Bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Vì AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 5 cm; AB ⊥ OB tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại B, ta được:

AB = $\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12$ cm.

Đáp án đúng là: B

Để AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) thì AC ⊥ BA tại A.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

BC = $\sqrt {C{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10$ cm.

Đáp án đúng là: A

Do R > d (5 cm > 4 cm) nên đường thẳng cắt đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để đường thẳng với đường tròn tiếp xúc nhau thì d = R.

Do đó, d = 8 cm.

Đáp án đúng là: D

Vì AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 6 cm; AB ⊥ OB tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại B, ta được:

AB = $\sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8$ cm.

Đáp án đúng là: A

Kẻ OH ⊥ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ⊥ AB (vì AB ∕∕ EF)

Xét (O) có OI ⊥ AB tại I nên I là trung điểm của AB.

Suy ra IA = IB = $\frac{{AB}}{2} = 0{,}6R$. Lại có OA = R.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAI ta có: OI = $\sqrt {O{A^2} - I{A^2}} = 0{,}8R$.

Mà AI ∕∕ EH nên $\frac{{AI}}{{EH}} = \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{0{,}8R}}{R}$ nên EH = $\frac{{0{,}6R}}{{0{,}8}} = 0{,}75R$.

∆OEF cân tại O (vì $\widehat E = \widehat F = \widehat {BAO} = \widehat {ABO}$) có OH ⊥ EF nên H là trung điểm của EF.

Vì EF = 2EH = 1,5R nên diện tích tam giác EOF là $\frac{1}{2}OH.EF = 0{,}75{R^2}$.

Đáp án đúng là: C

Kẻ OH ⊥ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ⊥ AB (vì AB ∕∕ EF)

Xét (O) có OI ⊥ AB tại I nên I là trung điểm của AB.

Suy ra IA = IB = $\frac{{AB}}{2}$ = 4,8 cm. Lại có OA = 6 cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAI ta có: OI = $\sqrt {O{A^2} - I{A^2}}$ = 3,6 cm.

Mà AI ∕∕ EH nên $\frac{{AI}}{{EH}} = \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{3{,}6}}{6} = \frac{3}{5}$ nên EH = $\frac{{4{,}8.5}}{3}$ = 8 cm.

∆OEF cân tại O (vì $\widehat E = \widehat F = \widehat {BAO} = \widehat {ABO}$) có OH ⊥ EF nên H là trung điểm của EF.

Vì EF = 2EH = 16 cm nên diện tích tam giác EOF là

$\frac{1}{2}$OH.EF = $\frac{1}{2}$.6.16 = 48 cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: C

Xét đường tròn (O; R) có MA, MB là tiếp tuyến.

Suy ra $\widehat {BOM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1).

∆OAC có OA = OC suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {OCA}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có: $\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = \widehat {AOB}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {OCA} = \widehat {BOM}$.

Mà $\widehat {OCA},\widehat {BOM}$ ở vị trí đồng vị.

Nên CK ∕∕ OM suy ra $\widehat {MOK} = \widehat {CKO}$ (so le trong).

Chứng minh ∆OAM = ∆OCK (c.g.c) suy ra CK = OM (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh ∆KMO = ∆OCK (c.g.c) suy ra $\widehat {COK} = \widehat {OKM}$ (hai góc .

tương ứng).

Mà $\widehat {COK}$ = 90° (KO là trung trực của BC) suy ra $\widehat {OKM}$ = 90°.

Xét tứ giác OBMK có:

$\widehat {OBM}$ = 90° (MB là tiếp tuyến của (O; R)).

$\widehat {BOK}$ = 90° (KO là trung trực của BC).

$\widehat {OKM}$ = 90° (cmt)

Do đó OBMK là hình chữ nhật suy ra MK = OB = R.

Đáp án đúng là: A

Ta có: E thuộc đường tròn (O) suy ra $\widehat {DEC} = 90^\circ$ suy ra DE ∕∕ AB.

Gọi F là trung điểm của AE suy ra HF là đường trung bình của hình thang ABDE suy ra HF ⊥ AE suy ra ∆HAE cân tại H nên $\widehat {{E_1}} = \widehat {{A_1}}$.

Ta có: ∆OEC cân tại O suy ra $\widehat {{E_1}} = \widehat C$ suy ra $\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = \widehat C + \widehat {{A_1}} = 90^\circ$

suy ra HE ⊥ OE (đpcm).

Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pyhthagore

suy ra BC = $\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 17$ cm.

Ta có S$_{ABC}$= $\frac{1}{2}$AB.AC = $\frac{1}{2}$AH.BC suy ra AH = $\frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{8.15}}{{17}} = \frac{{120}}{{17}}$ cm.

Có AH = HE nên HE = $\frac{{120}}{{17}}$ cm.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A, có: cosB = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat B = 60^\circ$.

Xét tam giác ABD có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân tại A, có $\widehat B = 60^\circ$ suy ra ∆ABD đều.

Ta có: OD = OE suy ra ∆ODE cân tại O.

Có AB ∕∕DE suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {EDC} = 60^\circ$ suy ra ∆ODE đều.

Do đó DE = DH = DO = $\frac{{BC}}{4}$ suy ra $\widehat {HEO} = 90^\circ$.

Suy ra HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Xét tam giác HEO vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

HO$^{2}$ = HE$^{2}$ + EO$^{2}$ suy ra HE$^{2}$ = 8$^{2}$ – 4$^{2}$ = 12. Suy ra HE = $2\sqrt 3$ cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên d ^ OA tại A. Mà BC // d nên CB ^ OA tại C. Vậy $\widehat {{\rm{OCB}}} = 90^\circ .$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên d ^ AB tại B. Do đó DABE vuông tại B. Mà $\widehat {{\rm{CAB}}} = 45^\circ$ nên DABE vuông cân tại B. Suy ra BE = AB = 8 cm. Vậy BE = 8 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì Bx là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB nên Bx ^ AB tại B. Do đó DABC vuông tại B. Suy ra: $\tan \widehat {{\rm{CAB}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{{\sqrt 3 {\rm{BC}}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Vậy $\widehat {{\rm{CAB}}} = 30^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên d ^ OA tại A.

Mà BC // d nên CB ^ OA tại C. Suy ra $\widehat {{\rm{ACB}}} = 90^\circ .$

Vì I là chiếu vuông góc của B trên d nên BI ^ IA tại I. Suy ra $\widehat {{\rm{BIA}}} = 90^\circ .$

Tứ giác ACBI có: $\widehat {{\rm{ACB}}} = \widehat {{\rm{BIA}}} = \widehat {{\rm{CAI}}} = 90^\circ$ nên tứ giác ACBI là hình chữ nhật.

Suy ra IC = AB = 3 cm. Vậy độ dài đoạn thẳng IC bằng 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm) tại A nên AM ^ OA. Do đó, DAMO vuông tại A. Suy ra MO$^{2}$ = AO$^{2}$ + AM$^{2}$ = ${4^2} + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 64$ (định lý Pythagore) nên MO = 8 cm. Vậy M thuộc đường tròn tâm O có bán kính bằng 8 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì Bx là tiếp tuyến của (O; OA) nên AB ^ Bx tại B.

Do đó, DABC vuông tại B.

Suy ra $\widehat {\rm{C}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{EAB}}} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .$ Vậy $\widehat {\rm{C}} > 50^\circ .$

b) Sai.

Xét DABC vuông tại B ta có: BC = AB. tan$\widehat {{\rm{CAB}}} =$9.tan 30$^{o}$ = 3$\sqrt 3$ cm.

Vậy BC = 3$\sqrt 3$ cm.

c) Đúng.

Xét DABC vuông tại B có:

AB = BC. cos$\widehat {{\rm{CAB}}}$, suy ra AC $= \frac{{{\rm{AB}}}}{{\cos \widehat {{\rm{CAB}}}}} = \frac{9}{{\cos 30}} = 6\sqrt 3$ (cm).

Vậy AC = 6$\sqrt 3$ cm.

d) Sai.

Diện tích DABC vuông tại B là: ${\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3\sqrt 3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy tích tam giác ABC nhỏ hơn 30 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì Bx là tiếp tuyến của (O; OA) nên AB ^ Bx tại B, mà OC // Bx nên OC ^ AB.

b) Đúng.

Vì OC ^ AB nên $\widehat {{\rm{COA}}} = 90^\circ$ nên DAOC vuông tại O, lại có OA = OC nên DAOC vuông cân tại O.

Vậy $\widehat {{\rm{CAO}}} = 45^\circ .$

c) Đúng.

Vì AB ^ BE tại B nên DABE vuông tại B. Lại có $\widehat {{\rm{EAB}}} = 45^\circ$.

Vậy DABE vuông cân tại B.

d) Sai.

Vì tam giác ABE vuông cân tại B nên BE = AB = 6$\sqrt 2$ cm.

AB = AE. cos$\widehat {{\rm{EAB}}}$ nên ${\rm{AE}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\cos \widehat {{\rm{EAB}}}}} = \frac{{6\sqrt 2 }}{{\cos 45^\circ }} = 12\;\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chu vi tam giác ABE là: AB + BE + AE = 6$\sqrt 2$ + 6$\sqrt 2$ + 12 = 12$\sqrt 2$ + 12 (cm).

Vậy chu vi tam giác ABE nhỏ hơn 30 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì OA = OB nên DAOB cân tại O.

Suy ra OH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra OH ^ AB tại H.

Vì d là tiếp tuyến của (O; OA) tại K nên d ^ OK tại K hay OH ^ MN tại K.

Vì OH ^ AB, OH ^ MN nên MN // AB.

Vậy MN // AB.

b) Đúng.

Xét DOHB vuông tại H có: OH = OB.sin$\widehat {{\rm{HBO}}}$ = 3 (cm).

Vậy OH = 3 cm.

c) Sai.

Xét DOHB vuông tại H có: HB = OB.cos$\widehat {{\rm{HBO}}} =$ 3$\sqrt 3$ (cm).

Tam giác NOK có: NK // HB nên theo hệ quả định lý Thalès ta có: $\frac{{{\rm{NK}}}}{{{\rm{HB}}}} = \frac{{{\rm{KO}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{6}{3} = 2$

Suy ra NK = 2HB = 2.3$\sqrt 3$ = 6$\sqrt 3$ (cm).

Vậy NK > 6 cm.

d) Sai.

Diện tích tam giác KON là: ${\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{KO}} \cdot {\rm{NK}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt 3 = 18\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích tam giác KON nhỏ hơn 50 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì CD là đường trung trực của OA nên CA = CO.

Mà OA = OC = R nên OA = OC = AC = 4 cm.

Vậy AC = 4 cm.

b) Đúng.

Chứng minh tương tự ta có AD = 4 cm.

Tứ giác OCAD có: OC = CA = AD = OD = 4 cm.

Suy ra tứ giác OCAD là hình thoi.

c) Sai.

Vì DOAC đều nên $\widehat {{\rm{COA}}} = 60^\circ$.

Vì CI là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4 cm) nên OC ^ CI tại C.

Suy ra DOCI vuông tại C.

Suy ra: CI = OC.tan$\widehat {{\rm{COA}}}$= 4.tan 60$^{o}$ = 4$\sqrt 3$(cm).

Vậy CI = 4$\sqrt 3$ cm.

d) Đúng.

Tương tự câu c ta tính được DI = 4$\sqrt 3$ cm.

Chu vi tứ giác OCID là: OC + OD + CI + DI = 4 + 4 + 4$\sqrt 3$ + 4$\sqrt 3$ = 8 + 8$\sqrt 3$ (cm).

Vậy chu vi tứ giác OCID lớn hơn 20 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

c) Đúng.

Vì OM là đường trung trực của EF nên OE = OF = $2\sqrt 3$ cm.

Vậy điểm F thuộc đường tròn (O; OE).

b) Đúng.

Vì a là tiếp tuyến của đường tròn (O; OE) nên OE ^ a tại E.

Suy ra DOEM vuông tại E.

Do đó, EM = OE. cot$\widehat {{\rm{EMO}}}$ = $2\sqrt 3$.cot 30$^{o}$ = 6 (cm).

Vậy EM = 6 cm.

c) Sai.

Vì OM là đường trung trực của EF nên ME = MF = 6 cm.

Xét DEOM và DFOM có: OE = OF, ME = MF, OM chung.

Vậy DEOM = DFOM (c.c.c).

d) Sai.

Vì DEOM = DFOM nên $\widehat {{\rm{EMO}}} = \widehat {{\rm{OMF}}} = 30^\circ .$

Suy ra $\widehat {{\rm{EMF}}} = \widehat {{\rm{EMO}}} + \widehat {{\rm{OMF}}} = 60^\circ .$

Vì EM = MF nên DMEF cân tại E.

Lại có: $\widehat {{\rm{EMF}}} = 60^\circ$ nên DMEF đều.

Chu vi tam giác MEF là: 3EM = 3.6 = 18 (cm).

Vậy chu vi tam giác EMF nhỏ hơn 20 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC nên AB ^ BC. Suy ra DABC vuông tại B.

Vì diện tích DABC bằng 6 cm$^{2}$ nên $\frac{1}{2}{\rm{AB}} \cdot {\rm{BC}} = 6$, suy ra AB = 4 (cm).

Áp dụng định lý Pythagore vào DABC vuông tại B ta có:

AC$^{2}$= AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25 nên AC = 5 cm.

Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 (cm).

Vậy chu vi tam giác ABC bằng 12 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 12 cm) tại A nên OA ^ AM.

Do đó, DAOM vuông tại A.

Suy ra $\cot {\rm{O}} = \frac{{{\rm{AO}}}}{{{\rm{AM}}}} = \frac{{12}}{{12\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ nên $\widehat {\rm{O}} = 60^\circ .$

Vì AC ^ MO tại C nên DAOC vuông tại C.

Suy ra AC = AO.sinO = 12.sin 60$^{o}$ ≈ 10 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng AC bằng khoảng 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 45

Vì $\widehat {{\rm{DOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung BD của nửa đường tròn (O; OA) nên ta có:

$\widehat {{\rm{DOB}}}$= sđ$\overset{\frown}{\text{DB}}$ = 45$^{o}$.

Vì d là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; OA) tại D nên d ^ OD tại D.

Do đó, DDOE vuông tại D.

Mà $\widehat {{\rm{DOB}}}$= 45$^{o}$ nên DDOE vuông cân tại D, suy ra $\widehat {{\rm{DEO}}} = 45^\circ .$

Vì AC // OD, d ^ OD nên AC ^ d.

Do đó, DACE vuông tại C, mà $\widehat {{\rm{DEO}}} = 45^\circ$ nên DACE vuông cân tại C.

Vậy $\widehat {{\rm{CAE}}} = 45^\circ .$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 67

Gọi H là giao điểm của OC và AB.

Vì OA = OB nên DAOB cân tại O.

Suy ra OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra AH = $\frac{1}{2}$AB = 40 cm.

Vì DOHA vuông tại H nên OH$^{2}$ + AH$^{2}$ = OA$^{2}$ (định lý Pythagore),

suy ra ${\rm{OH}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{A}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{50}^2} - {{40}^2}} = 30\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vì DOHA vuông tại H nên $\tan {\rm{O}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{OH}}}} = \frac{4}{3}.$

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) nên OA ^ AC tại A.

Suy ra, DAOC vuông tại A.

Do đó, AC = AO.tan O ≈ 67 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng AC bằng khoảng 67 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 45

Vì E thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OE = OA = OB.

DABE có EO là đường trung tuyến và EO = $\frac{1}{2}$AB nên DABE vuông tại E.

Suy ra $\widehat {{\rm{AEB}}} = 90^\circ$.

Vì Bx là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên AB ^ BC tại B.

Suy ra $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$.

DAEB và DABC có: $\widehat {{\rm{AEB}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {\rm{A}}$ nên .

Suy ra $\frac{{{\rm{AE}}}}{{{\rm{AB}}}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}$ nên AE. AC = AB$^{2}$ = 4.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: $2{\rm{AE}} + {\rm{AC}} \ge 2\sqrt {2{\rm{AE}} \cdot {\rm{AC}}} = 2\sqrt {2 \cdot {\rm{4}}} = 4\sqrt 2$ (cm).

Dấu “=” xảy ra khi 2AE = AC hay E là trung điểm của AC.

Mà BE là đường cao của DABC.

Khi đó, DABC vuông cân tại B. Suy ra $\widehat {{\rm{ACB}}} = 45^\circ .$

Vậy $\widehat {{\rm{ACB}}} = 45^\circ$ thì 2AE + AC đạt giá trị nhỏ nhất.