Bài tập Tính giá trị biểu thức có chứa căn bậc hai tại giá trị cho trước của ẩn số lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Thay x = 4 vào C, ta được:

$C = \frac{{4 + 3\sqrt 4 }}{{\sqrt 4 + 3}} - 2 = \frac{{4 - 3.2}}{{2 + 3}} - 2 = - \frac{2}{5} - 2 = - \frac{{12}}{5}$.

Đáp án đúng là: A

Thay x = 4 vào D, ta được:

$D = \sqrt {{4^2} - 4 - 6} - \sqrt {4 - 3} = \sqrt 6 - 1$.

Đáp án đúng là: A

Thay x = 9 vào biểu thức E, ta được:

$E = \sqrt {9 - 1} - \sqrt {4.9 - 4} + \sqrt {9.9 - 9}$

$E = \sqrt 8 - \sqrt {32} + \sqrt {72} = 2\sqrt 2 - 4\sqrt 2 + 6\sqrt 2 = 4\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: A

Thay x = 25 vào F, ta được:

$F = \frac{{\sqrt {25} - 1}}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{{5 - 1}}{{5 + 1}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Thay x = 16 vào A, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} - 5}} - \frac{{10\sqrt {16} }}{{16 - 25}} - \frac{5}{{\sqrt {16} + 5}} = \frac{4}{{4 - 5}} - \frac{{10.4}}{{ - 9}} - \frac{5}{{4 + 5}} = - 4 + \frac{{40}}{9} - \frac{5}{9} = - \frac{1}{9}$.

Đáp án đúng là: A

Thay x = $\frac{1}{9}$ vào biểu B, ta có:

$B = \frac{{2\sqrt {\frac{1}{9}} }}{{\sqrt {\frac{1}{9}} - 3}} - \frac{{\frac{1}{9} + 9\sqrt {\frac{1}{9}} }}{{\frac{1}{9} - 9}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{8}{3}}} - \frac{{\frac{1}{9} + 3}}{{ - \frac{{80}}{9}}} = - \frac{1}{4} + \frac{7}{{20}} = \frac{1}{{10}}$.

Đáp án đúng là: B

Thay x = 64 vào C, ta được:

$C = \frac{{\sqrt {64} - 1}}{{\sqrt {64} }} + \frac{{2\sqrt {64} + 1}}{{64 + \sqrt {64} }} = \frac{{8 - 1}}{8} + \frac{{2.8 + 1}}{{64 + 8}} = \frac{7}{8} + \frac{{17}}{{72}} = \frac{{10}}{9}$.

Đáp án đúng là: A

Thay x = $\frac{1}{4}$ vào D, ta có: $D = \frac{{\frac{1}{4} - 7}}{{\sqrt {\frac{1}{4}} + 1}} + \frac{{3 + \sqrt {\frac{1}{4}} }}{{\sqrt {\frac{1}{4}} }} = \frac{{ - \frac{{27}}{4}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = - \frac{9}{2} + 7 = \frac{5}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Thay x = 4 vào B, ta có:

$B = \frac{{4\sqrt 4 - 1}}{{4 - \sqrt 2 }} - \frac{{4\sqrt 4 + 1}}{{4 + \sqrt 4 }} + \frac{{4 + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{7}{2} - \frac{9}{6} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: x = 3 – $2\sqrt 2$ = ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}$

Thay x = 3 – $2\sqrt 2$ hay x =${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}$ vào biểu thức A, ta có:

$A = \frac{3}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - 1}} - \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - 3}}{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2} - 1}}$

$A = \frac{3}{{\sqrt 2 - 1 + 1}} - \frac{1}{{\sqrt 2 - 1 - 1}} - \frac{{\sqrt 2 - 1 - 3}}{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2} - 1}}$

$A = \frac{3}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 - 2}} - \frac{{\sqrt 2 - 4}}{{2 - 2\sqrt 2 }}$

$A = \frac{3}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 - 2}} - \frac{{\sqrt 2 - 4}}{{2 - 2\sqrt 2 }}$

$A = \frac{{3\left( {\sqrt 2 - 2} \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt 2 - 4}}{{2 - 2\sqrt 2 }}$

$A = \frac{{3\sqrt 2 - 6 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 4}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 - 2}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 - 2} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì điều kiện xác định của biểu thức là x > 0 và x ≠ 4 nên tại x = 4 biểu thức M không tồn tại giá trị.

b) Sai.

Thay x = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta có:

$M = \left( {\frac{1}{{1 - 4}} - \frac{1}{{1 + 4\sqrt 1 + 4}}} \right).\frac{{1 + 2\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 }} = \left( { - \frac{1}{3} - \frac{1}{9}} \right).3 = - \frac{4}{3}$.

c) Sai.

Thay x = $\frac{1}{4} = 0{,}25$ (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta được:

$M = \left( {\frac{1}{{0{,}25 - 4}} - \frac{1}{{0{,}25 + 4\sqrt {0{,}25} + 4}}} \right).\frac{{0{,}25 + 2\sqrt {0{,}25} }}{{\sqrt {0{,}25} }} = \left( { - \frac{4}{{15}} - \frac{4}{{25}}} \right).\frac{5}{2} = - \frac{{16}}{{15}}$.

Do đó, tại x = $\frac{1}{4}$ thì biểu thức M mang giá trị âm.

d) Sai.

Ta có: M(1) – M(4) = $- \frac{4}{3} - \left( { - \frac{{16}}{{15}}} \right) = - \frac{4}{{15}} < 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Nhận thấy điều kiện xác định của P là x > 0; x ≠ 1 nên tại x = 1 biểu thức P không có giá trị.

b) Sai.

Nhận thấy điều kiện xác định của Q là x > 0 nên tại x = 1 (thỏa mãn điều kiện) thì ta tính được giá trị của biểu thức Q.

c) Đúng.

Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào P, ta được:

$P = \left( {\frac{{4 - 2}}{{4 + 2\sqrt 4 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + 2}}} \right).\frac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 - 1}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right).3 = \frac{3}{2}.$

d) Đúng.

Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào Q, ta được:

$Q = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2}.$

Vậy tại x = 4, giá trị của biểu thức P và Q bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức A.

Do đó, tại x = 0, biểu thức A không có giá trị.

b) Đúng.

Với x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) thay vào $B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}$, được:

$B = \frac{1}{{\sqrt 4 + 1}} + \frac{2}{{4 - 1}} = \frac{1}{{2 + 1}} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

Vậy giá trị của B bằng 1 tại x = 4.

c) Sai.

Với x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$ được:

$A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 - 1}} - \frac{1}{{9 - \sqrt 9 }} = \frac{3}{{3 - 1}} - \frac{1}{{9 - 3}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$.

Với x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào $B = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}$ được:

$B = \frac{1}{{\sqrt 9 + 1}} + \frac{2}{{9 - 1}} = \frac{1}{{3 + 1}} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Có $\frac{4}{3}:\frac{1}{2} = \frac{8}{3} > 2$.

Do đó, tại x = 9 thì giá trị của biểu thức A gấp hơn hai lần giá trị của biểu thức B.

d) Sai.

Với x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$ được:

$A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4 - 1}} - \frac{1}{{4 - \sqrt 4 }} = \frac{2}{{2 - 1}} - \frac{1}{{4 - 2}} = \frac{2}{1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Từ b) tính được tại x = 4 thì giá trị của B = 1.

Do đó, giá trị của P = A : B tại x = 4 là: $P = \frac{3}{2}:1 = \frac{3}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Với $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào Q ta được: $Q = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4} - 1}} = \frac{1}{4}:\left( { - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{1}{3}$.

b) Đúng.

Vì x = 1 không thỏa mãn điều kiện xác định của Q.

Do đó, tại x = 1 thì biểu thức Q không có giá trị.

c) Sai.

Với $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào P ta được:

$P = \frac{{\sqrt {\frac{1}{4}} }}{{\sqrt {\frac{1}{4}} - 1}} + \frac{3}{{\sqrt {\frac{1}{4}} + 1}} - \frac{{4\sqrt {\frac{1}{4}} - 3}}{{\frac{1}{4} - 1}} = - 1 + 2 - \frac{4}{3} = - \frac{1}{3}$.

d) Đúng.

Thay x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào Q, ta được $Q = \frac{4}{{4 - 1}} = \frac{4}{3}.$

Thay x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào P, được:

$P = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4 - 1}} + \frac{3}{{\sqrt 4 + 1}} - \frac{{4\sqrt 4 - 3}}{{4 - 1}} = 2 + 1 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$.

Do đó, tại x = 4 thì biểu thức P và Q có giá trị bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Vì x = 0 thỏa mãn điều kiện xác định của P nên biểu thức P có giá trị tại x = 0.

b) Đúng.

Thay x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào P được:

$P = \left( {\frac{{16 - 4}}{{\sqrt {16} + 2}} - 2\sqrt {16} } \right):\frac{1}{{\sqrt {16} - 2}} = \left( {\frac{{12}}{6} - 2.4} \right):\frac{1}{{4 - 2}} = \left( {2 - 8} \right):\frac{1}{2} = - 12$.

c) Sai.

Thay $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào P, ta được:

$P = \left( {\frac{{\frac{1}{4} - 4}}{{\sqrt {\frac{1}{4}} + 2}} - 2\sqrt {\frac{1}{4}} } \right):\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{4}} - 2}} = \frac{{15}}{4}$.

d) Đúng.

Với x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào $P = \left( {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - 2\sqrt x } \right):\frac{1}{{\sqrt x - 2}}$, ta được:

$P = \left( {\frac{{9 - 4}}{{\sqrt 9 + 2}} - 2\sqrt 9 } \right):\frac{1}{{\sqrt 9 - 2}} = - 5$.

Với x = 9 thay vào D = 4 – x được D = 4 – 9 = −5.

Do đó, tại x = 9 thì biểu thức P có cùng giá trị với D = 4 – x.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Thay x = $\sqrt {11}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức, ta được:

$\sqrt {{{\left( {\sqrt {11} } \right)}^2} + 5} = \sqrt {11 + 5} = \sqrt {16} = \sqrt {{4^2}} = 4$.

Vậy giá trị của biểu thức $\sqrt {{x^2} + 5}$ tại x = $\sqrt {11}$ là 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 14

Nhận thấy x = $\frac{1}{4}$ và x = 16 (thỏa mãn điều kiện), do đó ta có:

$A\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{\sqrt {\frac{1}{4}} + 8}}{{\sqrt {\frac{1}{4}} }} = \frac{{\frac{1}{2} + 8}}{{\frac{1}{2}}} = 17$,

$A\left( {16} \right) = \frac{{\sqrt {16} + 8}}{{\sqrt {16} }} = \frac{{4 + 8}}{4} = 3$.

Suy ra $A\left( {\frac{1}{4}} \right) - A\left( {16} \right) = 17 - 3 = 14.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Nhận thấy biểu thức B(x) có điều kiện xác định là x > 1. Do đó, tại x = 1 thì B(x) không có giá trị.

Thay x = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C(x), ta có:

$C\left( 1 \right) = \sqrt {2.1 + 1} = \sqrt 3$.

Thay x = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức D(x), ta có:

$D\left( 1 \right) = \sqrt {{{2.1}^2} + 1 + 6} = \sqrt 9 = \sqrt {{3^2}} = 3.$

Thay x = 1 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức E(x), ta có:

$E\left( 1 \right) = \frac{{\sqrt 1 + 2}}{{\sqrt 1 }} = \frac{{1 + 2}}{1} = 3$.

Vậy, tại x = 1 có biểu thức D(x) và E(x) có cùng giá trị.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7

Thay x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $P = \frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x + x\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {2x - 2} }}{{x - 2}}$, ta được:

$P = \frac{{2\sqrt 4 }}{{2\sqrt 4 + 4\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {2 \cdot 4 - 2} }}{{4 - 2}} = \frac{{2.2}}{{2.2 + 4\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{4}{{4 + 4\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Do đó, a = 1, b = 6.

Vậy a + b = 1 + 6 = 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,5

Thay $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \frac{1}{4}}$ được:

$A = \sqrt {\frac{1}{4}} - \sqrt {\frac{1}{4} - \sqrt {\frac{1}{4}} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} - \sqrt {\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} - \sqrt {\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.