Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức tổng quát lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Thay lần lượt n = 1, 2, 3, 4, 5 vào công thức tổng quát của dãy số, ta được:

u$_{1}$ = 2 × 1 - 1 = 1; u$_{2}$ = 2 × 2 - 1 = 3; u$_{3}$ = 2 × 3 - 1 = 5; u$_{4}$ = 2 × 4 - 1 = 7;

u$_{5}$ = 2 × 5 - 1 = 9.

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là 1; 3; 5; 7; 9.

Đáp án đúng là: A

Để tìm số hạng thứ 4 của dãy số, ta thay n = 4 vào công thức tổng quát:

u$_{4}$ = $\frac{{4 + 1}}{{2 \cdot 4 + 1}}$ = $\frac{5}{9}$.

Đáp án đúng là: B

Thay n = 5 vào công thức tổng quát của dãy số, ta được:

u$^{5}$ = (-1)$^{5}$ × 2$^{5}$ = (-1) × 32 = -32.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình n$^{2}$ - 4n + 3 = 8 ⇔ n$^{2}$ - 4n - 5 = 0 ⇔ n = 5 (thỏa mãn n ∈ ℕ*) hoặc n = $- 1$ (loại). Vậy số 8 là số hạng thứ 5 của dãy số.

Đáp án đúng là: B

Thay n = 3 vào công thức tổng quát của dãy số, ta được:

u$_{3}$ = $\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos (3\pi )$ = (-1) + (-1) = -2.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có u$_{1}$ = $\frac{{2.1 - 1}}{{1 + 1}}$ = $\frac{1}{2}$.

b) Đúng. Ta có u$_{2}$ = $\frac{{2.2 - 1}}{{2 + 1}}$ = $\frac{3}{3}$ = 1.

c) Đúng. Xét phương trình $\frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$ = $\frac{3}{2}$ ⇔ 2(2n - 1) = 3(n + 1)

⇔ 4n - 2 = 3n + 3

⇔ n = 5 (thỏa mãn n ∈ ℕ*). Do đó, số $\frac{3}{2}$ chính là số hạng thứ 5 của dãy số.

d) Sai. Ta có số hạng thứ 10 của dãy số là u$_{10}$ = $\frac{{2.10 - 1}}{{10 + 1}}$ = $\frac{{19}}{{11}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: u$_{1}$ = 3$^{1}$ - 2 = 1; u$_{2}$ = 3$^{2}$ - 2 = 7; u$_{3}$ = 3$^{3}$ - 2 = 25.

b) Sai. Số hạng thứ tư của dãy phải là u$_{4}$ = 3$^{4}$ - 2 = 81 - 1 = 79.

c) Đúng. Theo Bài b, ta có u$_{4}$ = 79 nên số 79 là số hạng thứ 4.

d) Đúng. Ta có u$_{3}$ - u$_{2}$ = 25 - 7 = 18.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có u$_{1}$ = $\sqrt {{1^2} + 3}$ = $\sqrt 4$ = 2 là một số nguyên.

b) Đúng. Ta có u$_{2}$ = $\sqrt {{2^2} + 3}$ = $\sqrt 7$.

c) Sai. Xét phương trình $\sqrt {{n^2} + 3}$ = 5 ⇔ n$^{2}$ + 3 = 25 ⇔ n$^{2}$ = 22, phương trình này không có nghiệm nguyên dương thỏa mãn. Do đó số 5 không phải là một số hạng của dãy số.

d) Đúng. Vì u$_{1}$ = 2 = $\sqrt 4$ và u$_{2}$ = $\sqrt 7$, rõ ràng $\sqrt 4 < \sqrt 7$ nên u$_{1}$ < u$_{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do chỉ số n chạy từ 1, các số hạng mang chỉ số lẻ sẽ có giá trị (u$_{1}$ = -1, u$_{3}$ = $- \frac{1}{3}$) và các số hạng mang chỉ số chẵn sẽ có giá trị dương (u$_{2}$ = $\frac{1}{2}$, u$_{4}$ = $\frac{1}{4}$).

b) Sai. Ta có u$_{3}$ = $\frac{{{{( - 1)}^3}}}{3}$ = $- \frac{1}{3}$.

c) Đúng. Ta có u$_{1}$ = -1 và u$_{2}$ = $\frac{1}{2}$, tổng của chúng là u$_{1}$ + u$_{2}$ = $- 1 + \frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$.

d) Đúng. Ta có u$_{100}$ = $\frac{{{{( - 1)}^{100}}}}{{100}}$ = $\frac{1}{{100}}$ > 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có u$_{5}$ = 2 × 5$^{2}$ - 1 = 49.

b) Đúng. Ta có u$_{3}$ = 2 × 3$^{2}$ - 1 = 17.

c) Đúng. Ta có: u$_{n+1}$ - u$_{n}$ = [2(n + 1)$^{2}$ - 1] - [2n$^{2}$ - 1] = 2(n$^{2}$ + 2n + 1) - 2n$^{2}$ = 4n + 2.

d) Sai. Số hạng thứ 4 của dãy số phải là u$_{4}$ = 2 × 4$^{2}$ - 1 = 31.

Đáp án: 35.

Thay n = 10 vào công thức tổng quát của dãy số, ta được: u$_{10}$ = 3 × 10 + 5 = 35.

Đáp án: 110.

Thay n = 5 vào công thức tổng quát của dãy số, ta được:

u$_{5}$ = 5$^{3}$ - 3 × 5 = 125 - 15 = 110 .

Đáp án: 7

Xét phương trình: 2$^{n}$ = 128 ⇔ 2$^{n}$ = 2$^{7}$ ⇔ n = 7 (thỏa mãn n ∈ ℕ*).

Vậy số 128 là số hạng thứ 7 của dãy số.

Đáp án: 20.

Ta tính ba số hạng đầu tiên của dãy số:

u$_{1}$ = 1$^{2}$ + 1 = 2; u$_{2}$ = 2$^{2}$ + 2 = 6; u$_{3}$ = 3$^{2}$ + 3 = 12.

Tổng của 3 số hạng đầu tiên là: S = u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ = 2 + 6 + 12 = 20.

Đáp án: 3.

Xét phương trình:

$\frac{{{n^2} - n + 2}}{{n + 1}}$ = 2 ⇔ n$^{2}$ - n + 2 = 2(n + 1) ⇔ n$^{2}$ - 3n = 0 ⇔ n = 3 (thoả mãn n ∈ N*) hoặc n = 0 (loại).

Vậy số 2 là số hạng thứ 3 của dãy số.