Bài tập Tính giá trị của lôgarit và giá trị của biểu thức số có chứa lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của lôgarit ta có: log$_{a}$ 1 = 0.

Suy ra log1 = 0.

Như vậy mệnh đề A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: log9 – log3 = log $\frac{9}{3}$ = log3.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\log }_{2}9-{\log }_{2}36={\log }_{2}\frac{9}{36}={\log }_{2}\frac{1}{4}={\log }_{2}{2}^{-2}=-2.$

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$L={\log }_{{2}^{2\ 024}}4-\frac{1}{1\ 012}+\ln {e}^{2\ 024}=\frac{1}{2\ 024}{\log }_{2}{2}^{2}-\frac{1}{1\ 012}+2\ 024\ln e$

$=\frac{2}{2\ 024}-\frac{1}{1\ 012}+2\ 024=\frac{1}{1\ 012}-\frac{1}{1\ 012}+2\ 024=2\ 024.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: P = ln(2e) – log100 = ln2 + lne – log10$^{2}$ = ln2 + 1 – 2log10

= ln2 + 1 – 2 = ln2 – 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

${\log }_{2}(2\sin \frac{π}{12})+{\log }_{2}(\cos \frac{π}{12})={\log }_{2}(2\sin \frac{π}{12}.\cos \frac{π}{12})$

$={\log }_{2}(\sin \frac{π}{6})={\log }_{2}\frac{1}{2}={\log }_{2}{2}^{-1}=-1.$

Đáp án đúng là: D

Nếu log$_{2}$3 = a thì ${\log }_{6}9=\frac{{\log }_{2}9}{{\log }_{2}6}=\frac{{\log }_{2}{3}^{2}}{{\log }_{2}3+lo{g}_{2}2}$

$=\frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{2}3+1}=\frac{2a}{a+1}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: log$_{30}$ 1 350 = log$_{30}$ (30.3$^{2}$.5) = log$_{30}$ 30 + log$_{30}$ 3$^{2}$ + log$_{30}$ 5

= 1 + 2log$_{30}$ 3 + log$_{30}$ 5 = 1 + 2a + b.

Vậy log$_{30}$ 1 350 = 2a + b + 1, với log$_{30}$ 3 = a và log$_{30}$ 5 = b.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $I=\ln \frac{1}{2}+\ln \frac{2}{3}+...+\ln \frac{98}{99}+\ln \frac{99}{100}$

= ln1 – ln2 + ln2 – ln3 + … + ln98 – ln99 + ln99 – ln100

= ln1 – ln100 = 0 – ln10$^{2}$ = –2ln10

= –2ln(2.5) = –2(ln2 + ln5)

= –2(a + b).

Vậy I = –2(a + b), với a = ln2 và b = ln5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

A = log$_{2}$16 = log$_{2}$(2$^{4}$) = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

log$_{3}$27 = log$_{3}$(3$^{3}$) = 3; log$_{5}$$\left( {\frac{1}{{25}}} \right)$ = log$_{5}$5$^{–2}$ = –2.

⇒ M = 3 + (–2) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

log$_{2}$9 – log$_{2}$36 = log$_{2}$$\frac{9}{{36}}$ = log$_{2}$$\frac{1}{4}$ = log$_{2}$(2$^{–2}$) = –2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có:

${\log _{{2^{2024}}}}4$ = ${\log _{{2^{2024}}}}$2$^{2}$ = $\frac{1}{{2024}}$log$_{2}$2$^{2}$ = $\frac{2}{{2024}}$log$_{2}$2 = $\frac{1}{{1012}}$

ln e$^{2024}$ = 2024

⇒ L = $\frac{1}{{1012}}$ – $\frac{1}{{1012}}$ + 2024 = 2024.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

log$_{3}$9 = log$_{3}$3$^{2}$ = 2; log$_{9}$27 = ${\log _{{3^2}}}$3$^{3}$ = $\frac{3}{2}$log$_{3}$3 = $\frac{3}{2}$;

log$_{27}$81 = ${\log _{{3^3}}}$3$^{4}$ = $\frac{4}{3}$log$_{3}$3 = $\frac{4}{3}$

⇒ D = 2 ⋅ $\frac{3}{2}$⋅ $\frac{4}{3}$ = 4 ⇒ a = 4 ⇒ a$^{2}$ = 4$^{2}$ = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Với 0 < a ≠ 1 và α là số thực tùy ý, ta có: log$_{a}$1 = 0. Do đó log$_{3}$1 = 0.

b) Sai. Ta có: log$_{a}$M xác định ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\M > 0\end{array} \right.$

Mà M = 0 ≯ 0, do đó log$_{2}$0 không xác định.

c) Đúng. Ta có: ln M = log$_{e}$M ⇒ M > 0

Mà – e < 0 nên ln(–e) không xác định.

d) Đúng. Theo tính chất lôgarit cơ bản, log$_{a}$a = 1. Do đó log$_{5}$5 = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. log$_{2}$16 = log$_{2}$2$^{4}$ = 4.

b) Sai. ${\log _{\frac{1}{3}}}9$ = ${\log _{{3^{ - 1}}}}{3^2}$ = $\frac{1}{{( - 1)}}$log$_{3}$3$^{2}$ = (–1)log$_{3}$3$^{2}$ = (–2)log$_{3}$3 = –2.

Vậy ${\log _{\frac{1}{3}}}9$ = –2 ≠ 2.

c) Đúng. Theo câu a), log$_{2}$16 = 4; ${\log _{\frac{1}{3}}}9$ = –2

⇒ A = log$_{2}$16 + ${\log _{\frac{1}{3}}}9$ = 4 + (–2) = 2.

d) Đúng. Ta có A = 2 là số nguyên tố nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức hệ quả đổi cơ số: log$_{a}$b ⋅ log$_{b}$c = log$_{a}$c

⇒ log$_{5}$2 ⋅ log$_{2}$25 = log$_{5}$25.

b) Đúng. ln e$^{3}$ = log$_{e}$e$^{3}$ = 3.

c) Đúng. Theo câu a) log$_{5}$2 ⋅ log$_{2}$25 = log$_{5}$25 = log$_{5}$5$^{2}$ = 2

Theo câu b), ln e$^{3}$ = 3

⇒ B = 2 + 3 = 5.

d) Sai. Giá trị của biểu thức B = 5 là một số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: P = log$_{2}$8 + log$_{3}$27 – log$_{5}$5$^{3}$ = log$_{2}$2$^{3}$ + log$_{3}$3$^{2}$ + log$_{5}$5$^{3}$ = 3 + 3 – 3 = 3.

Ta có: Q = ln(2e) – log100 = ln2 + ln e – log$_{10}$2 = ln2 + 1 – 2 = ln2 – 1.

⇒ P + Q = 3 + (ln2 – 1) = 2 + ln 2 ≠ 2ln2.

b) Đúng. Q – P = ln2 – 1 – 3 = ln2 – 4.

c) Đúng. 3Q + P = 3(ln2 – 1) + 3 = 3ln2 – 3 + 3 = 3ln2.

d) Đúng. 2Q + P = 2(ln2 – 1) + 3 = 2ln2 – 2 + 3 = 2ln2 + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: A = ${\log _{{2^{2030}}}}4$ – $\frac{1}{{1015}}$ + ln e$^{2035}$ = ${\log _{{2^{2030}}}}{2^2}$ – $\frac{1}{{1015}}$ + 2035

= $\frac{2}{{2030}}$ – $\frac{1}{{1015}}$ + 2035 = 2035

Mà 2035 : 5 = 407 ⇒ 2035 ⋮ 5 ⇒ A ⋮ 5.

b) Sai. Ta có: B = log$_{5}$3 ⋅ log$_{2}$5 – $\frac{{\ln 9}}{{\ln 4}}$ = log$_{2}$5 ⋅ log$_{5}$3 – log$_{4}$9

= log$_{2}$3 – ${\log _{{2^2}}}{3^2}$ = log$_{2}$3 – log$_{2}$3 = 0.

⇒ A – B = 2035 – 0 = 2035 ≠ 2036.

c) Đúng. A + 2026B = 2035 + 2026 ⋅ 0 = 2035.

d) Đúng. A – 2026B = 2035 – 2026 ⋅ 0 = 2035.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Áp dụng quy tắc tính lôgarit của một thương log$_{a}$M – log$_{a}$N = log$_{a}$$\left( {\frac{M}{N}} \right)$, ta có:

S = log$_{3}$54 – log$_{3}$2 = log$_{3}$$\left( {\frac{{54}}{2}} \right)$ = log$_{3}$27 = log$_{3}$3$^{3}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Áp dụng công thức đổi cơ số: log$_{a}$b ⋅ log$_{b}$c = log$_{a}$c, ta có:

P = log$_{2}$3 ⋅ log$_{3}$4 ⋅ log$_{4}$5 ⋅ log$_{5}$6 ⋅ log$_{6}$7 ⋅ log$_{7}$8 = log$_{2}$8.

P = log$_{2}$8 = log$_{2}$2$^{3}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Áp dụng công thức đổi cơ số: $\frac{1}{{{{\log }_a}b}}$ = log$_{b}$a và tính chất ${a^{{{\log }_a}b}}$ = b, ta có:

${25^{\frac{1}{{{{\log }_6}5}}}}$ = ${\left( {{5^2}} \right)^{{{\log }_5}6}}$ = ${5^{2{{\log }_5}6}}$ = ${5^{{{\log }_5}36}}$ = 36

${49^{\frac{1}{{{{\log }_8}7}}}}$ = ${({7^2})^{{{\log }_7}8}}$ = ${7^{2{{\log }_7}8}}$ = ${7^{{{\log }_7}64}}$ = 64

⇒ A = $\sqrt {36 + 64}$ = $\sqrt {100}$ = 10

Vậy A = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Ta có: P = 1 + ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)$ + ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)$ + … + ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{{1023}}} \right)$

P = ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{1}} \right)$ + ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)$ + ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)$ + … + ${\log _2}\left( {1 + \frac{1}{{1023}}} \right)$

P = ${\log _2}\left( {\frac{2}{1}} \right)$ + ${\log _2}\left( {\frac{3}{2}} \right)$ + … + ${\log _2}\left( {\frac{{1024}}{{1023}}} \right)$

P = ${\log _2}\left( {\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}...\frac{{1024}}{{1023}}} \right)$ = ${\log _2}\left( {\frac{{1024}}{1}} \right)$ = log$_{2}$1024 = log$_{2}$(2$^{10}$) = 10

Vậy P = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Áp dụng công thức ${a^{{{\log }_a}M}}$ = M, ta có: e$^{ln 7}$ = ${e^{{{\log }_e}7}}$= 7.

Với 0 < a ≠ 1 ⇒ log$_{a}$1 = 0 ⇒ log$_{4}$1 = 0.

⇒ H = 7 + 0 = 7.