\;\,{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{3}{2} > 0.$

Do đó, x$_{1}$ > 0 và x$_{2}$ > 0. Suy ra ${\rm{3}}{{\rm{x}}_1} + {\rm{x}}_2^2 + {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} \ne 0.$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 vào E ta có: ${\rm{E}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + \left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right){{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right){{\rm{x}}_1} + {\rm{x}}_2^2 + {{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}} = \frac{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2}}{{{\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 + 2{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}}}}.$

Ta có: ${\rm{x}}_1^2 + {\rm{x}}_2^2 = {\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = {3^2} - 2 \cdot \frac{3}{2} = 6$.

Do đó: ${\rm{E}} = \frac{6}{{6 + 2 \cdot \frac{3}{2}}} = \frac{2}{3} \approx 0{,}7.$

Vậy E ≈ 0,7.