Bài tập Tìm điều kiện để số hữu tỉ là một số nguyên lớp 7 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Số hữu tỉ $\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}$ là số nguyên khi a chia hết cho b.

Đáp án đúng là: B

Để $\frac{{\rm{x}}}{5}$ là số nguyên thì x chia hết cho 5, hay x là bội của 5.

Do đó, x = 5k (k là số nguyên).

Vậy chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Để $\frac{{ - 8}}{{\rm{x}}} = - \frac{8}{x}$ là số nguyên thì 8 chia hết cho x, hay x là ước của 8.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $0{,}5{\rm{x}} = \frac{{\rm{x}}}{2}$.

Để $\frac{{\rm{x}}}{2}$ là số nguyên thì x chia hết cho 2.

Vậy để số hữu tỉ 0,5x là số nguyên thì x chia hết cho 2.

Đáp án đúng là: D

Thay x = 10k vào $\frac{{\rm{x}}}{2}$ ta có: $\frac{{\rm{x}}}{2} = \frac{{10{\rm{k}}}}{2} = 5{\rm{k}} \in \mathbb{Z}$ nên $\frac{{\rm{x}}}{2}$ là số nguyên.

Thay x = 10k vào $\frac{{\rm{x}}}{5}$ ta có: $\frac{{\rm{x}}}{5} = \frac{{10{\rm{k}}}}{5} = 2{\rm{k}} \in \mathbb{Z}$ nên $\frac{{\rm{x}}}{5}$ là số nguyên.

Thay x = 10k vào $\frac{{\rm{x}}}{{10}}$ ta có: $\frac{{\rm{x}}}{{10}} = \frac{{10{\rm{k}}}}{{10}} = {\rm{k}} \in \mathbb{Z}$ nên $\frac{{\rm{x}}}{{10}}$ là số nguyên.

Thay x = 10k vào $\frac{{\rm{x}}}{{20}}$ ta có: $\frac{{\rm{x}}}{{20}} = \frac{{10{\rm{k}}}}{{20}} = \frac{{\rm{k}}}{2}$ chưa chắc đã là số nguyên, nên $\frac{{\rm{x}}}{{20}}$ không là số nguyên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. ${\rm{x}} = 0{,}25\left( {{\rm{a}} - 4} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( {{\rm{a}} - 4} \right) = \frac{{{\rm{a}} - 4}}{4}.$ Vậy a) đúng.

b) Đúng. Với a là số nguyên, để x là số nguyên thì $\frac{{{\rm{a}} - 4}}{4}$ là số nguyên.

Khi đó, (a - 4) chia hết cho 4.

Vậy b) đúng.

c) Sai. Vì (a - 4) chia hết cho 4 nên a - 4 là bội của 4.

d) Sai. Theo c) ta có: a - 4 là bội của 4 nên a - 4 = 4k (k là số nguyên)

Suy ra a = 4 + 4k (k là số nguyên).

Vậy với a = 4 + 4k (k là số nguyên) thì x là số nguyên.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Với a là số nguyên khác 1, ta có:

${\rm{x}} = \frac{8}{{2{\rm{a}} - 2}} = \frac{8}{{2\left( {{\rm{a}} - 1} \right)}} = \frac{4}{{{\rm{a}} - 1}}.$

Vậy a) đúng.

b) Sai. Với a là số nguyên khác 1, để x là số nguyên thì $\frac{4}{{{\rm{a}} - 1}}$ là số nguyên.

Suy ra a - 1 là ước của 4. Vậy b) sai.

c) Sai. Vì a - 1 là ước của 4 nên (a - 1) ∈ {1; -1; -4; 4; 2; -2}. Vậy c) sai.

d) Đúng. Ta có bảng:

Vậy có 6 giá trị nguyên của a thỏa mãn bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Với x là số nguyên, để b là số nguyên thì $1 - \frac{7}{{2{\rm{x}} - 3}}$ là số nguyên, suy ra $\frac{7}{{2{\rm{x}} - 3}}$ có giá trị nguyên.

Vậy a) đúng.

b) Sai. Với x là số nguyên, để $\frac{7}{{2{\rm{x}} - 3}}$ có giá trị nguyên thì 7 chia hết cho 2x - 3 hay 2x - 3 là ước của 7.

Vậy b) sai.

c) Sai. Vì 2x - 3 là ước của 7 nên (2x - 3) ∈ {1; -1; 7; -7}. Vậy c) sai.

d) Sai. Ta có bảng:

Vậy có 4 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Với x là số nguyên khác 5, ta có:

${\rm{c}} = \frac{{{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 5}} = \frac{{{\rm{x}} - 5 + 3}}{{{\rm{x}} - 5}} = 1 + \frac{3}{{{\rm{x}} - 5}}.$

Vậy a) đúng.

b) Đúng. Với x là số nguyên khác 5, để c là số nguyên thì $1 + \frac{3}{{{\rm{x}} - 5}}$ là số nguyên, nên $\frac{3}{{{\rm{x}} - 5}}$ là số nguyên.

Khi đó, 3 chia hết cho (x - 5), suy ra x - 5 thuộc tập hợp các ước của 3.

Vậy b) đúng.

c) Sai. Vì x - 5 thuộc tập hợp các ước của 3 nên (x - 5) ∈ {1; -1; 3; -3}.

Ta có bảng:

Vậy có 4 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.

d) Đúng. Với x = 6 thì ${\rm{c}} = \frac{{{\rm{6}} - 2}}{{{\rm{6}} - 5}} = 4$ là số tự nhiên.

Với x = 8 thì ${\rm{c}} = \frac{{{\rm{8}} - 2}}{{8 - 5}} = 2$ là số tự nhiên.

Với x = 4 thì ${\rm{c}} = \frac{{4 - 2}}{{{\rm{4}} - 5}} = - 2$ không là số tự nhiên.

Với x = 2 thì ${\rm{c}} = \frac{{{\rm{2}} - 2}}{{{\rm{2}} - 5}} = 0$ là số tự nhiên.

Vậy có 3 giá trị của x để c là số tự nhiên.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. ${\rm{a}} = \frac{{12{\rm{x}} - 13}}{{3{\rm{x}} + 1}} = \frac{{12{\rm{x}} + 4 - 17}}{{3{\rm{x}} + 1}} = \frac{{4\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) - 17}}{{3{\rm{x}} + 1}} = 4 - \frac{{17}}{{3{\rm{x}} + 1}}.$Vậy a) đúng.

b) Đúng. Với x là số nguyên, để a là số nguyên thì $\frac{{17}}{{3{\rm{x}} + 1}}$ là số nguyên, suy ra 3x + 1 là ước của 17.

Vậy b) đúng.

c) Đúng. Vì 3x + 1 là ước của 17 nên (3x + 1) ∈ {1; -1; 17; -17}.

Vậy c) đúng.

d) Sai. Ta có bảng:

Vậy có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán. Vậy d) sai.

Đáp án: 5.

Điều kiện: x ≠ 7.

Với x là số nguyên, để $\frac{{16}}{{{\rm{x}} - 7}}$ là số nguyên thì (x - 7) là các ước nguyên của 16.

Do đó, (x - 7) ∈ {1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8; 16; -16}.

Mặt khác, để $\frac{{16}}{{{\rm{x}} - 7}}$ là số dương, tức lớn hơn 0 thì cả tử và mẫu phải có cùng dấu. Mà 16 > 0 nên ta cần x - 7 > 0.

Như vậy (x - 7) ∈ {1; 2; 4; 8; 16}.

Ta có bảng:

Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.

Đáp án: 4.

Điều kiện: x ≠ 5.

Với x ≠ 5, ta có: $\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x}} - 5}} = \frac{{{\rm{x}} - 5 + 5}}{{{\rm{x}} - 5}} = 1 + \frac{5}{{{\rm{x}} - 5}}.$

Với x là số nguyên, để $\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x}} - 5}}$ là số nguyên thì $\frac{5}{{{\rm{x}} - 5}}$ là số nguyên.

Do đó, (x - 5) ∈ Ư(5) = {1; -1; 5; -5}.

Ta có bảng:

Vậy có 4 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.

Đáp án: 4.

Điều kiện: x ≠ 1.

Với x ≠ 1, ta có: $\frac{{3{\rm{x}} - 5}}{{{\rm{x}} - 1}} = \frac{{{\rm{3x}} - 3 - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = \frac{{3\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - 2}}{{{\rm{x}} - 1}} = 3 - \frac{2}{{{\rm{x}} - 1}}.$

Với số nguyên x khác 1, để $\frac{2}{{{\rm{x}} - 1}}$ là số nguyên thì (x - 1) ∈ Ư(2) = {1; -1; 2; -2}.

Ta có bảng:

Vậy có 4 giá trị của x thỏa mãn bài toán.

Đáp án: 2.

Ta có: ${\rm{2a}} = \frac{{{\rm{6x}}}}{{{\rm{6x}} + 5}} = \frac{{{\rm{6x}} + 5 - 5}}{{{\rm{6x}} + 5}} = 1 - \frac{5}{{{\rm{6x}} + 5}}.$

Vì a là số nguyên nên 2a là số nguyên.

Với x là số nguyên, để 2a là số nguyên thì $\frac{5}{{{\rm{6x}} + 5}}$ là số nguyên.

Suy ra (6x + 5) ∈ Ư(5) = {1; -1; 5; -5}.

Ta có bảng:

Vậy có 2 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 6.

Ta có: $0{,}2\left( {{\rm{x}} - 6} \right) = \frac{1}{5}\left( {{\rm{x}} - 6} \right) = \frac{{{\rm{x}} - 6}}{5}.$

Với x là số tự nhiên, để 0,2(x - 6) là số nguyên thì $\frac{{{\rm{x}} - 6}}{5}$ là số nguyên.

Khi đó, (x - 6) chia hết cho 5 hay (x - 6) là bội của 5 hay x - 6 = 5k (với k là số nguyên).

Suy ra x = 6 + 5k (k là số nguyên).

Theo đầu bài, x là số tự nhiên nhỏ hơn 27 nên 0 < 6 + 5k < 27 (*).

Do k là số nguyên nên ta có:

⦁ Với k = 0 ta có 6 + 5k = 6 + 5.0 = 6 (thỏa mãn);

⦁ Với k = 1 ta có 6 + 5k = 6 + 5.1 = 11 (thỏa mãn);

⦁ Với k = -1 ta có 6 + 5k = 6 + 5.(-1) = 1 (thỏa mãn);

⦁ Với k = 2 ta có 6 + 5k = 6 + 5.2 = 16 (thỏa mãn);

⦁ Với k = -2 ta có 6 + 5k = 6 + 5.(-2) = -4 (thỏa mãn);

⦁ Với k = 3 ta có 6 + 5k = 6 + 5.3 = 21 (thỏa mãn);

⦁ Với k = -3 ta có 6 + 5k = 6 + 5.(-3) = -9 (không thỏa mãn);

⦁ Với k = 4 ta có 6 + 5k = 6 + 5.4 = 26 (thỏa mãn);

⦁ Với k = -4 ta có 6 + 5k = 6 + 5.(-4) = -14 (không thỏa mãn);

⦁ Với k = 5 ta có 6 + 5k = 6 + 5.5 = 31 (không thỏa mãn);

...

Do đó k ∈ {-1; 0; 1; 2; 3; 4} thỏa mãn (*).

Vậy có 6 số x thỏa mãn yêu cầu bài toán.