Bài tập Tính chất chung của ba đường conic có đáp án

Hướng dẫn giải

Những hình ảnh ta thấy trong các Hình 1c, 1d và 1e lần lượt là elip, hypebol và parabol.

Hướng dẫn giải

– Trong Hình 2b, giao của mặt phẳng và mặt nón là một đường elip và một đường tròn.

– Trong Hình 2c, giao của mặt phẳng và mặt nón là một đường hypebol.

Hướng dẫn giải

Vì máy bay bay song song với mặt đất nên giao của các lớp không khí dao động có hình mặt nón và mặt đất (mặt phẳng) là một đường hypebol. Do đó những người cùng đứng trên hypebol này sẽ nghe thấy tiếng nổ tại cùng thời điểm, và ngược lại, những người nghe thấy tiếng nổ này cùng một thời điểm thì họ cùng đứng trên đường hypebol này.

Hướng dẫn giải

– Với elip, ta có $\frac{MF}{d(M;Δ)}$ = e < 1.

– Với parabol, ta có $\frac{MF}{d(M;Δ)}$ = e = 1.

– Với hypebol, ta có $\frac{MF}{d(M;Δ)}$ = e > 1.

Hướng dẫn giải

a) Đây là một elip.

Có ${a}^{2}$ = 5, ${b}^{2}$ = 2 $\Rightarrow a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3},$

e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$

Suy ra elip có tiêu điểm F$_{1(-\sqrt{3};0)}$, đường chuẩn Δ$_{1}$: x = $-\frac{5\sqrt{3}}{3}$ và tâm sai e = $\frac{\sqrt{15}}{5}.$

b) Đây là một hypebol.

Có ${a}^{2}$= 12, ${b}^{2}$= 4 $\Rightarrow a=2\sqrt{3},b=2,c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4,$

e = $\frac{c}{a}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{a}{e}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3.$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F$_{1(-4;0)}$, đường chuẩn Δ$_{1}$: x = –3 và tâm sai e = $\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

c) Đây là một parabol.

CÓ 2p = 1/2, suy ra p = 1/4

Suy ra parabol có tiêu điểm F $(\frac{1}{8};0),$ đường chuẩn Δ: $x=-\frac{1}{8}$ và tâm sai e = 1.

Hướng dẫn giải

Vì quỹ đạo của Trái Đất có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Halley có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Great Southern of 1887 có tâm sai bằng 1 nên là đường parabol.

Vì quỹ đạo của Vật thể Oumuamua có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

Hướng dẫn giải

a) Đây là một elip.

Có a$^{2}$ = 9, b$^{2}$ = 7 $\Rightarrow a=3,b=\sqrt{7},c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{9-7}=\sqrt{2},$

e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{a}{e}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}.$

Suy ra elip có tiêu điểm F$_{1(-\sqrt{2};0)}$, đường chuẩn Δ$_{1}$: x = $-\frac{9\sqrt{2}}{2}$ và tâm sai e = $\frac{\sqrt{2}}{3}.$

b) Đây là một hypebol.

Có a2 = 15, b2 = 10 $\Rightarrow a=\sqrt{15},b=\sqrt{10},c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{15+10}=\sqrt{25}=5,$

e = $\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}=3.$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F$_{1}$(–5; 0), đường chuẩn Δ$_{1}$: x = –3 và tâm sai e = $\frac{\sqrt{15}}{3}.$

c) Đây là một parabol.

Có 2p = 1, suy ra p = 1/2

Suy ra parabol có tiêu điểm F$(\frac{1}{4};0),$ đường chuẩn Δ: $x=-\frac{1}{4}$ và tâm sai e = 1.

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;Δ)}=e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}}{|x+1|}=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(1-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=|x+1|$

$\Leftrightarrow {(1-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}={|x+1|}^{2}$

$\Leftrightarrow (1-2x+{x}^{2})+{y}^{2}={x}^{2}+2x+1$

$\Leftrightarrow {y}^{2}=4x.$

Vậy phương trình của conic đã cho là y$^{2}$ = 4x.

Hướng dẫn giải

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;Δ)}=e$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(8-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}}{|x-2|}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(8-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=2|x-2|$

$\Leftrightarrow {(8-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}=4{|x-2|}^{2}$

$\Leftrightarrow (64-16x+{x}^{2})+{y}^{2}=4({x}^{2}-4x+4)$

$\Leftrightarrow 3{x}^{2}-{y}^{2}=48$

$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{48}=1.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{48}=1.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;Δ)}=e$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(-4-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}}{|x+\frac{25}{4}|}=\frac{4}{5}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(-4-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=\frac{4}{5}|x+\frac{25}{4}|$

$\Leftrightarrow {(-4-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}=\frac{16}{25}{|x+\frac{25}{4}|}^{2}$

$\Leftrightarrow (16+8x+{x}^{2})+{y}^{2}=\frac{16}{25}({x}^{2}+\frac{25}{2}x+\frac{625}{16})$

$\Leftrightarrow 16+8x+{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{16}{25}{x}^{2}+8x+25$

$\Leftrightarrow \frac{9}{25}{x}^{2}+{y}^{2}=9$

$\Leftrightarrow \frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1.$

Hướng dẫn giải

Vì quỹ đạo của Sao Hoả có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Mặt Trăng có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao Thuỷ có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Ikeya-Seki có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo C/2019 Q4 có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.