Bài tập Tìm và chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh từ đó chứng minh tính chất khác lớp 7 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Vì $\Delta$ABC = $\Delta$DEG theo trường hợp cạnh – góc – cạnh nên điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen kẽ giữa hai cạnh.

Mà $\widehat {ABC}$ là góc xen kẽ giữa hai cạnh BA và BC, $\widehat {DEG}$ là góc xen kẽ giữa hai cạnh ED và EG.

Lại có BA = ED

Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là BC = EG.

Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Vì $\Delta$ABC = $\Delta$AGE theo trường hợp cạnh – góc – cạnh nên điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen kẽ giữa hai cạnh.

Mà $\widehat {BAC} = \widehat {GAE}$ (hai góc đối đỉnh)

Góc BAC xen kẽ giữa hai cạnh AB và AC, góc GAE xen kẽ giữa hai cạnh AG và AE.

Mà AB = AG nên điều kiện còn thiếu trong trường hợp này là điều kiện về cạnh, đó là AC = AE.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

+ Xét tam giác ABO và tam giác CBO có:

AO = CO, $\widehat {AOB} = \widehat {COB}\left( { = 90^\circ } \right),$ BO là cạnh chung

Do đó $\Delta$ABO = $\Delta$CBO (c.g.c)

+ Xét $\Delta$AOD và $\Delta$COD có:

AO = CO, $\widehat {AOD} = \widehat {COD}\left( { = 90^\circ } \right),$ OD là cạnh chung

Do đó $\Delta$ AOD = $\Delta$COD (c.g.c)

+ Vì $\Delta$ABO = $\Delta$CBO (chứng minh trên)

Nên $\widehat {ABO} = \widehat {CBO}$ (hai góc tương ứng) và AB = CB (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta$ABD và $\Delta$CBD có:

AB = CB (chứng minh trên);

$\widehat {ABD} = \widehat {CBD}$ (do $\widehat {ABO} = \widehat {CBO}$)

BD là cạnh chung

Do đó $\Delta$ABD = $\Delta$CBD (c.g.c)

Vậy có 3 cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta$BAC và $\Delta$MNP có:

BA = MN (giả thiết),

$\widehat A = \widehat M$ (giả thiết),

CA = MP (giả thiết)

Do đó $\Delta$BAC = $\Delta$NMP (c.g.c)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

+ Xét $\Delta$ABD và $\Delta$ACE có:

AB = AC (giả thiết),

$\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (giả thiết),

BD = CE (giả thiết)

Do đó $\Delta$ABD = $\Delta$ACE (c.g.c)

+ Vì BE = BD + DE, CD = CE + ED

Mà BD = CE (giả thiết) nên BE = CD.

Xét $\Delta$ABE và $\Delta$ACD có:

AB = AC (giả thiết),

$\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (giả thiết),

BE = CD (chứng minh trên)

Do đó $\Delta$ABE = $\Delta$ACD (c.g.c)

Vậy cả phương án A và B đều đúng, ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta$ABC và $\Delta$MNP có:

AB = NP (giả thiết),

$\widehat B = \widehat N\left( { = 55^\circ } \right)$ (giả thiết),

BC = NM (giả thiết),

Do đó $\Delta$ABC = $\Delta$PNM (c.g.c)

Suy ra $\widehat A = \widehat P = 50^\circ$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat P = 50^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Vì tia Ot là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat {xOt} = \widehat {yOt}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Mà $\widehat {xOt} + \widehat {xOC} = 180^\circ$ (tính chất hai góc kề bù) và $\widehat {yOt} + \widehat {yOC} = 180^\circ$ (tính chất hai góc kề bù)

Do đó $\widehat {xOC} = \widehat {yOC}$ hay $\widehat {AOC} = \widehat {BOC}$

Xét tam giác AOC và tam giác BOC có:

OA = OB (giả thiết),

$\widehat {AOC} = \widehat {BOC}$ (chứng minh trên),

OC là cạnh chung

Do đó $\Delta$OAC = $\Delta$OBC (c.g.c)

Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {OCA} = \widehat {OCB}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia CO là tia phân giác của $\widehat {ACB}.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có AB = AC = BC (giả thiết) nên là tam giác đều

Do đó $\widehat A = \widehat {ABC} = \widehat {ACB}$

CE là tia phân giác của $\widehat {ACB}$ (giả thiết)

Nên $\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}$ (tính chất tia phân giác) (1)

Xét tam giác ACE và tam giác BCE có:

AC = BC (giả thiết),

$\widehat {ACE} = \widehat {ECB}$ (chứng minh trên),

CE là cạnh chung

Do đó $\Delta$ACE = $\Delta$BCE (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AEC} = \widehat {BEC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {AEC} + \widehat {BEC} = 180^\circ$ (tính chất hai góc kề bù)

Nên $\widehat {AEC} = \widehat {BEC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$

Do đó CE $\bot$ AB. Nên A là khẳng định đúng.

Mà BD là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ (giả thiết)

Nên $\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$ (tính chất tia phân giác) (2)

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

AB = BC (giả thiết),

$\widehat {ABD} = \widehat {DBC}$ (chứng minh trên),

BD là cạnh chung

Do đó $\Delta$ABD = $\Delta$CBD (c.g.c)

Suy ra $\widehat {ADB} = \widehat {CDB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 180^\circ$ (tính chất hai góc kề bù)

Nên $\widehat {ADB} = \widehat {CDB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$

Do đó BD $\bot$ AC. Nên B là khẳng định sai và C là khẳng định đúng.

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}$. Nên D là khẳng định đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OH là cạnh chung,

$\widehat {OHA} = \widehat {OHB}\left( { = 90^\circ } \right),$

AH = BH (giả thiết)

Do đó $\Delta$OAH = $\Delta$OBH (c.g.c)

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có $\Delta$OKA = $\Delta$OKC (c.g.c)

Suy ra OA = OC (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC. Do đó A là khẳng định đúng.

Vì $\Delta$OAH = $\Delta$OBH (c.g.c) (chứng minh trên)

Nên $\widehat {AOH} = \widehat {BOH}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra OH là tia phân giác của $\widehat {AOB}$

Do đó $\widehat {AOH} = \widehat {BOH} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ (3)

Tương tự ta cũng có OK là tia phân giác của $\widehat {COA}$

Do đó $\widehat {KOA} = \widehat {COK} = \frac{1}{2}\widehat {COA}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\widehat {KOA} + \widehat {AOH} = \frac{1}{2}\widehat {COA} + \frac{1}{2}\widehat {AOB}$

Hay $\widehat {HOK} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {COA} + \widehat {AOB}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {COB}$. Do đó B là khẳng định đúng

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) nên AB = BC (tính chất hình vuông)

Do đó AM + MB = BN + NC

Mà AM = BN (giả thiết) nên MB = NC.

Xét tam giác MBN và tam giác NCP có:

BN = CP (giả thiết),

$\widehat B = \widehat C$ ($= 90^\circ ,$ tính chất hình vuông),

MB = NC (chứng minh trên)

Do đó $\Delta$MBN = $\Delta$NCP (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BMN} = \widehat {CNP}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {BMN} + \widehat {BNM} = 90^\circ$ (trong tam giác BMN vuông tại B, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó $\widehat {BNM} + \widehat {CNP} = 90^\circ$

Mặt khác $\widehat {BNM} + \widehat {MNP} + \widehat {CNP} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {MNP} = 180^\circ - \left( {\widehat {BNM} + \widehat {CNP}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Vậy $\widehat {MNP} = 90^\circ .$