Bài tập Tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Phân tích 18; 60 ra thừa số nguyên tố ta được:

18 = 2.3$^{2}$

60 = 2$^{2}$.3.5

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 18 và 60. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(18, 60) = 2.3 = 6.

Đáp án đúng là: B

Phân tích 56; 140 ra thừa số nguyên tố ta được:

56 = 2$^{3}$.7

140 = 2$^{2}$.5.7

Ta thấy 2 và 7 là các thừa số nguyên tố chung của 56 và 140. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1 nên:

ƯCLN(56, 140) = 2$^{2}$.7 = 28 nên a = 28

Vì 28 chia hết cho 14 nên ƯCLN(28, 14) = 14 nên b = 14

a.b = 28.14 = 392

Đáp án đúng là C

Ta thấy: 45 chia hết cho 15; 225 chia hết cho 15 nên ƯCLN của 15; 45; 225 là 15.

Đáp án đúng là: A

Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Đáp án đúng là: A

a = 32.5.7 = 2$^{5}$.5.7

b = 24.3.7 = 2$^{3}$.3.3.7 = 2$^{3}$.3$^{2}$.7

Ta thấy 2 và 7 là các thừa số nguyên tố chung của a và b. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1 nên:

ƯCLN(a, b) = 2$^{3}$.7 = 8.7

Đáp án đúng là: C

Phân tích 360; 600; 840 ra thừa số nguyên tố ta được:

360 = 2$^{3}$.3$^{2}$.5

600 = 2$^{3}$.3.5$^{2}$

840 = 2$^{3}$.3.5.7

Ta thấy 2, 3, 5 là các thừa số nguyên tố chung của 360; 600; 840. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1

ƯCLN(360, 600, 840) = 2$^{3}$.3.5 = 120

Đáp án đúng là: C

Ta có: ƯCLN(a, 8) = 4 nên

a = 4.m và 8 = 4.n với

(m, n) = 1 (do nếu m, n không có ước chung lớn nhất là 1 mà tách được ra thành tích các thừa số nguyên tố có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của a và 8 sẽ khác 4)

m < n do a < 8; m và n thuộc ${\mathbb{N}^*}$

Từ 8 = 4.n nên n = 2.

Mà m < n nên m < 2.

Mà m$\in {\mathbb{N}^*}$ nên m = 1

Do đó a = 4.1 = 4.

Đáp án đúng là: A

a = ƯCLN(320, 480)

320 = 2$^{6}$.5

480 = 2$^{5}$.3.5

Ta thấy 2 và 5 là các thừa số nguyên tố chung của a và b. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 5, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên:

a = ƯCLN(320, 480) = 2$^{5}$.5 = 160.

Đáp án đúng là: B

Gọi số cần tìm là a (a < 270)

Ta có: ƯCLN(a, 270) = 45 nên

a = 45.m

270 = 45.n

Với (m, n) = 1 (do nếu m, n không có ước chung lớn nhất là 1 mà tách được ra thành tích các thừa số nguyên tố có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của a và 270 sẽ khác 45)

m < n do a <270; m và n thuộc ${\mathbb{N}^*}$

Từ 270 = 45.n nên n = 6

m < n nên m < 6

Mà (m, n) = 1 và m < 6 nên m = 1 hoặc m = 5

Vậy a = 45.1 = 45 hoặc a = 45.5 = 225

Do a bé nhất nên a = 45

Đáp án đúng là: D

Gọi 2 số cần tìm là a và b (a > b; a và b thuộc ${\mathbb{N}^*}$)

Theo bài ra ta có: a – b = 84, ƯCLN(a, b) = 28

Đặt a = 28m, b = 28n (m > n do a > b, (m; n) = 1 (do nếu m, n không có ước chung lớn nhất là 1 mà tách được ra thành tích các thừa số nguyên tố có thừa số nguyên tố chung thì ước chung lớn nhất của a và b sẽ khác 28); m, n $\in {\mathbb{N}^*}$)

a – b = 84 nên 28m – 28n = 84 do đó m – n = 3

Mà 300 < a < 440 nên $\frac{{300}}{{28}} < \frac{a}{{28}} < \frac{{440}}{{28}}$do đó 10,7 < m < 15,7

Do đó m thuộc {11; 12; 13; 14; 15}

TH1: m = 11

Ta có n = 11 – 3 = 8

a = 28.11 = 308

b = 28.8 = 224 < 300 (loại)

TH2: m = 12

Ta có: n = 12 – 3 = 9

Mà (m; n) = 1 nên loại trường hợp này

TH3: m = 13

Ta có: n = 13 – 3 = 10

a = 28.13 = 364

b = 28.10 = 280 < 300 (loại)

TH4: m = 14

Ta có n = 14 – 3 = 11

a = 28.14 = 392

b = 28.11 = 308

TH5: m = 15

n = 15 – 3 = 12

Mà (m; n) = 1 nên loại trường hợp này

Vậy 2 số cần tìm là 392; 208.

Đáp án đúng là: B

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong các ước chung của các số đó.

Đáp án đúng là: C

Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 bằng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố ta thực hiện ba bước:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Vậy sau khi thực hiện phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất.

Đáp án đúng là: B

Từ phân tích ra thừa số nguyên tố của a và b, ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2.

Lập tích các thừa số đã chọn, ta được ƯCLN (a, b) = 2$^{1}$ ∙ 3$^{2}$ = 2 ∙ 3$^{2}$.

Đáp án đúng là: B

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố: 36 = 2$^{2}$ ∙ 3$^{2}$; 84 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 7.

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, của 3 là 1.

Vậy ƯCLN (36, 84) = 2$^{2}$ ∙ 3 = 12.

Đáp án đúng là: C

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố: 16 = 2$^{4}$; 24 = 2$^{3}$ ∙ 3; 40 = 2$^{3}$ ∙ 5.

Thừa số nguyên tố chung là 2. Lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất là 3.

Do đó ƯCLN (16, 24, 40) = 2$^{3}$ = 8.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta phân tích: 72 = 8 ∙ 9 = 2$^{3}$ ∙ 3$^{2}$.

b) Sai. Ta phân tích 90 = 2 ∙ 3$^{2}$ ∙ 5.

So sánh với 72, các thừa số nguyên tố chung chỉ là 2 và 3, không có 5.

c) Đúng. Lấy các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất: 2$^{1}$ và 3$^{2}$.

Suy ra ƯCLN (72, 90) = 2 ∙ 3$^{2}$ = 18.

d) Sai. ƯCLN của hai số là 18, tổng hai chữ số là 1 + 8 = 9, là số tự nhiên có một chữ số.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Vì 45 chia hết cho 15 nên 15 là ước của 45, không phải là bội.

b) Đúng. Trong trường hợp số lớn chia hết cho số nhỏ, ước chung lớn nhất của hai số chính bằng số nhỏ.

c) Đúng. Áp dụng quy tắc ở câu b, vì 45 chia hết cho 15 nên ƯCLN (45, 15) = 15.

d) Sai. Số 15 chia hết cho 1, 3, 5, 15 nên nó là hợp số, không phải số nguyên tố.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có 125 = 5$^{3}$. Vậy số này chỉ có thừa số nguyên tố là 5.

b) Sai. Ta phân tích: 200 = 2$^{3}$ ∙ 5$^{2}$ và 245 = 5 ∙ 7$^{2}$.

Kết hợp với 125 = 5$^{3}$, cả ba số đều có thừa số nguyên tố chung là 5.

c) Sai. Lập tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất. Số mũ nhỏ nhất của 5 là 1.

Vậy ƯCLN (200, 245, 125) = 5.

d) Đúng. Số tự nhiên lớn nhất mà cả ba số cùng chia hết chính là ƯCLN của chúng.

Dựa vào ý c, ƯCLN là 5.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. 509 – 397 = 112.

b) Đúng. Do ba số chia cho a có cùng số dư nên hiệu của hai trong ba số đó phải chia hết cho a.

c) Đúng. Hiệu thứ hai là 677 – 509 = 168.

Vì 112 chia hết cho a và 168 chia hết cho a, để a là số lớn nhất thì a là ƯCLN (112, 168).

d) Sai. Tìm ƯCLN (112, 168):

112 = 2$^{4}$ ∙ 7 và 168 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 7.

ƯCLN (112, 168) = 2$^{3}$ ∙ 7 = 56.

Số 56 là số chẵn.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì ƯCLN (a, b) = 6, ta có a = 6m, b = 6n với m, n ∈ ℕ* và ƯCLN(m, n) = 1).

b) Sai. Vì a + b = 30 nên 6m + 6n = 30

Suy ra 6(m + n) = 30 hay m + n = 5.

c) Đúng. Các cặp (m; n) có tổng bằng 5 thỏa mãn m, n ∈ ℕ* và ƯCLN(m, n) = 1) là:

(1; 4); (4; 1); (2; 3); (3; 2).

Vậy có 4 cặp số thỏa mãn.

d) Sai. Tương ứng ta tính được 4 cặp (a; b) là: (6; 24); (24; 6); (12; 18); (18; 12).

Cặp số có hiệu lớn nhất là (24; 6) với hiệu là 24 – 6 = 18.

Đáp án: 24.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

120 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 5

144 = 2$^{4}$ ∙ 3$^{2}$

168 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 7

Các thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3, của 3 là 1.

ƯCLN (120, 144, 168) = 2$^{3}$ ∙ 3 = 24.

Đáp án: 30.

Vì 153 và 213 chia cho x đều dư 3 nên 150 và 120 đều chia hết cho x.

Mà x lại là số lớn nhất nên x chính là ước chung lớn nhất của 150 và 210.

Phân tích: 150 = 2 ∙ 3 ∙ 5$^{2}$ và 210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7.

x = ƯCLN (150, 210) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30.

Vậy số x cần tìm là 30.

Đáp án: 17.

Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n – 2 và 7n + 1 (với n ∈ ℕ*).

Khi đó, ta có: d ∈ Ư(3n – 2), d ∈ Ư(7n + 1).

Suy ra (3n – 2) ⋮ d và (7n + 1) ⋮ d

Nên 7(3n – 2) ⋮ d và 3.(7n + 1) ⋮ d.

Do đó [3(7n + 1) – 7.(3n – 2)] ⋮ d.

[(21n + 3) – (21n – 14)] ⋮ d

17 ⋮ d

Suy ra d ∈ Ư(17) = {1; 17}.

Ta có: 3n – 2 = 3n – 36 + 34 = 3.(n – 12) + 34.

Biểu thức này chia hết cho 17 khi và chỉ khi (n – 12) chia hết cho 17, do đó n = 17m + 12 (với m ∈ ℕ).

Do vậy, nếu n = 17m + 12 (với m ∈ ℕ) thì ƯCLN((3n – 2), (7n + 1)) = 17.

Nếu n ≠ 17m + 12 thì (3n – 2) không chia hết cho 17, khi đó ƯCLN((3n – 2), (7n + 1)) = 1.

Vậy giá trị lớn nhất có thể của ƯCLN((3n – 2), (7n + 1)) là 17.

Đáp án: 3.

Các số có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1; 2; 3 có tổng các chữ số là 1 + 2 + 3 = 6.

Do vậy, mỗi số lập được đều chia hết cho 3 và không chia hết cho 9.

ƯCLN của các số này là số chia hết cho 3 và không chia hết cho 9.

Mặt khác, trong số các số được lập ra có hai số là 123 và 132.

Vậy ƯCLN cần tìm là ước của hiệu 132 – 123 = 9.

Ta có ƯCLN cần tìm là 3.