Bài tập Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và vận dụng đo mức độ rủi ro lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có bảng sau

Chiều cao trung bình

$\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161{,}4$.

Phương sai của mẫu số liệu

${S^2} = \frac{1}{{500}}\left( {{{152}^2}.25 + {{156}^2}.50 + {{160}^2}.200 + {{164}^2}.175 + {{168}^2}.50} \right) - 161,{4^2} = 14{,}84$.

Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {14{,}84} \approx 3{,}85$.

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng sau

Cỡ mẫu n = 25.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{1.1{,}5 + 2.4{,}5 + 4.7{,}5 + 11.10{,}5 + 7.13{,}5}}{{25}} = 10{,}02$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

${S^2} = \frac{{1.1,{5^2} + 2.4,{5^2} + 4.7,{5^2} + 11.10,{5^2} + 7.13,{5^2}}}{{25}} - 10,{02^2} \approx 9{,}85$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S = \sqrt {9{,}85} \approx 3{,}14$.

Đáp án đúng là: B

Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {0{,}573} \approx 0{,}757$.

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng có giá trị đại diện

Ta có $\overline x = \frac{{1.72{,}5 + 1.75{,}5 + 2.78{,}5 + 6.81{,}5 + 2.84{,}5}}{{12}} = 80{,}25$.

Phương sai: ${S^2} = \frac{{1.72,{5^2} + 1.75,{5^2} + 2.78,{5^2} + 6.81,{5^2} + 2.84,{5^2}}}{{12}} - 80,{25^2} = 11{,}1875$.

Đáp án đúng là: B

Ta có bảng có giá trị đại diện

Cỡ mẫu n = 20.

Ta có $\overline x = \frac{{3.2{,}85 + 6.3{,}15 + 5.3{,}45 + 4.3{,}75 + 2.4{,}05}}{{20}} = 3{,}39$.

Phương sai: ${S^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0{,}1314$.

Độ lệch chuẩn: $S = \sqrt {0{,}1314} \approx 0{,}36$.

Đáp án đúng là: B

Xét mẫu số liệu ghép nhóm M$_{1}$

Cỡ mẫu n = 30.

Có $\overline x = \frac{{1.1 + 2.3 + 10.5 + 15.7 + 2.9}}{{30}} = 6$.

Phương sai $s_1^2 = \frac{{{{1.1}^2} + {{2.3}^2} + {{10.5}^2} + {{15.7}^2} + {{2.9}^2}}}{{30}} - {6^2} = \frac{{43}}{{15}}$.

Mẫu số liệu ghép nhóm M$_{2}$

Cỡ mẫu n = 30.

Có $\overline x = \frac{{0.1 + 1.3 + 15.5 + 13.7 + 1.9}}{{30}} = \frac{{89}}{{15}}$.

Phương sai $s_2^2 = \frac{{{{0.1}^2} + {{1.3}^2} + {{15.5}^2} + {{13.7}^2} + {{1.9}^2}}}{{30}} - {\left( {\frac{{89}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{344}}{{225}}$.

Suy ra $s_1^2 = \frac{{15}}{8}s_2^2$.

Đáp án đúng là: D

Có $\overline x = \frac{{2.5{,}25 + 8.5{,}75 + 15.6{,}25 + 10.6{,}75 + 5.7{,}25}}{{40}} = 6{,}35$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

${s^2} = \frac{{2.5,{{25}^2} + 8.5,{{75}^2} + 15.6,{{25}^2} + 10.6,{{75}^2} + 5.7,{{25}^2}}}{{40}} - 6,{35^2} = 0{,}2775$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $s = \sqrt {0{,}2775} \approx 0{,}5268$.

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng có giá trị đại diện

Cỡ mẫu n = 42.

Có $\overline x = \frac{{15.162 + 10.166 + 8.170 + 6.174 + 3.178}}{{42}} = \frac{{502}}{3}$.

Phương sai:

${s^2} = \frac{{{{15.162}^2} + {{10.166}^2} + {{8.170}^2} + {{6.174}^2} + {{3.178}^2}}}{{42}} - {\left( {\frac{{502}}{3}} \right)^2} = \frac{{1664}}{{63}} \approx 26{,}41$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào biểu đồ ta có bảng sau

Cỡ mẫu n = 25

Ta có $\overline x = \frac{{3.5{,}6 + 4.5{,}8 + 6.6{,}0 + 5.6{,}2 + 5.6{,}4 + 2.6{,}6}}{{25}} = \frac{{761}}{{125}}$.

Phương sai ${s^2} = \frac{{3.5,{6^2} + 4.5,{8^2} + 6.6,{0^2} + 5.6,{2^2} + 5.6,{4^2} + 2.6,{6^2}}}{{25}} - {\left( {\frac{{761}}{{125}}} \right)^2} = \frac{{1354}}{{15625}}$.

Độ lệch chuẩn $s = \sqrt {\frac{{1354}}{{15625}}} \approx 0{,}294$.

Đáp án đúng là: A

Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư nhỏ có giá trị đại diện

Cỡ mẫu n = 20

Có ${\overline x _A} = \frac{{2.15 + 4.25 + 8.35 + 4.45 + 2.55}}{{20}} = 35$.

Phương sai $S_A^2 = \frac{{{{2.15}^2} + {{4.25}^2} + {{8.35}^2} + {{4.45}^2} + {{2.55}^2}}}{{20}} - {35^2} = 120$.

Độ lệch chuẩn ${S_A} = \sqrt {120} \approx 10{,}95$.

Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn có giá trị đại diện

Cỡ mẫu n = 20

Có $\overline {{x_B}} = \frac{{4.515 + 3.525 + 6.535 + 3.545 + 4.555}}{{20}} = 535$.

Phương sai $S_B^2 = \frac{{{{4.515}^2} + {{3.525}^2} + {{6.535}^2} + {{3.545}^2} + {{4.555}^2}}}{{20}} - {535^2} = 190$.

Độ lệch chuẩn ${S_B} = \sqrt {190} \approx 13{,}78$.

Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cỡ mẫu là n = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar x = \frac{{6 \cdot 4 + 7 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 12}}{{30}} = 7{,}8$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = \frac{1}{{30}}\left( {6 \cdot {4^2} + 7 \cdot {6^2} + 6 \cdot {8^2} + 6 \cdot {{10}^2} + 5 \cdot {{12}^2}} \right) - {7{,}8^2} = 7{,}56$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Giá trị đại diện tương ứng cho các nhóm là: 22,5; 27,5; 32,5; 37,5; 42,5.

Cỡ mẫu là n = 4 + 12 + 26 + 13 + 6 = 61.

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\bar x = \frac{{4 \cdot 22{,}5 + 12 \cdot 27{,}5 + 26 \cdot 32{,}5 + 13 \cdot 37{,}5 + 6 \cdot 42{,}5}}{{61}} \approx 32{,}91$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

${S^2} = \frac{1}{{61}}\left( {4 \cdot {{22{,}5}^2} + 12 \cdot {{27{,}5}^2} + 26 \cdot {{32{,}5}^2} + 13 \cdot {{37{,}5}^2} + 6 \cdot {{42{,}5}^2}} \right) - {32{,}91^2} \approx 26{,}4606$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 16,5; 19,5; 22,5; 25,5; 28,5; 31,5.

Số trung bình là:

$\bar x = \frac{{22 \cdot 16{,}5 + 38 \cdot 19{,}5 + 27 \cdot 22{,}5 + 8 \cdot 25{,}5 + 4 \cdot 28{,}5 + 1 \cdot 31{,}5}}{{100}} = 20{,}61$.

Phương sai là:

${S^2} = \frac{1}{{100}}(22 \cdot {16{,}5^2} + 38 \cdot {19{,}5^2} + 27 \cdot {22{,}5^2} + 8 \cdot {25{,}5^2} + 4 \cdot {28{,}5^2} + 1 \cdot {31{,}5^2}) - {20{,}61^2} \approx 10{,}7379.$

Độ lệch chuẩn là:

$S = \sqrt {10{,}7379} \approx 3{,}28$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giá trị đại diện tương ứng là: 9; 11; 13; 15; 17.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\bar x = \frac{{4 \cdot 9 + 6 \cdot 11 + 8 \cdot 13 + 4 \cdot 15 + 3 \cdot 17}}{{25}} = 12{,}68$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${S^2} = \frac{1}{{25}}(4 \cdot {9^2} + 6 \cdot {11^2} + 8 \cdot {13^2} + 4 \cdot {15^2} + 3 \cdot {17^2}) - {12{,}68^2} = 5{,}9776$.

Độ lệch chuẩn là:

$S = \sqrt {5{,}9776} \approx 2{,}44$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5.

Cỡ mẫu của cả hai lớp đều là 40.

Đối với lớp 11A:

${\bar x_A} = \frac{{1 \cdot 5{,}5 + 11 \cdot 7{,}5 + 22 \cdot 8{,}5 + 6 \cdot 9{,}5}}{{40}} = 8{,}3$.

$S_A^2 = \frac{1}{{40}}(1 \cdot {5{,}5^2} + 11 \cdot {7{,}5^2} + 22 \cdot {8{,}5^2} + 6 \cdot {9{,}5^2}) - {8{,}3^2} = 0{,}61$.

Độ lệch chuẩn lớp 11A là ${S_A} = \sqrt {0{,}61} \approx 0{,}78$.

Đối với lớp 11B:

${\bar x_B} = \frac{{6 \cdot 6{,}5 + 8 \cdot 7{,}5 + 14 \cdot 8{,}5 + 12 \cdot 9{,}5}}{{40}} = 8{,}3$.

$S_B^2 = \frac{1}{{40}}(6 \cdot {6{,}5^2} + 8 \cdot {7{,}5^2} + 14 \cdot {8{,}5^2} + 12 \cdot {9{,}5^2}) - {8{,}3^2} = 1{,}06$.

Độ lệch chuẩn lớp 11B là ${S_B} = \sqrt {1{,}06} \approx 1{,}03$.

Vì ${S_A} < {S_B}$ nên điểm trung bình của học sinh lớp 11A ít phân tán hơn lớp 11B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Giá trị đại diện lần lượt là: 5; 7; 9; 11; 13.

a) Đúng. Cỡ mẫu là n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50.

b) Đúng. Số trung bình là:

$\bar x = \frac{{6 \cdot 5 + 12 \cdot 7 + 19 \cdot 9 + 9 \cdot 11 + 4 \cdot 13}}{{50}} = 8{,}72$.

c) Sai. Phương sai của mẫu số liệu là:

${S^2} = \frac{1}{{50}}(6 \cdot {5^2} + 12 \cdot {7^2} + 19 \cdot {9^2} + 9 \cdot {11^2} + 4 \cdot {13^2}) - {8{,}72^2} \approx 4{,}80$.

d) Sai. Độ lệch chuẩn là $S = \sqrt {4{,}80} \approx 2{,}19$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Cỡ mẫu là n = 3 + 7 + 4 + 3 + 3 = 20.

b) Đúng. Số trung bình là:

$\bar x = \frac{{3 \cdot 44 + 7 \cdot 48 + 4 \cdot 52 + 3 \cdot 56 + 3 \cdot 60}}{{20}} = 51{,}2$.

c) Đúng. Phương sai là:

${S^2} = \frac{1}{{20}}(3 \cdot {44^2} + 7 \cdot {48^2} + 4 \cdot {52^2} + 3 \cdot {56^2} + 3 \cdot {60^2}) - {51{,}2^2} = 26{,}56$.

d) Sai. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S = \sqrt {26{,}56} \approx 5{,}15$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Nhóm 2 có giá trị đại diện là 25, nhóm 4 là 45. Tổng là 25 + 45 = 70.

b) Sai. Độ dài trung bình là:

$\bar x = \frac{{18 \cdot 15 + 8 \cdot 25 + 10 \cdot 35 + 24 \cdot 45}}{{60}} = \frac{{95}}{3} \approx 31{,}67$.

c) Đúng. Phương sai là:

${S^2} = \frac{{18 \cdot {{15}^2} + 8 \cdot {{25}^2} + 10 \cdot {{35}^2} + 24 \cdot {{45}^2}}}{{60}} - {\left( {\frac{{95}}{3}} \right)^2} = \frac{{1460}}{9}$.

d) Đúng. Độ lệch chuẩn là $S = \sqrt {\frac{{1460}}{9}} \approx 12{,}736 \approx 12{,}74$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Giá trị đại diện của các khoảng: 19,25; 19,75; 20,25; 20,75; 21,25.

a) Sai. Cỡ mẫu n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

b) Đúng. Số trung bình là:

$\bar x = \frac{{13 \cdot 19{,}25 + 45 \cdot 19{,}75 + 24 \cdot 20{,}25 + 12 \cdot 20{,}75 + 6 \cdot 21{,}25}}{{100}} = 20{,}015$.

c) Đúng. Phương sai là:

${S^2} = \frac{1}{{100}}(13 \cdot {19{,}25^2} + 45 \cdot {19{,}75^2} + \ldots + 6 \cdot {21{,}25^2}) - {20{,}015^2} \approx 0{,}277$.

d) Sai. Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {0{,}277} \approx 0{,}526 \ne 0{,}277$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: 55; 65; 75; 85.

a) Đúng. Ta tính được:

${\bar x_A} = \frac{{10 \cdot 65 + 11 \cdot 75 + 9 \cdot 85}}{{30}} \approx 74{,}6$.

${\bar x_B} = \frac{{1 \cdot 55 + 10 \cdot 65 + 16 \cdot 75 + 3 \cdot 85}}{{30}} = 72$.

b) Sai. Phương sai của đường A là:

$S_A^2 = \frac{1}{{30}}(10 \cdot {65^2} + 11 \cdot {75^2} + 9 \cdot {85^2}) - {74{,}6^2} = \frac{{5488}}{{75}} \approx 73{,}17$.

c) Đúng. Phương sai của đường B là $S_B^2 = \frac{{143}}{3} \approx 47{,}67$, độ lệch chuẩn ${S_B} = \sqrt {47{,}67} \approx 6{,}9.$

d) Đúng. Độ lệch chuẩn ${S_A} = \sqrt {73{,}17} \approx 8{,}55$, và ${S_B} \approx 6{,}9$. Vì ${S_B} < {S_A}$ nên trên đường B có tốc độ đồng đều hơn, xe chạy an toàn và ít rủi ro hơn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3023

Cỡ mẫu n = 24 + 62 + 34 + 21 + 9 = 150.

Giá trị đại diện tương ứng: 225; 275; 325; 375; 425.

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\bar x = \frac{{24 \cdot 225 + 62 \cdot 275 + 34 \cdot 325 + 21 \cdot 375 + 9 \cdot 425}}{{150}} = \frac{{904}}{3}$.

Phương sai là:

${S^2} = \frac{1}{{150}}(24 \cdot {225^2} + 62 \cdot {275^2} + 34 \cdot {325^2} + 21 \cdot {375^2} + 9 \cdot {425^2}) - {\left( {\frac{{904}}{3}} \right)^2} \approx 3023$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 55,7

Cỡ mẫu $n = 5 + 10 + 9 + 4 + 2 = 30$.

Giá trị đại diện các nhóm: 75; 125; 175; 225; 275.

Số trung bình là:

$\bar x = \frac{{5 \cdot 75 + 10 \cdot 125 + 9 \cdot 175 + 4 \cdot 225 + 2 \cdot 275}}{{30}} = 155$

Phương sai là:

${S^2} = \frac{1}{{30}}(5 \cdot {75^2} + 10 \cdot {125^2} + 9 \cdot {175^2} + 4 \cdot {225^2} + 2 \cdot {275^2}) - {155^2} = 3100$

Độ lệch chuẩn là:

$S = \sqrt {3100} \approx 55{,}7$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,3

Giá trị đại diện: 31; 33; 35; 37; 39. Cỡ mẫu ở A và B đều là n = 100.

Đường kính trung bình tại A và B là:

${\bar x_A} = \frac{{25 \cdot 31 + 38 \cdot 33 + 20 \cdot 35 + 10 \cdot 37 + 7 \cdot 39}}{{100}} = 33{,}72$;

${\bar x_B} = \frac{{22 \cdot 31 + 27 \cdot 33 + 19 \cdot 35 + 18 \cdot 37 + 14 \cdot 39}}{{100}} = 34{,}5$.

Phương sai tại A và B là:

$S_A^2 = \frac{1}{{100}}(25 \cdot {31^2} + 38 \cdot {33^2} + 20 \cdot {35^2} + 10 \cdot {37^2} + 7 \cdot {39^2}) - {33{,}72^2} \approx 5{,}402$;

$S_B^2 = \frac{1}{{100}}(22 \cdot {31^2} + 27 \cdot {33^2} + 19 \cdot {35^2} + 18 \cdot {37^2} + 14 \cdot {39^2}) - {34{,}5^2} = 7{,}31$.

Độ lệch chuẩn tại A và B là:

${S_A} = \sqrt {5{,}402} \approx 2{,}324$; ${S_B} = \sqrt {7{,}31} \approx 2{,}704$.

Vì ${S_A} < {S_B}$ nên cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn. Độ lệch chuẩn của nó làm tròn là 2,3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8,42

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5.

Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A và B tương ứng là:

${\bar x_A} = \frac{1}{{60}}(5 \cdot 7{,}5 + 10 \cdot 12{,}5 + 30 \cdot 17{,}5 + 10 \cdot 22{,}5 + 5 \cdot 27{,}5) = 17{,}5$(triệu đồng);

${\bar x_B} = \frac{1}{{60}}(20 \cdot 7{,}5 + 5 \cdot 12{,}5 + 10 \cdot 17{,}5 + 5 \cdot 22{,}5 + 20 \cdot 27{,}5) = 17{,}5$(triệu đồng).

Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực tương ứng là:

${S_A} = \sqrt {{{\bar x}_A} = \frac{1}{{60}}\left( {5 \cdot {{7{,}5}^2} + 10 \cdot {{12{,}5}^2} + 30 \cdot {{17{,}5}^2} + 10 \cdot {{22{,}5}^2} + 5 \cdot {{27{,}5}^2}} \right) - {{17{,}5}^2}} = 5$;

${S_B} = \sqrt {{{\bar x}_B} = \frac{1}{{60}}\left( {20 \cdot {{7{,}5}^2} + 5 \cdot {{12{,}5}^2} + 10 \cdot {{17{,}5}^2} + 5 \cdot {{22{,}5}^2} + 20 \cdot {{27{,}5}^2}} \right) - {{17{,}5}^2}} \approx 8{,}42$.

Do ${S_B} > {S_A}$ nên lĩnh vực B có độ rủi ro cao hơn.

Độ lệch chuẩn của lĩnh vực rủi ro cao hơn là xấp xỉ 8,42.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12,4

Giá trị đại diện của giá đóng cửa tương ứng là: 121; 123; 125; 127; 129.

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\bar x_A} = \frac{{8 \cdot 121 + 9 \cdot 123 + 12 \cdot 125 + 10 \cdot 127 + 11 \cdot 129}}{{50}} = 125{,}28$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$S_A^2 = \frac{1}{{50}}(8 \cdot {121^2} + 9 \cdot {123^2} + 12 \cdot {125^2} + 10 \cdot {127^2} + 11 \cdot {129^2}) - {125{,}28^2} = 7{,}5216$.

Độ lệch chuẩn là ${S_A} = \sqrt {7{,}5216}$.

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\bar x_B} = \frac{{16 \cdot 121 + 4 \cdot 123 + 3 \cdot 125 + 6 \cdot 127 + 21 \cdot 129}}{{50}} = 125{,}48$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$S_B^2 = \frac{1}{{50}}(16 \cdot {121^2} + 4 \cdot {123^2} + 3 \cdot {125^2} + 6 \cdot {127^2} + 21 \cdot {129^2}) - {125{,}48^2} = 12{,}4096$.

Độ lệch chuẩn là ${S_B} = \sqrt {12{,}4096}$.

Nhận thấy $S_B^2 > S_A^2$, do đó cổ phiếu B có độ rủi ro lớn hơn cổ phiếu A.

Phương sai của cổ phiếu rủi ro lớn hơn xấp xỉ bằng 12,4.