Bài tập Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Biểu thức 2023tan$^{2024}$2x có nghĩa khi cos2x ≠ 0, tức là $2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Hay $x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Biểu thức cot2a + 2cosa + 3 có nghĩa khi sin2a ≠ 0, tức là $2a \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Hay $a \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Biểu thức y = 2cotx + sin3x có nghĩa khi sinx ≠ 0, tức là $x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $\tan \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ có nghĩa khi $\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0$, tức là $x + \frac{{2\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

hay $x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $y = \frac{1}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}} = - \frac{1}{{\cos 2x}}$ (công thức góc nhân đôi)

Do đó, biểu thức $\frac{1}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}$ có nghĩa khi cos2x ≠ 0, tức là $2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hay $x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}} = \frac{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{\sin x - 1}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x\left( {\sin x - 1} \right)}}$.

Biểu thức $y = \frac{{\cot x}}{{\sin x - 1}}$ có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin x \ne 1\end{array} \right.$, tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Các hàm số y = sin x, y = cos x có tập xác định là ℝ. Vậy (1) và (2) đúng.

Hàm số y = tan x có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Vậy (3) sai.

Hàm số y = cot x có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Vậy (4) sai.

Đáp án đúng là: A

Biểu thức $\frac{{\sqrt {2 + \cos x} }}{{\sin 3x}}$ có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l}2 + \cos x \ge 0\\\sin 3x \ne 0\end{array} \right.$. (1)

Mặt khác ∀ x ∈ ℝ: –1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ 1 ≤ cosx + 2 ≤ 3.

Lúc đó, (1) ⇔ sin3x ≠ 0, hay $x \ne \frac{{k\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $y = \sqrt {\frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}}}$.

Ta có $\forall x \in \mathbb{R}:\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin 2x \le 1\\ - 1 \le \cos 4x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le \sin 2x + 3 \le 4\\4 \le \cos 4x + 5 \le 6\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}} > 0$.

Vậy hàm số $y = \sqrt {\frac{{\sin 2x + 3}}{{\cos 4x + 5}}}$ có tập xác định là ℝ.

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \frac{{2 - \sin 2x}}{{\sqrt {m\cos x + 1} }}$ có nghĩa khi mcosx + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ. (1)

– Khi m = 0 thì (1) luôn đúng nên nhận giá trị m = 0.

– Khi m > 0 thì mcosx + 1 có tập giá trị là đoạn [–m + 1 ; m + 1]. Do đó để (1) đúng khi và chỉ khi –m + 1 > 0 ⇔ m < 1. Do đó, 0 < m < 1.

– Khi m < 0 thì mcosx + 1 có tập giá trị là đoạn [m + 1 ; –m + 1]. Do đó để (1) đúng khi và chỉ khi m + 1 > 0 ⇔ m > – 1. Do đó –1 < m < 0.

Kết hợp ba trường hợp ta được –1 < m < 1.

Đáp án đúng là: B

Để hàm số $y = \frac{1}{{\sin 2x - m}}$ có tập xác định là ℝ thì sin2x – m ≠ 0, hay m ≠ sin2x ∀ x ∈ ℝ.

Mặt khác ∀ x ∈ ℝ, ta có sin 2x ∈ [– 1; 1].

Do đó m ∉ [– 1; 1], tức là m ∈ (– ∞; –1) ∪ (1; + ∞).

Đáp án đúng là: D

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\frac{\pi }{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có -1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. Do đó sinx – 2 ≠ 0, ∀x ∈ ℝ. Vậy tập xác định D = ℝ.

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi sinx – cos x ≠ 0 ⇔ $\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$ ≠ 0 ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{4} + k\pi$, (k ∈ ℤ).

Đáp án đúng là: A

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời 5 + 2cot$^{2}$x – sin x ≥ 0, $\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$ xác định và cot x xác định.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2{\cot ^2}x \ge 0\\ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 5 - \sin x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 5 + 2{\cot ^2}x - \sin x \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\cot \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$ xác định ⇔ $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} + x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

cot x xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó hàm số xác định ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2 \cdot \frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0$.

b) Đúng. Ta có: $f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right) - 1 = - \sqrt 3 - 1$

c) Đúng. Tập giá trị của hàm số là ℝ.

d) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi cos2x ≠ 0 ⇔ 2x = $\frac{\pi }{2} + k\pi$

⇔ $\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k$, k ∈ ℤ .

Tập xác định của hàm số là: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số xác định khi:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Đúng. Hàm số xác định khi π - cos x ≥ 0 ⇔ cos x ≤ π ⇔ x ∈ℝ.

Vậy tập xác định D = ℝ.

c) Đúng. Hàm số xác định khi 4 – sin$^{2}$x ≥ 0 ⇔ sin$^{2}$x ≤ 4 ⇔ x ∈ ℝ (vì ta có 0 ≤ sin$^{2}$x ≤ 1 < 4, ∀x ∈ ℝ).

Vậy tập xác định D = ℝ.

d) Sai. Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\sin x - 1 \ge 0\\\cos x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ge 1\\\cos x \ge 1\end{array} \right.$ (1)

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin x \le 1\\ - 1 \le \cos x \le 1\end{array} \right.$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right.$ vô lý (vì sin$^{2}$x + cos$^{2}$x = 1 nên sinx, cos x không thể đồng thời bằng (1).

Vậy tập xác định của hàm số là D = ∅.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện xác định của hàm số là 1 – cos x > 0.

b) Sai. Ta có: $\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = {\left( {\frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \right)^2} = {\cot ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)$.

c) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0\\1 - \cos x \ne 0\end{array} \right.$ (1)

Vì -1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

=> $\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos x \ge 0\\1 - \cos x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}} \ge 0,\,\,\forall \,1 - \cos x \ne 0$.

Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

d) Đúng. Thay π vào hàm số ta được: $\frac{{1 + \cos \pi }}{{1 - \cos \pi }} = \frac{0}{2} = 0$. Do đó π thuộc hàm số.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne k\pi \\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Đúng. Ta có: $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x$

c) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Do đó, a = 0, b = $\frac{\pi }{2}$=> a + b = 0 + $\frac{\pi }{2}$ = $\frac{\pi }{2}$.

d) Sai. Thay x = $\frac{\pi }{4}$ vào hàm số ta được:

$\cot \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cot \frac{\pi }{2} + \tan \frac{\pi }{4} = 0 + 1 = 1$.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: $\frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{1 + 2{{\cos }^2}x - 1}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x$

b) Sai. Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne - 1\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \pi + 2k\pi \\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$Vậy tập xác định của hàm số D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Sai. Thay x = $\frac{\pi }{3}$ vào hàm số ta được: $\frac{{\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right)}}{{1 + \cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{3}} \right)}} + \frac{{\cos \frac{\pi }{3}}}{{\sin \frac{\pi }{3}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

d) Đúng. Tập xác định của hàm số D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Do đó, a = 0, b = $\frac{\pi }{2}$ => T = a + 3b = 0 + 3$\frac{\pi }{2}$=$\frac{{3\pi }}{2}$.

Đáp án: 1.

Ta có: -1 ≤ cos4x ≤ 1

Để hàm số y = $\sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x}$ xác định trên ℝ

⇔ $\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge \cos 4x$, ∀x ∈ ℝ

Vì cos4x ≤ 1 nên $\frac{{m - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{m} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{m - 1 - 2m}}{m} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - m - 1}}{m} \ge 0$

$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0$.

Do m ∈ ℤ nên m = -1

Do đó, có 1 giá trị nguyên của m để hàm số xác định trên ℝ.

Đáp án: 135.

Điều kiện: sin$^{2}$x – cos$^{2}$x ≠ 0 ⇔ -cos2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ

⇔ x ≠ $\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}k;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Do đó, a = $\frac{\pi }{4}$; b = $\frac{\pi }{2}$ => T = a + b = $\frac{\pi }{4}$ + $\frac{\pi }{2}$ = $\frac{{3\pi }}{4}$= 135°.

Đáp án: 15.

Hàm số có tập xác định D = ℝ

Ta có: y = sinx + $\sqrt 3$cosx + 3 = $2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3$

Do -1 ≤ $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 1 ⇔ -2 ≤ $2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 2 ⇔ 1 ≤ $2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ + 3 ≤ 5

⇔ 1 ≤ y ≤ 5.

Vậy tập giá trị của hàm số là T = [1; 5] nên a = 1, b = 5 => P = 5a + 2b = 51 + 25 = 15.

Đáp án: -3.

Để hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ thì (m + 1)cosx – 2 ≠ 0, ∀x∈ ℝ (*)

Nếu m = -1, (*) trở thành -2 ≠ 0 đúng với ∀x∈ ℝ. Vậy m = -1 thỏa mãn (1)

Nếu m ≠ -1, ta có (m + 1)cosx – 2 ≠ 0, ∀x∈ ℝ ⇔ cosx ≠ $\frac{2}{{m + 1}}$, ∀x∈ ℝ.

⇔ $\left| {\frac{2}{{m + 1}}} \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{{m + 1}} > 1\\\frac{2}{{m + 1}} < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{1 - m}}{{1 + m}} > 0\\\frac{{m + 3}}{{m - 1}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\ - 3 < m < - 1\end{array} \right.$ (2)

Kết hợp (1), (2) ta được -3 < m < 1 m ∈ {-2; -1; 0}

Tổng các giá trị nguyên của m là -2 – 1 + 0 = -3.

Đáp án: 1,57.

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\{\cot ^2}x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}$.

Do đó, a = 0, b = $\frac{\pi }{4}$ => T = a + 2b = 0 + 2$\frac{\pi }{4}$= $\frac{\pi }{2}$= 1,57.