Bài tập Tính giá trị biểu thức lượng giác lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = sin61° − cos29° = sin61° − sin61° = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: B = cos15° − sin75° = cos15° − cos15° = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = tan45°.cos30°.cot30° = 1.$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.$\sqrt 3$ = $\frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = 4 – sin$^{2}$45° + 2cos$^{2}$60° − 3cot$^{3}$45°

= 4 – ${\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ + 2. ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ − 3.1$^{3}$

= 4 – $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - 3

= 1.

Đáp án đúng là: C

Ta có: B = cos$^{2}$15° + cos$^{2}$25° +…+ cos$^{2}$75°

= (cos$^{2}$15° + cos$^{2}$75°) + (cos$^{2}$25° + cos$^{2}$65°) + ….+ cos$^{2}$45°

= (cos$^{2}$15° + sin$^{2}$15°) + (cos$^{2}$25° + sin$^{2}$25°) + ….+ cos$^{2}$45°

= 1 + 1 + 1 + 1+ ${\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$= $\frac{7}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: C = sin$^{2}$10° + sin$^{2}$20° +…+ sin$^{2}$80°

= (sin$^{2}$10° + sin$^{2}$80°) + (sin$^{2}$20° + sin$^{2}$70°) + ….+ (sin$^{2}$40° + sin$^{2}$50°)

= (sin$^{2}$10° + cos$^{2}$10°) + (sin$^{2}$20° + cos$^{2}$20°) +….+ (sin$^{2}$40° + cos$^{2}$40°)

= 1 + 1 + 1 + 1

= 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = 4cos$^{2}$45° + $\sqrt 3$cot30° − 16cos$^{3}$60°

= 4.${\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$+ $\sqrt 3$.$\sqrt 3$ − 16.${\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}$

= 2 + 3 – 2

= 3.

Đáp án đúng là: A

Ta có: N = $\frac{{2\sin 30^\circ - \sin 60^\circ }}{{{{\cos }^2}30^\circ - \cos 60^\circ }}$

= $\frac{{2.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{4}}} = 4 - 2\sqrt 3$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: tanα = 2 hay $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2$ suy ra sinα = 2cosα.

Do đó, ta có: A = $\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{2\cos \alpha + \cos \alpha }}{{2\cos \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} = 3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: tanα = 2 hay $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2$ suy ra sinα = 2cosα.

Do đó, ta có:

A = sin$^{2}$α + 2sinαcosα – 3cos$^{2}$α

A = 4cos$^{2}$α + 4cos$^{2}$α – 3cos$^{2}$α

A = 5cos$^{2}$α

A = 5.$\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}$ = $\frac{5}{{1 + {2^2}}}$ = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = \left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)$.

b) Sai.

Ta có: 1 – 2sinαcosα = sin$^{2}$α – 2sinαcosα + cos$^{2}$α = (sinα − cosα)$^{2}$.

c) Sai.

Ta có: $A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)}^2}}}{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}$.

d) Đúng.

Có $\tan \alpha = \frac{1}{3}$ hay $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}$, suy ra cosα = 3sinα.

Ta có: $A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 3\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - 2\sin \alpha }} = - 2$.

Do đó, với $\tan \alpha = \frac{1}{3}$ thì giá trị của A < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Ta có: $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.

b) Đúng.

Vì $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 3$, do đó $\cos \alpha \ne 0$ và $\sin \alpha \ne 0$.

c) Đúng.

Có $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 3$ nên $\cos \alpha = 3\sin \alpha$.

d) Sai.

Ta có: $C = \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha .\cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha }}$

$= \frac{{\sin \alpha .3\sin \alpha - {{\left( {3\sin \alpha } \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha .3\sin \alpha + {{\left( {3\sin \alpha } \right)}^2}}}$

$= \frac{{3{{\sin }^2}\alpha - 9{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha - 3{{\sin }^2}\alpha + 9{{\sin }^2}\alpha }}$

$= \frac{{ - 6{{\sin }^2}\alpha }}{{7{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{ - 6}}{7}$.

Do đó, C < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Dựa vào bảng lượng giác của các góc đặc biệt, ta có: $\sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

b) Đúng.

Ta có: sin 45° = cos 45° (hai góc phụ nhau).

c) Sai.

Ta có: $co{s^2}60^\circ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}$;

${\sin ^2}45^\circ = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$

Do đó, cos$^{2}$60° ≠ sin$^{2}$ 45°.

d) Đúng.

Ta có: $G = 10 - {\sin ^2}45^\circ + 3{\cos ^2}60^\circ + 5{\cos ^2}45^\circ$

$G = 10 - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 3{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 5{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$

$G = 10 - \frac{1}{2} + 3.\frac{1}{4} + \frac{5}{2}$

$G = 10 + 2 + \frac{3}{4} = \frac{{51}}{4} = 12{,}75$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Theo bảng giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$

b) Đúng.

Ta có: $E = \frac{{3\cot 60^\circ }}{{2{{\cos }^2}60^\circ - 1}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2} - 1}} = - 2\sqrt 3$.

c) Sai.

Ta có: $F = \frac{{\cos 60^\circ }}{{1 + \sin 60^\circ }} + \frac{1}{{\tan 30^\circ }} = \frac{{\cos 60^\circ }}{{1 + \sin 60^\circ }} + \cot 30^\circ$.

d) Sai.

Ta có: $F = \frac{{\cos 60^\circ }}{{1 + \sin 60^\circ }} + \frac{1}{{\tan 30^\circ }} = \frac{{\cos 60^\circ }}{{1 + \sin 60^\circ }} + \cot 30^\circ$

$= \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} + \sqrt 3 = \frac{2}{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} + \sqrt 3$

$= 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 2$.

Do đó, $F - E = 2 - \left( { - 2\sqrt 3 } \right) = 2 + 2\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: tan 32° = cot 58° (hai góc phụ nhau).

b) Đúng.

Có $\cot 35^\circ = \tan 55^\circ$(hai góc phụ nhau).

c) Đúng.

Ta có: $A = 12.\tan 32^\circ .\cot 32^\circ = 12.\tan 32^\circ .\frac{1}{{\tan 32^\circ }} = 12.\frac{{\tan 32^\circ }}{{\tan 32^\circ }} = 12$.

d) Đúng.

Ta có: $B = \frac{{8\cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }} = \frac{{8.\tan 55^\circ }}{{\tan 55^\circ }} = 8$.

Vậy A – B = 12 – 8 = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Ta có: $B = \frac{{\cos 41^\circ }}{{\sin 49^\circ }} + \tan 28^\circ \cdot \tan 62^\circ$

$= \frac{{\sin \left( {90^\circ - 41^\circ } \right)}}{{\sin 49^\circ }} + \tan 28^\circ \cdot \cot \left( {90^\circ - 62^\circ } \right)$

$= \frac{{\sin 49^\circ }}{{\sin 49^\circ }} + \tan 28^\circ \cdot \cot 28^\circ$

$= 1 + 1 = 2$.

Vậy B = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −4

Ta có: A = [sinα + 3cos(90° − α)] : [sinα – 2cos(90° − α)]

= [sinα + 3sinα] : [sinα – 2sinα]

= 4sinα : (−sinα)

= −4.

Vậy A = −4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 25

Ta có: C = (3sinα + 4 cosα)$^{2}$ + (4sinα – 3cosα)$^{2}$.

= 9sin$^{2}$α + 24sinαcosα + 16cos$^{2}$α + 16sin$^{2}$α – 24sinαcosα + 9cos$^{2}$α

= 25sin$^{2}$α + 25cos$^{2}$α

= 25(sin$^{2}$α + cos$^{2}$α)

= 25.

Vậy C = 25.

Đáp án: 1

Với $0^\circ < \alpha < 70^\circ$, ta có: $90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .$

Do đó:

$$A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)$$

$$\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha$$

$$\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]$$

$$\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$

Đáp án: −4

Ta có: $\frac{{{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}$

$= \frac{{\left( {\cos \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha - \sin \alpha - \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}$

$= \frac{{2\cos \alpha .\left( { - 2\sin \alpha } \right)}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}$

$= \frac{{ - 4\cos \alpha .\sin \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = - 4$.

Vậy $a = - 4$.