Bài tập Tính cạnh, góc và diện tích tam giác lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có:

tanB = $\frac{5}{{12}}$ hay $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}$ suy ra AC = $\frac{5}{{12}}$.BA = 12,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

30$^{2}$ + 12,5$^{2}$ = BC$^{2}$

Suy ra BC =32,5 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

cotB = $\frac{5}{8}$ hay $\frac{{CB}}{{AC}} = \frac{5}{8}$ suy ra CB = $\frac{5}{8}$AC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được:

CB$^{2}$ + CA$^{2}$ = AB$^{2}$

$\frac{{25}}{{64}}$AC$^{2}$ + AC$^{2}$ = 5$^{2}$

Suy ra $\frac{{89}}{{64}}$AC$^{2}$ = 5$^{2}$, do đó AC ≈ 4,24 cm.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 3, 4.

Cho tam giác ABC có $\widehat B = 38^\circ ,\widehat C = 30^\circ$ và BC = 11 cm. Gọi N là chân đường cao vuông góc từ A xuống BC.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABN vuông tại N, ta có: AN = tan38°.NB hay BN = $\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}$.

Xét tam giác ANC vuông tại N, ta có: AN = tan30°.NC hay NC = $\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}$.

Mà BC = BN + NC = $\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}$ + $\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}$ = AN.$\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)$

Suy ra AN = $\frac{{BC}}{{\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)}} = \frac{{11}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}}} \approx 3{,}65$ cm.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác vuông ANC vuông tại N, $\widehat C = 30^\circ$.

Ta có: AN = AC.sin 30°, suy ra $AC = \frac{{AN}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{3{,}65}}{{0{,}5}} = 7{,}3$ (cm).

Đáp án đúng là: D

Ta có: S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}AN.BC = \frac{1}{2}.3{,}65.11 = 20{,}075$ cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = 5.cot70° ≈ 1,82 cm.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

HC = AH.cot 35° = 5.cot 35° ≈ 7,14 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,82 + 7,14 = 8,96 cm.

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.5.8{,}96 = 22{,}4$ cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ADC vuông tại A, ta có: AC = AD.tan$\widehat {ADC}$ = 3,5.tan 50°.

Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành, ta có:

S = AD.AC = 3,5.3,5.tan 50° ≈ 14,6.

Đáp án đúng là: C

Ta có: S$_{ABH}$.S$_{ACH}$ = 54.96

Suy ra $\frac{1}{4}$AB$^{2}$.BH.CH = 54.96

AH$^{4}$ = 4.54.96 = 12$^{4}$

Suy ra AH = 12.

Lại có S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra BC = $\frac{{2{S_{ABC}}}}{{AH}} = \frac{{2\left( {54 + 96} \right)}}{{12}} = 25$ (cm).

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

Do ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra BH = HC = 4 cm.

Từ ∆ABH vuông tại H, ta có:

sin M = $\frac{{AH}}{{AM}}$ suy ra $AM = \frac{{AH}}{{\sin \widehat M}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{0{,}669}} \approx 10{,}34$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OPN vuông tại P nên ta có:

OP = ON.sin$\widehat N$ = 9.sin 38° ≈ 5,54 (cm).

NP = ON.cos$\widehat N$ = 9.cos 38° ≈ 7,09 (cm).

Xét tam giác OPM vuông tại P nên ta có:

MP = $\frac{{OP}}{{\tan \widehat M}} = \frac{{5{,}54}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5{,}54}}{{\sqrt 3 }} = 3{,}2$ (cm).

Ta có: MN = NP – MP = 7,09 – 3,2 – 3,89 (cm).

Do đó, S$_{OMN}$ = $\frac{1}{2}OP.MN = \frac{1}{2}.5{,}55.3{,}89 \approx 11$ cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì ΔACN vuông tại N nên NC = AC.cos C = AC.cos 45$^{o}$ = $\sqrt 2$ cm. Vậy a) đúng.

b) Sai.

Vì ΔANC vuông cân tại N nên AN = NC = $\sqrt 2$ cm. Vậy b) sai.

c) Đúng.

Vì ΔABN vuông tại N nên AN = AB.sin B, suy ra AB = $\frac{{{\rm{AN}}}}{{\sin {\rm{B}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin 30^\circ }} = 2\sqrt 2 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy c) đúng.

d) Sai.

Vì ΔABN vuông tại N nên BN = AB.cos B = $2\sqrt 2$.cos 30$^{o}$ = $\sqrt 6$ (cm).

Diện tích tam giác ABC là: ${\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{AN}} \cdot {\rm{BC}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right) = 1 + \sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy d) sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì ΔIKA vuông tại K nên AK = AI.sin I = 8sin 40$^{o}$ m. Vậy a) sai.

b) Sai.

Vì ΔIKA vuông tại K nên IK = AI.cos I = 8cos 40$^{o}$ m. Vậy b) sai.

c) Đúng.

Vì ΔAIN vuông tại A nên IN = AI.cos I, suy ra IN = $\frac{{{\rm{AI}}}}{{\cos {\rm{I}}}} = \frac{8}{{\cos 40^\circ }}$ m. Vậy c) đúng.

d) Đúng.

Diện tích ΔAIN vuông tại A là: ${\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{AK}} \cdot {\rm{IN}} = \frac{1}{2} \cdot 8\sin 40^\circ \cdot \frac{8}{{\cos 40^\circ }} \approx 27\;\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy d) đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì DABC vuông tại A nên AB = AC. cot B = 16cot 40$^{o}$ (cm). Vậy a) đúng.

b) Đúng.

Vì DADC vuông tại A nên AD = AC. tan $\widehat {{\rm{ACD}}}$ = 16tan 55$^{o}$ (cm). Vậy b) đúng.

c) Đúng.

Diện tích DBCD là: ${\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{CA}} \cdot {\rm{BD}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \left( {16\cot 40^\circ + 16\tan 55^\circ } \right) \approx 335\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Do đó, diện tích DBDC lớn hơn 330 cm$^{2}$. Vậy c) đúng.

d) Sai.

Diện tích DADC là: ${{\rm{S}}_1} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{CA}} \cdot {\rm{AD}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16\tan 55^\circ = 128\tan 55^\circ \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích DABC là: ${{\rm{S}}_2} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{CA}} \cdot {\rm{AB}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16\cot 40^\circ = 128\cot 40^\circ \;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Ta có: S$_{1}$ – S$_{2}$ ≈ 30 cm$^{2}$ nên diện tích DADC lớn hơn diện tích DABC khoảng 30 cm$^{2}$.

Vậy d) sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Vì DDBC vuông tại C nên BC = CD.cot $\widehat {{\rm{CBD}}}$ = 20.cot 34$^{o}$ (cm). Vậy a) sai.

b) Sai.

Vì DDBC vuông tại C nên CD = BD.sin $\widehat {{\rm{CBD}}}$, suy ra ${\rm{BD}} = \frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }}$ (cm). Vậy b) sai.

c) Đúng.

Vì DADB vuông tại B nên AB = BD.tan $\widehat {{\rm{BDA}}}$$= \frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }} \cdot \tan 38^\circ \approx 27{,}94$ (cm).

Vậy c) đúng.

d) Đúng.

Vì DADB vuông tại B nên BD = AD.$\cos \widehat {{\rm{BDA}}}$ nên $AD = \frac{{\frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }}}}{{\cos 38^\circ }}$ (cm).

Chu vi tứ giác ABCD là:

$AB + AD + CD + BC = \frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }} \cdot \tan 38^\circ + \frac{{\frac{{{\rm{20}}}}{{\sin 34^\circ }}}}{{\cos 38^\circ }} + 20 + 20{\rm{cot }}34^\circ \approx 123\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Vậy d) đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tức giác ABHD có 3 góc có số đo bằng 90° nên ABHD là hình chữ nhật.

b) Đúng.

Vì ABHD là hình chữ nhật nên AD = BH = 3,1.

Xét tam giác BHC vuông tại H, có: $\tan C = \frac{{BH}}{{HC}}$ nên $HC = \frac{{BH}}{{\tan C}} = \frac{{3{,}1}}{{\tan 38^\circ }} \approx 4$.

c) Sai.

Có CD = DH + HC = 3,5 + 4 = 7,5.

d) Đúng.

Diện tích hình thang ABCD là: $\frac{{\left( {3{,}5 + 7{,}5} \right) \cdot 3{,}1}}{2} = 17{,}05$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì ΔABC vuông tại A nên AB = BC.cos$\widehat {{\rm{ABC}}}$ nên ${\rm{BC}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\cos \widehat {{\rm{ABC}}}}} = \frac{2}{{\cos 60^\circ }} = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vì ΔPBC vuông tại P nên PC = BC.cos$\widehat {{\rm{BCP}}}$ = 4cos 50$^{o}$ ≈ 3 (cm).

Vậy PC ≈ 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Vì ΔABC vuông tại A nên $\widehat {\rm{C}} + \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {{\rm{ABC}}} = 40^\circ .$ Do đó, $\widehat {{\rm{PBA}}} = 20^\circ$.

Vì ΔPAB vuông tại A nên

+ PA = PB.$\sin \widehat {{\rm{PBA}}}$ = 6.sin 20$^{o}$ (cm).

+ AB = PB.$\cos \widehat {{\rm{PBA}}}$ = 6.cos 20$^{o}$ (cm).

Vì ΔABC vuông tại A nên AB = BC.sin C, suy ra ${\rm{BC}} = \frac{{{\rm{AB}}}}{{\sin {\rm{C}}}} = \frac{{6\cos 20^\circ }}{{\sin 50^\circ }}.$

Ta có: BC – PA $= \frac{{6\cos 20^\circ }}{{\sin 50^\circ }} - 6\sin 20^\circ \approx 5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 11

Vì ΔAPC vuông tại P nên CP = AC.sin$\widehat {{\rm{CAP}}}$ = 10.sin 30$^{o}$ = 5 (cm).

Kẻ BM ⊥ CD tại M.

Vì tứ giác ABDC là hình thang nên AB // CD.

Lại có: AP // BM (cùng vuông góc với CD).

Do đó, tứ giác ABMP là hình bình hành. Do đó, AB = PM = 12 cm.

Ta có: MD = CD – CP – PM = 24 – 5 – 12 = 7 (cm).

Vì ΔBMD vuông tại M nên MD = BD.cos D, suy ra ${\rm{BD}} = \frac{{{\rm{MD}}}}{{\cos {\rm{D}}}} = \frac{7}{{\cos 50^\circ }} \approx 11\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy BD ≈ 11 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{\widehat {\rm{A}}}}{{18}} = \frac{{\widehat {\rm{C}}}}{5} = \frac{{\widehat {\rm{B}}}}{{13}} = \frac{{\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{B}}}}{{18 + 5 + 13}} = \frac{{180^\circ }}{{36}} = 5^\circ .$

Suy ra: $\widehat {\rm{A}} = 90^\circ ,\;\,\widehat {\rm{B}} = 65^\circ .$ Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Suy ra, AC = AB.tan B = 7.tan 65$^{o}$ ≈ 15 (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác đó. Suy ra, $\widehat {{\rm{HAB}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}} = 50^\circ$ và BC = 2HB.

Tam giác AHB vuông tại H nên BH = AH.tan 50$^{o}$ = 5tan 50$^{o}$ (cm).

Do đó, BC = 2BH = 2.5.tan 50$^{o}$ ≈ 12 (cm). Vậy BC ≈ 12 cm.