Bài tập Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khẳng định D sai vì cot 0° không xác định.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan α = $\frac{\sin α}{\text{cos}α}$ = $-\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức góc bù nhau ta có: sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇔ cos$^{2}$ α = 1 – sin$^{2}$ α.

⇒ cos α = $\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}α}$ = $\pm \sqrt{1-{(\frac{3}{5})}^{2}}$= $\pm \frac{4}{5}$.

Vì 0° < α < 90° nên cos α > 0.

Vậy $\cos α=\frac{4}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin (– 135°) = sin (45° – 180°) = – sin 45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy số thích hợp điền vào chỗ trống là $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos (x + 2023π) = cos (x + 2 022π + π) = cos (x + π + 1 011. 2π)

= cos (x + π) = – cos x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇔ sin$^{2}$ α = 1 – cos$^{2}$ α.

⇒ sin α = $\pm \sqrt{1-c{\text{os}}^{2}α}$ = $\pm \sqrt{1-{(\frac{1}{3})}^{2}}$= $\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vì 0 < α < $\frac{π}{2}$ nên sin α > 0.

Vậy $\sin α=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇔ cos$^{2}$ α = 1 – sin$^{2}$ α.

$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.$

Mà cos α < 0 nên cos α = $- \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Hơn nữa, $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{ - \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }} = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 1 + cot$^{2}$ α = $\frac{1}{{\sin }^{2}α}$⇔ $\frac{1}{{\sin }^{2}α}$ = 1 + $\frac{16}{9}$ ⇔ ${\sin }^{2}α$ = $\frac{9}{25}$.

Vì 90° < α < 180° nên sin α > 0 suy ra sin α = $\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}=1+{\tan }^{2}α=1+{(\sqrt{5})}^{2}=6$.

Suy ra ${\text{cos}}^{2}α$ = $\frac{1}{6}$.

Mặt khác π < α < $\frac{3π}{2}$ nên cos α < 0 ⇒ cos α = $-\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên sinα > 0, cosα < 0.

Đáp án đúng là: D

sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1.

Đáp án đúng là: B

Có sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1 nên ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}$.

Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên sinα < 0 nên $\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Vì $- \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}$ nên sinα < 0 và cosα < 0. Suy ra tanα > 0.

Có ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}$.

Do đó $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}:\frac{{ - 1}}{4} = \sqrt {15}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \cos \alpha = \sin \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ thay vào biểu thức sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1, ta được: ${\sin ^2}\alpha + \left( {\sin \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1$$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha - \sqrt 2 \sin \alpha - \frac{1}{2} = 0$$\Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt 6 }}{4}$.

Mà $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên sinα > 0. Do đó $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Có $- \frac{\pi }{2} < - \frac{\pi }{3} < 0$ thuộc góc phần tư thứ IV nên điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.

b) Đúng. Vì $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$ nên cosα > 0.

c) Sai. Vì $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$ nên sinα < 0.

d) Đúng. Vì $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0.

Do đó $\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}} = \frac{3}{5}$.

b) Sai. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{5}:\left( { - \frac{4}{5}} \right) = - \frac{3}{4}$.

c) Đúng. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{4}{3}$.

d) Đúng. Vì 90° < α < 180° nên điểm biểu diễn của góc α nằm ở góc phần tư thứ II.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}$.

b) Đúng. Do $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên cosα < 0.

Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $\Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {2^2} = 5 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}$$\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

c) Sai. Ta có $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

d) Đúng. Góc phần tư thứ III nên sinα < 0; cosα < 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì cosα < 0 và cotα < 0 nên sinα > 0 nên góc α có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II.

b) Đúng. $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$ (do sinα > 0).

c) Đúng. $\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = - 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

d) Sai. $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{1}{3}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ và sinα < 0 nên điểm biểu diễn của góc α thuộc góc phần tư thứ III.

b) Đúng. Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên cosα < 0.

Do đó $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) Sai. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \left( { - \frac{1}{3}} \right):\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) Đúng. $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 2\sqrt 2$.

Đáp án: -0,92

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên cosα < 0.

Do đó $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{{ - 12}}{{13}} = - 0{,}92$.

Đáp án: -0,5

Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi$ nên sinα < 0.

Ta có $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = 4$$\Rightarrow \sin \alpha = - \frac{1}{2} = - 0{,}5$.

Đáp án: 1,33

Vì góc lượng giác α có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ III nên sinα < 0 và cosα < 0 nên tanα > 0.

Có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Rightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{{25}}{9} - 1 = \frac{{16}}{9}$

$\Rightarrow \tan \alpha = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$ (do tanα > 0).

Đáp án: 9

Bình phương hai vế của $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$ ta được:

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{49}}{{25}} \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{24}}{{25}}$

Xét hiệu: ${\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{{24}}{{25}} = \frac{1}{{25}}$.

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi }{4}$ nên $\cos \alpha > \sin \alpha \Rightarrow \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{5}$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{7}{5}}\\{\cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{5}}\end{array}} \right. \Rightarrow 2\cos \alpha = \frac{8}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5}$.

Suy ra a = 4; b = 5. Vậy a + b = 9.

Đáp án: 10

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ (góc phần tư thứ II) nên sinα > 0 và cosα < 0.

Ta có: $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( { - 2} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Suy ra b = 5; c = 5. Vậy b + c = 10.