Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2.

Vậy GTNN của A = $2\sqrt 2$ khi x = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = \frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

Với x ≥ 0, ta có: $\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}$.

Do đó, 2 + $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2} + 2$ hay B ≤ $\frac{9}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vật GTLN của B = $\frac{9}{2}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $C = \frac{{2\sqrt x + 11}}{{3\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{29}}{3}}}{{3\left( {\sqrt x + \frac{2}{3}} \right)}} = \frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}}$.

Với x ≥ 0, ta có: $3\sqrt x + 2 \ge 2$ suy ra $3\left( {3\sqrt x + 2} \right) \ge 6$.

Do đó, $\frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{29}}{6}$ .

Suy ra $\frac{2}{3} + \frac{{29}}{{3\left( {3\sqrt x + 2} \right)}} \le \frac{{11}}{2}$ hay C ≤ $\frac{{11}}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của C = $\frac{{11}}{2}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x > 0.

Ta có: $D = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{x} = 1 - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 2.\frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} = \frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}$.

Nhận thấy ${\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{3}{4} + {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}$ hay D $\ge \frac{3}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt x }} = 0$ suy ra $\sqrt x = 2$ khi x = 4.

Vậy GTNN của của D = $\frac{3}{4}$ khi x = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$D = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$D = \frac{{\left[ {x\sqrt x + 2x + \sqrt x - 2x - 4\sqrt x - 2 - x\sqrt x + \sqrt x - 2x + 2} \right]}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2}$

$D = \frac{{\left( { - 2x - 2\sqrt x } \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{2} = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)$.

Ta có: $D = - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = - x + \sqrt x = - x + 2.\frac{1}{2}\sqrt x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = - {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}$.

Nhận thấy $- {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0$ nên $- {\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = $\frac{1}{4}$.

Vậy GTLN của D = $\frac{1}{4}$ khi x = $\frac{1}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$.

Có: $P = \frac{A}{B} + 2018$ với x > 1.

$= \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x }} + 2018$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + 2018$

$= \frac{x}{{\sqrt x - 1}} + 2018$

$= \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018$

$= \sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2018$

$= \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020$

Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 1}}} = 2$

Suy ra $\sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + 2020 \ge 2022$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x - 1 = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$ hay x = 4 (do x > 1).

Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.

Đáp án đúng là: D

Với x > 0, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{2\sqrt x + 5}}{{9 - x}}$

$Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$Q = \frac{{x - 2\sqrt x - 3 + 2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$.

Có A = P.Q = $\frac{{x - 9}}{{\sqrt x }}.\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}$

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của A = $2\sqrt 2$ khi x = 2.

Đáp án đúng là: B

Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ $\frac{1}{4}$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$B = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: M = A.B = $\frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: $M = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Nhận thấy với x ≥ 0 thì $\sqrt x + 1 \ge 1$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4$.

Do đó, $1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 1 + 4$ hay M ≤ $5$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = 5 khi x = 0.

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:

$B = \left( {\frac{{3\sqrt x + 6}}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{x - 9}}{{\sqrt x - 3}}$

$B = \left[ {\frac{{\left( {3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{3\sqrt x + 6 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{x + 5\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{1}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$.

Ta có: M = A.B = $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{1}{{\sqrt x + 3}}$.

Vì x ≥ 0 nên $\sqrt x \ge 0$ suy ra $\sqrt x + 3 \ge 3$. Do đó $\frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = $\frac{1}{3}$ khi x = 0.

Đáp án đúng là: B

Với x > 0 và x ≠ 4, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{5\sqrt x - 2}}{{4 - x}}$

$Q = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$Q = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$Q = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

Ta có: $\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}$.

Do x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}$ suy ra x = 3 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của $\frac{P}{Q}$ bằng $2\sqrt 3$ khi x = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Với ${\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}$, ta có:

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\left( {\sqrt x - 1} \right) - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

Vậy với ${\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}$ thì $P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

b) Sai.

Với ${\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}$, ta có: $P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x + 1}} < 1$.

Vậy P < 1.

c) Đúng.

Với ${\rm{x}} \ge {\rm{0}}{\rm{, }}\,\,{\rm{x}} \ne {\rm{1}}$, ta có: $P = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{\sqrt 0 - 1}}{{\sqrt 0 + 1}}$ hay P ≥ −1.

Vậy GTNN của P = −1.

d) Sai.

Biểu thức P đạt GTNN khi $\sqrt x = 0$ hay x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$P = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$

$$= \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$

$$= \left[ {\frac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$

$$= \frac{{ - 2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$

$$= \frac{{1 - x}}{{\sqrt x + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x + 1}}$$

$= 1 - \sqrt x$.

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì $P = 1 - \sqrt x$.

b) Đúng.

Ta có: $x = 7 - 4\sqrt 3 = 4 - 2.2\sqrt 3 + 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Thay vào P $= 1 - \sqrt x$, ta được: $P = 1 - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 - 2 + \sqrt 3 = \sqrt 3 - 1$.

c) Đúng.

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có: $\sqrt x \ge 0$ nên $1 - \sqrt x \le 1$.

Vậy GTLN của P = 1.

d) Sai.

GTLN của P = 1 khi x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Với x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào $A = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$, ta được:

$A = \frac{{4 + 2\sqrt 4 + 5}}{{\sqrt 4 - 3}} = \frac{{13}}{{ - 1}} = - 13$.

b) Sai.

Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:

$B = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

$= \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$.

c) Đúng.

Ta có: $\frac{A}{B} = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}}$.

d) Đúng.

Ta có: $\frac{A}{B} = \frac{{x + 2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 4}}{{\sqrt x + 1}} = \left( {\sqrt x + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x + 1}}$

Với mọi x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\left( {\sqrt x + 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 1} \right).\frac{4}{{\sqrt x + 1}}} = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{A}{B}$ khi x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Với x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào P ta được:

$P = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} + 3}} + \frac{{2\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} - 3}} - \frac{{3.16 + 9}}{{16 - 9}} = \frac{3}{7}$.

b) Đúng.

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{3x + 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x - 3\sqrt x + 2x + 6\sqrt x - 3x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{3\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{3\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$.

c) Đúng.

Ta có: $P = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}$ với x ≥ 0, x ≠ 9.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với mọi x ≥ 0, x ≠ 9

Do đó, $\frac{3}{{\sqrt x + 3}} \le 1$.

Do đó, giá trị lớn nhất của P = 1.

d) Sai.

Giá trị lớn nhất của P = 1 khi $\frac{3}{{\sqrt x + 3}} = 1$, suy ra x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Thay x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào B, được: $B = \frac{1}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{1}{{3 - 1}} = \frac{1}{2}.$

b) Đúng.

Ta có: $C = \frac{A}{B} = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\sqrt x }}.\left( {\sqrt x - 1} \right)$

$= \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}$.

c) Sai.

Ta có: $C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Do đó, $C \ge 2\sqrt 2$.

d) Đúng.

Có $C \ge 2\sqrt 2$, dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2 (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

Với x > 0, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{2\sqrt x + 5}}{{9 - x}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x - 2\sqrt x - 3 + 2\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

Có A = P.Q = $\frac{{x - 9}}{{\sqrt x }}.\frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}$

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{2}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }}$ hay x = 2 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của A = $2\sqrt 2 = \sqrt 8$ khi x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ $\frac{1}{4}$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: M = A.B = $\frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: $M = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Nhận thấy với x ≥ 0 thì $\sqrt x + 1 \ge 1$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4$.

Do đó, $1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 1 + 4$ hay M ≤ $5$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = 5 khi x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Với x > 0, ta có:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }}$

$= \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}$

$= \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }}$.

Với x > 0, $P = \frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x$

Vì x > 0, áp đụng BĐT Cauchy, ta có:

$\frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\sqrt x }$ hay $1 + \frac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt x \ge 1 + 2$ hay A ≥ 3.

Vậy GTNN của A = 3 khi $\frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x$ hay x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −1

Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$

Ta có: $A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}$

Vì $\sqrt x + 1 \ge 1$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 1.

Do đó, $\frac{3}{{\sqrt x + 1}} \le 3$ suy ra $- \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \ge - 3$.

Từ đó, $A \ge - 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = −1 khi x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −0,5

Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4, ta có:

$A = \left( {\sqrt x - \frac{{x + 2}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x - 4}}{{1 - x}}} \right)$

$= \frac{{x + \sqrt x - x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - \sqrt x + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$.

Nhận thấy $\sqrt x + 2 \ge 2$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4.

Do đó, $\frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2}$, suy ra $- \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \ge - \frac{3}{2}$

Từ đó, $1 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \ge - \frac{1}{2}$ hay A ≥ $- \frac{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = $- \frac{1}{2}$ khi x = 0.