Bài tập Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] , ta có: f'(x) = 3x$^{2}$ – 6x – 9.

Có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ – 6x – 9 = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 $\in$ [−2; 2] hoặc x = 3 $\notin$ [−2; 2]

Có f(−2) = 8; f(−1) = 15; f(2) = −12.

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]\,} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 15$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow x = 2$ (vì x $\in$ (1; 5)).

Khi đó y(1) = 5; y(2) = 4 và $y\left( 5 \right) = \frac{{29}}{5}$.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = 4$ tại x = 2.

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho liên tục trên [0; 3]

Ta có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0$ với ∀x $\in$ [0; 3] .

Có y (0) = −1; $y\left( 3 \right) = \frac{1}{2}$. Do đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y(0) = - 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y'=-2\sin2x;\ y'=0 \Leftrightarrow \sin2x=0 \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{2}\ (k\in\mathbb{Z})$.

Vì $x\in[0;\pi]$ nên $0\le \frac{k\pi}{2}\le \pi \Leftrightarrow 0\le k\le 2$.

Mà $k$ là số nguyên nên $k\in\{0;1;2\}$. Do đó, $x\in\left\{0;\frac{\pi}{2};\pi\right\}$.

Do đó, $y(0)=-2;\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=-4;\ y(\pi)=-2$. Vậy $\min_{[0;\pi]} y=-4$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: f'(x) = (2x – 5)e$^{2x}$; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ $x = \frac{5}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - \frac{{{e^5}}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ khi x = 1.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 2$^{x}$ln2 – 4ln2; y' = 0 $\Leftrightarrow$ 2$^{x}$ln2 – 4ln2 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] bằng 4 – 8ln2 tại x = 2.

Khi đó: a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14 .

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = [−1; 1].

Ta có: $y' = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }}$.

Có y' = 0 $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} = 0$$\Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow x = 0$.

Khi đó: $y\left( { - 1} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = \sqrt 2$.

$\Rightarrow$Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x – 1)$^{2}$ + (x + 3)$^{2}$ = 2x$^{2}$ + 4x + 10.

Ta có y' = 4x + 4 ; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8.

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞).

Có $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = $\frac{{{x^2}}}{{x - 2}}$ liên tục trên đoạn (2; 6).

y' = $\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{(x - 2)}^2}}}$.

y' = 0 ⇔ x$^{2}$ – 4x = 0 ⇔ $\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0 \notin \left( {2;6} \right)}\\{x = 4 \in \left( {2;6} \right)}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, $\mathop {\min }\limits_{(2;6)} y$ = f(4) = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số liên tục trên khoảng (0; 2).

Ta có: y' = 3x$^{2}$– 3.

y' = 0 ⇔ 3x$^{2}$– 3 = 0 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.$

Vì đang xét hàm số trên khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị x = −1.

Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2):

Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathop {\min }\limits_{(0;2)} y$ = f(1) = −1 đạt tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = x – 3 + $\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞).

y' = 1 − $\frac{1}{{{x^2}}}$.

y' = 0 ⇔ 1 − $\frac{1}{{{x^2}}}$ = 0 ⇔ x$^{2}$ – 1 = 0 ⇔ $\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.$.

Vì đang xét hàm số trên khoảng (0; +∞) nên ta loại giá trị x = −1.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = $\frac{x}{{4 + {x^2}}}$ liên tục trên khoảng (−∞; +∞).

y' = $\frac{{4 - {x^2}}}{{{{(4 + {x^2})}^2}}}$.

y' = 0 ⇔ 4 – x$^{2}$ = 0 ⇔ $\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y$ = f(−2) = $\frac{{ - 1}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số f(x) = $\frac{{6 - 8x}}{{{x^2} + 1}}$ liên tục trên khoảng (−∞; 1).

Ta có f'(x) = $\frac{{8{x^2} - 12x - 8}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}$.

f'(x) = 0 ⇔ 8x$^{2}$ – 12x – 8 = 0 ⇔ $\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2 \notin \left( { - \infty ;1} \right)}\\{x = \frac{{ - 1}}{2} \in \left( { - \infty ;1} \right)}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;1} \right)} f\left( x \right)$ = 8 ⇒ P = $\frac{{6 - 8a}}{{{a^2} + 1}}$ = $\frac{{ - 58}}{{65}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

y = 2x – e$^{2x}$.

y' = 2 – 2e$^{2x}$ ⇒ f'(ln2) = −6.

y' = 0 ⇔ 2 – 2e$^{2x}$ = 0 ⇔ e$^{2x}$ = 1 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [−1; ln2]:

a) Đúng. Hàm số đã cho luôn xác định trên ℝ.

b) Sai. f'(ln2) = −6.

c) Sai. Trên đoạn [−1; ln2], giá trị lớn nhất của hàm số bằng −1 tại x = 0.

d) Đúng. Trên đoạn [−1; ln2], giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2ln2 – 4 tại x = ln2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Xét hàm số y = ln[(x − 1)(3 − x)].

Để hàm số xác định thì: (x − 1)(3 − x) > 0 ⇔ 1 < x < 3.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (1; 3).

y' = $\frac{{ - 2x + 4}}{{(x - 1)(3 - x)}}$.

y' = 0 ⇔ −2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.

Bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (1; 3).

b) Đúng. y' = $\frac{{ - 2x + 4}}{{(x - 1)(3 - x)}}$.

c) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 0 tại x = 2.

d) Sai. Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

Ta có y' = 6x$^{2}$ – 12x; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 (chọn) hoặc x = 2 (loại).

Ta có y(−2) = −55; y(0) = −15; y(1) = −19.

a) Đúng. M = −15.

b) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại x = 0.

c) Sai. m = −55.

d) Đúng. M + m = −15 + (−55) = −70.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

Ta có $y' = \frac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} < 0$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −3) và (−3; +∞).

a) Đúng. $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{5}{3}$.

b) Sai. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 5] tại điểm x = 0.

c) Sai. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2; - 1} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = 13;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2; - 1} \right]} y\left( { - 1} \right) = \frac{9}{2}$.

Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; −1] là $\frac{{35}}{2}$.

d) Sai. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [−2; −1] tại điểm x = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Xét hàm số y = x$^{3}$ – 3x.

Có y' = 3x$^{2}$ – 3; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −1.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

a) Đúng. $\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( x \right) = - 2$.

b) Đúng. $\mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;2} \right)} f\left( x \right) = 2$.

c) Sai. $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2$.

d) Đúng. $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = - 2$. Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = 2 + \left( { - 2} \right) = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Tập xác định D = [−2; 2].

Xét hàm số y = x + $\sqrt {4 - {x^2}}$.

y' = 1 − $\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$ = $\frac{{ - x + \sqrt {4 - {x^2}} }}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$, x ∈ (−2; 2).

y' = 0 ⇔ $\sqrt {4 - {x^2}}$ − x = 0 ⇔ $\sqrt {4 - {x^2}}$ = x ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x \ge 0}\\{x = \sqrt 2 \in \left( { - 2;2} \right)}\\{x = - \sqrt 2 \notin \left( { - 2;2} \right)}\end{array}} \right.$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} y$ = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Xét hàm số y = e$^{x}$(x$^{2}$ – 3) trên đoạn [−5; −2].

Ta có y' = e$^{x}$(x$^{2}$ + 2x – 3) = 0 ⇔ $\left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 3 \in \left[ { - 5; - 2} \right]}\\{x = 1 \notin \left[ { - 5; - 2} \right]}\end{array}} \right.$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5; - 2} \right]} y$ = $\frac{6}{{{e^3}}}$ ⇒ a = 6; b = 3 ⇒ a + b = 3 + 6 = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 182

Có y' = 3x$^{2}$ – 3; y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 (chọn) hoặc x = −1 (chọn).

Có y(−2) = 89; y(−1) = 93; y(1) = 89; y(2) = 93.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] là 89, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−2; 2] là 93.

Vậy tổng là 89 + 93 = 182.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Có y' = 300(2x – 3x$^{2}$); y' = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 (chọn) hoặc $x = \frac{2}{3}$ (loại).

Có y(0) = 4; y(0,5) = 41,5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 41,5 đạt được tại $x = \frac{1}{2}$. Suy ra a = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 9

Có y' = −2sinx + 1; y' = 0 $\Leftrightarrow$ $x = \frac{\pi }{6}$ vì $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$.

Có y(0) = 1; $y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 + \frac{\pi }{6}$; $y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 2cosx + x trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $\sqrt 3 + \frac{\pi }{6}$.

Suy ra a = 3; b = 6. Vậy a + b = 9.