Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng và tỉ số của hai đoạn thẳng bằng cách sử dụng tính chất của đường phân giác lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có AD là đường phân giác góc A.

Do đó ta có:

$\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{BD}}}}$ hay $\frac{{\rm{9}}}{4} = \frac{{{\rm{CD}}}}{{{\rm{BD}}}}$.

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có BE là đường phân giác góc E.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EC}}}}$ hay $\frac{6}{{\rm{x}}} = \frac{{\rm{5}}}{{\rm{3}}}$

Suy ra ${\rm{x}} = \frac{{6 \cdot 3}}{5} = 3{,}6$.

Đáp án đúng là: A

Tam giác OMN có OD là đường phân giác góc O.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{ON}}}}{{{\rm{OM}}}} = \frac{{{\rm{DN}}}}{{{\rm{MD}}}}$.

Suy ra $\frac{{{\rm{ON}}}}{{{\rm{DN}}}} = \frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{MD}}}}$ (tính chất của tỉ lệ thức).

Khi đó, $\frac{{{\rm{OM}}}}{{{\rm{MD}}}} = \frac{9}{7}$.

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABC có CE là đường phân giác góc C.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{CB}}}} = \frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EB}}}}$ hay $\frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

Suy ra ${\rm{x}} = \frac{3}{5}{\rm{y}}$.

Vì AE + EB = AB hay x + y = 8

Do đó $\frac{3}{5}{\rm{y + y}} = 8$, suy ra $\frac{8}{5}{\rm{y}} = 8$.

Vậy y = 5 và x = 8 – 5 = 3.

Đáp án đúng là: A

Tam giác DEF có DI là đường phân giác của góc D.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{DF}}}} = \frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{IF}}}}$ hay $\frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{IF}}}} = \frac{5}{8}$.

Tỉ số diện tích của tam giác DEI và DFI chính là tỉ số $\frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{IF}}}}$ (vì hai tam giác này có chung đường cao hạ từ D đến EF).

Vậy tỉ số diện tích của tam giác DEI và tam giác DFI là $\frac{5}{8}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có MP = 2MN, suy ra $\frac{{MN}}{{MP}} = \frac{1}{2}$.

Tam giác MNP có MO là đường phân giác góc M.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{NO}}}}{{{\rm{OP}}}} = \frac{{{\rm{MN}}}}{{{\rm{MP}}}}$ hay $\frac{{{\rm{NO}}}}{{{\rm{OP}}}} = \frac{1}{2}$. Vậy (I) đúng.

Suy ra $\frac{{{\rm{OP}}}}{{{\rm{NO}}}} = 2$. Vậy (IV) sai.

Vì NO + OP = NP nên NO + 2NO = NP hay 3NO = NP

Suy ra $\frac{{{\rm{NO}}}}{{{\rm{NP}}}} = \frac{1}{3}$ và $\frac{{{\rm{OP}}}}{{{\rm{NP}}}} = \frac{2}{3}$. Vậy (II) sai, (III) đúng.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: D

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Do đó I cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất ba đường phân giác trong tam giác).

Suy ra IG = IH = IK.

Mà IG = 12 cm nên IK = 12 cm.

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A.

Do đó ta có $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{BD}}}}{{{\rm{DC}}}}$ hay $\frac{6}{7} = \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}$

Suy ra ${\rm{x}} = \frac{6}{7}{\rm{y}}$.

Ta có BD + DC = BC hay x + y = 9.

Từ đó ta có $\frac{6}{7}{\rm{y}} + {\rm{y}} = 9$, suy ra $\frac{{13}}{7}{\rm{y}} = 9$.

Vậy ${\rm{y}} = \frac{{63}}{{13}}$ và ${\rm{x}} = \frac{{54}}{{13}}$.

Do đó ${\rm{y}} - {\rm{x}} = \frac{{63}}{{13}} - \frac{{54}}{{13}} = \frac{9}{{13}}$.

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có:

+ BI là đường phân giác của góc B.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IC}}}} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}$(1).

+ CH là đường phân giác của góc C.

Do đó ta có: $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BC}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{IC}}}} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}$.

Theo định lí Thalès đảo ta suy ra HI // BC.

Theo (2) ta có $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{n}}}$ nên $\frac{{{\rm{AH + HB}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{m + n}}}}{{\rm{n}}}$ hay $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{m + n}}}}{{\rm{n}}}$.

Suy ra $\frac{{{\rm{HB}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{\rm{n}}}{{{\rm{m + n}}}}$, khi đó, $\frac{{{\rm{HA}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{AB - HB}}{{AB}} = 1 - \frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{\rm{m}}}{{{\rm{m + n}}}}$.

Vì HI // BC nên ta có: $\frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{HI}}}}{{{\rm{BC}}}}$.

Suy ra ${\rm{HI}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AB}}}} \cdot {\rm{BC = }}\frac{{\rm{m}}}{{{\rm{m + n}}}} \cdot {\rm{n}} = \frac{{{\rm{mn}}}}{{{\rm{m + n}}}}$.

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có:

+ BD là đường phân giác của góc B.

Do đó $\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{DC}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra BC = 2AB (1).

+ CE là đường phân giác của góc C.

Do đó $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{EB}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BC}}}}$ hay $\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{BC}}}} = \frac{3}{4}$

Suy ra ${\rm{AC}} = \frac{3}{4}{\rm{BC}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ${\rm{AC}} = \frac{3}{2}{\rm{AB}}$.

Chu vi tam giác ABC bằng:

AB + AC + BC = AB + $\frac{3}{2}{\rm{AB}}$ + 2AB = $\frac{9}{2}{\rm{AB}}$ = 18.

Suy ra AB = 4 (cm)

Vậy BC = 2 ⋅ 4 = 8 (cm), ${\rm{AC}} = \frac{3}{2} \cdot {\rm{4 = 6}}$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Do AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên ta có tỉ lệ thức $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆MNP có MI là đường phân giác của góc M nên $\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}}$.

Thay số vào tỉ lệ thức ta được: $\frac{4}{{IP}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $IP = \frac{{4 \cdot 3}}{2} = 6$ (cm).

Đáp án đúng là: C

Vì AD là đường phân giác trong ∆ABC nên ta có: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{BD}}{2} = \frac{{CD}}{3}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{BD}}{2} = \frac{{CD}}{3} = \frac{{BD + CD}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Do đó, BD = 2.2 = 4 (cm).

Đáp án đúng là: D

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt tia đối của tia AB tại E.

Xét ∆BCE có AD // CE theo định lí Thales ta có: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AE}}$.

Theo bài, $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$, ta suy ra $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AE}}$ nên AE = AC.

Khi đó ∆ACE là tam giác cân tại A, suy ra $\widehat {ACE} = \widehat {AEC}$.

Mặt khác, do AD // CE nên ta có cặp góc đồng vị $\widehat {BAD} = \widehat {AEC}$ và cặp góc so le trong $\widehat {DAC} = \widehat {ACE}$.

Do đó $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ nên AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}$.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆MNP, có MQ là tia phân giác ngoài của góc M (với Q thuộc đường thẳng NP), áp dụng tính chất đường phân giác, ta có $\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{MN}}{{MP}}$

Thực hiện thay số: $\frac{{QN}}{{QP}} = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì AD là tia phân giác của goác A nên theo định lí tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

b) Sai. Ta có $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}$.

c) Đúng. Từ tỉ lệ $\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4}$, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{{DB}}{3} = \frac{{DC}}{4} = \frac{{DB + DC}}{{3 + 4}} = \frac{{BC}}{7} = \frac{{14}}{7} = 2$.

Suy ra DB = 6 cm.

d) Sai. ∆ABD và ∆ABC có chung chiều cao AH hạ từ đỉnh A.

Do đó ${S_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}a \cdot BD = \frac{1}{2}a \cdot 6 = 3a$ (cm$^{2}$).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh, nên NP = 40 – 10 – 15 = 15 cm.

b) Sai. Vì MI là phân giác nên $\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}$. Do tỉ số khác 1 nên IN ≠ IP.

c) Đúng. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{IN}}{2} = \frac{{IP}}{3} = \frac{{IN + IP}}{{2 + 3}} = \frac{{NP}}{5} = \frac{{15}}{5} = 3$.

Từ đó suy ra IN = 2.3 = 6 cm.

d) Sai. Từ tính toán ở ý c, ta có IP = 9 cm.

Khi đó IP – IN = 9 – 6 = 3 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Điểm D nằm trên cạnh BC nên ta có BD + DC = BC.

Suy ra DC = BC – BD = 20 – 4 = 16 (cm).

b) Sai. Ta tiến hành tính các tỉ số: $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{4}{{16}} = \frac{1}{4}$ và $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{20}}{5} = 4$

Rõ ràng $\frac{1}{4} \ne 4$, nên hệ thức $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ là sai.

c) Đúng. Từ $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{1}{4}$ và $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Theo chứng minh tương tự câu 4, ta có AD là tia phân giác của góc A.

d) Sai. Vì AE là tia phân giác ngoài của góc A, ta có $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{4}.$

Vì AB < AC (5 < 20), điểm E phải nằm trên tia đối của tia CB. Điều này tức là điểm B nằm giữa E và C.

Ta có: EC = EB + BC = EB + 20.

Thay vào hệ thức tỉ lệ:

$\frac{{EB}}{{EB + 20}} = \frac{1}{4}$

4EB = EB + 20

3EB = 20

$EB = \frac{{20}}{3}$ (cm).

Kết quả EB = 10 cm là sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC

Ta có 2AB + 10 = 36, suy ra AB = AC = 13 cm.

b) Đúng. BE là phân giác góc B, áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{13}}{{10}}$.

c) Sai. Do $\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{13}}{{10}}$ nên EA ≠ EC, điểm E không phải là trung điểm của AC.

d) Sai. Từ $\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{13}}{{10}}$ ta có $\frac{{EA}}{{13}} = \frac{{EC}}{{10}} = \frac{{EA + EC}}{{13 + 10}} = \frac{{AC}}{{23}} = \frac{{13}}{{23}}$.

Độ dài $EC = \frac{{130}}{{23}}$cm (≈ 5,65 cm). Suy ra EC < 6 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABC có AD là tia phân giác của góc A nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}$.

b) Sai. Vì ba điểm B, D, C thẳng hàng nên ∆ABD và ∆ACD có chung một đường cao kẻ từ đỉnh A xuống đường thẳng BC.

c) Đúng. Vì ∆ABD và ∆ACD có chung đường cao kẻ từ A nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy:

$\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ACD}}}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}$ hay $\frac{{45}}{{{S_{ACD}}}} = \frac{3}{4}$

Suy ra diện tích tam giác ACD bằng $\frac{{45 \cdot 4}}{3} = 60$ (cm$^{2}$).

d) Sai. Vì ∆ADC và ∆ADM có chung đường cao kẻ từ D nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy:

$\frac{{{S_{ADM}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{2}$ (vì M là trung điểm của AC).

Do đó ${S_{ADM}} = \frac{1}{2}{S_{ACD}} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ (cm$^{2}$).

Đáp án: 2.

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác góc A nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{BD}}{2} = \frac{{CD}}{3}$.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{BD}}{2} = \frac{{CD}}{3} = \frac{{BD + CD}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2$

Suy ra BD = 2.2 = 4 cm.

Xét tiếp ∆ABD, có BE là đường phân giác của góc B nên

$\frac{{AE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{8}{4} = 2$.

Đáp án: 35.

Xét ∆ABC, do AD là đường phân giác trong của góc A nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Suy ra $\frac{6}{{CD}} = \frac{8}{{12}}$ nên $CD = \frac{{6 \cdot 12}}{8} = 9$ (cm).

Khi đó BC = BD + CD = 6 + 9 = 15 (cm).

Ta kiểm tra điều kiện tồn tại của tam giác với ba cạnh 8 cm, 12 cm và 15 cm. Ta thấy 8 + 12 = 20 > 15 (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). Độ dài ba cạnh của tam giác ABC hợp lệ.

Chu vi của tam giác ABC là:

AB + AC + BC = 8 + 12 + 15 = 35 (cm).

Đáp án: 24.

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác góc A nên $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}$.

Đặt DB = 3x thì DC = 4x (x > 0, cm).

Đặt AB = 3y thì AC = 4y (y > 0, cm).

Chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = AB + AC + DB + DC = 70 (cm).

Suy ra 3y + 4y + 3x + 4x = 70

Do đó x + y = 10.

Ta lại có giả thiết: AB – BD = 6 cm.

Suy ra 3y – 3x = 6, do đó y – x = 2.

Ta có: y + x = 10 và y – x = 2.

Suy ra: (y + x) + (y – x) = 10 + 2

Nên 2y = 12, suy ra y = 6.

Độ dài cạnh AC là 4y = 24 (cm).

Đáp án: 8.

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác của góc A nên

$\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{24}}{{12}} = 2$.

Suy ra DC = 2DB.

Mặt khác DB + DC = BC = 18 cm, nên 3DB = 18, suy ra DB = 6 cm.

Từ đó DC = 12 cm.

Từ D ta kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại F.

Tứ giác AFDE có DE // AF (vì DE // AB) và DF // AE (vì DF // AC).

Do đó tứ giác AFDE là hình bình hành. Suy ra DE = AF.

Xét ∆ABC, có DF // AC, áp dụng định lí Thalès ta có: $\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}}$.

Suy ra $\frac{{AF}}{{12}} = \frac{{12}}{{18}}$ nên $AF = \frac{{12 \cdot 12}}{{18}} = 8$ (cm).

Vậy DE = AF = 8 cm.

Đáp án: 48.

Xét ∆ABC có AD là phân giác trong của góc A nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$

Suy ra $\frac{{DB}}{4} = \frac{{DC}}{3}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{DB}}{4} = \frac{{DC}}{3} = \frac{{DB + DC}}{{4 + 3}} = \frac{{BC}}{7}.$

Suy ra $DC = \frac{3}{7}BC.$

Xét ∆ABC có AE là phân giác ngoài của góc A nên $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{3}.$

Vì $\frac{{EB}}{{EC}} > 1$ nên EB > EC.

Căn cứ vào vị trí tương đối, điểm C phải nằm giữa B và E.

Ta có EB = EC + BC. Suy ra $\frac{{EC + BC}}{{EC}} = \frac{4}{3}$.

3(EC + BC) = 4EC

3EC + 3BC = 4EC

EC = 3BC

Như vậy $DE = DC + EC = \frac{3}{7}BC + 3BC = \frac{{24}}{7}BC$.

Xét ∆ADE và ∆ABC, hai tam giác này dùng chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống đường thẳng BC.

Tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số độ dài hai cạnh đáy tương ứng:

$\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{24}}{7}.$

Suy ra ${S_{ADE}} = \frac{{24}}{7} \cdot {S_{ABC}} = \frac{{24}}{7} \cdot 14 = 48$ (cm²).