Bài tập Tích vô hướng và ứng dụng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{4}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}$.

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{m^2} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = - 1$.

</>

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} .\sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( { - 3;4;3} \right)$.

Do đó $\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1.\left( { - 3} \right) + 2.4 + 3.3 = 14$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 2;2} \right)$.

Ta có AM BC $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0$

(x – 1).(−3) + 1.(−2) + (−2).2 = 0 x – 1 = −2 x = −1.

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của I trên trục Ox. Khi đó H(2; 0; 0).

Khi đó khoảng cách từ I đến trục Ox bằng IH $= \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = 5$.

A. Bài 9. Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ có tọa độ là

A. (0; −9; 9);

B. (0; 6; 9);

C. (0; 9; −9);

D. (0; 6; −9).

Đáp án đúng là: D

B. Gọi I là trung điểm của BC.

C. Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = \left( {0;6; - 9} \right)$.

D. Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;m + 1; - 1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {1; - 3;2} \right)$. Với giá trị nào của m sau đây thì $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3$?

A. 4;

B. 0;

C. 2;

D. −3.

Đáp án đúng là: B

A. Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( {m + 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).2 = - 3\left( {m + 1} \right)$.

B. Để $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3$$\Leftrightarrow 3\left| {m + 1} \right| = 3$$\Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}=(0;6;-9)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+(m+1).(-3)+(-1).2=-3(m+1)$.

Để $|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|=3$$\Leftrightarrow 3|m+1|=3$$\Leftrightarrow |m+1|=1$$\Leftrightarrow [\begin{matrix}m+1=1 \\ m+1=-1\end{matrix}$$\Leftrightarrow [\begin{matrix}m=0 \\ m=-2\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 6$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k$ ⇒ $\overrightarrow u = \left( {1;3;2} \right)$.

Do đó: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 3 = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 1;5} \right)$.

Nên $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b = - 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 11$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1$ ⇔ 3 – m = 1 ⇔ m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2}}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow b = \left( { - 4; - 2;6} \right)$

$- 2\overrightarrow a = \left( { - 4; - 2;6} \right)$.

Nên $\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a$

b) Sai. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 2 \cdot \left( { - 4} \right) + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 6 = - 28$ .

c) Đúng. Ta có: $\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a$

⇒ $\overrightarrow a$ ngược hướng với $\overrightarrow b$.

d) Đúng. $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}} = 2\sqrt {14}$; $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = 3$.

b) Đúng. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 1 - 2 - 3 = - 4$.

c) Đúng. $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 16} = 5$.

d) Sai. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot 1 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) = - 4 \ne 0$

Do đó $\overrightarrow a$ không vuông góc với $\overrightarrow b$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 17$.

b) Sai. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26}$.

c) Đúng. $\overrightarrow {{b^2}} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {2^2} + {3^2} = 14$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow c = \left( {x;y;z} \right)$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;3;4} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( { - 1;2;3} \right)$ nên:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow c \cdot \overrightarrow b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1x + 3y + 4z = 0}\\{ - 1x + 2y + 3z = 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 3y + 4z = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 3y + 4 \cdot \frac{{ - 5}}{7}y = 0}\\{z = \frac{{ - 5}}{7}y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{7x + y = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2$.

b) Đúng. $\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3$.

c) Sai. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|}} = 0$.

d) Sai. $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 2$ nên $\overrightarrow b$ không vuông góc với $\overrightarrow c$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$.

b) Sai. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4{m^2} + 9}$ ⇔ 5m$^{2}$ – 2m – 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc $m = \frac{{ - 3}}{5}$.

c) Đúng. Khi m = 1 thì $\overrightarrow v = \left( {0;2;3} \right)$. Suy ra $\overrightarrow u = \overrightarrow v$.

d) Sai. $\overrightarrow u \bot \overrightarrow v$ ⇔ 4m + 9 = 0 ⇔ m = $\frac{{ - 9}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 29

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + \frac{1}{4}}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 5\sqrt 6 }}{{18}}$.

Vậy m + n + p = 5 + 6 + 18 = 29.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 90

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2 \cdot 6 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot \left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {0^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0$.

Vậy $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có: $\overrightarrow u \bot \overrightarrow b$, $\overrightarrow u \bot \overrightarrow a$, $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow c = - 6$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow b = 0}\\{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow c = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + 3y - z = 0}\\{x - 2y + 3z = 0}\\{2x - y + z = - 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 3}\\{y = 3}\\{z = 3}\end{array}} \right.$.

Vậy x + y + z = −3 + 3 + 3 =3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,76

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)$.

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }} \approx 0{,}76$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { - 3; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;1} \right)$.

Tam giác MNP vuông tại N khi

$\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {NP} = 0$ ⇔ −6 −2(m – 2) + 2 = 0 ⇔ m – 2 = −2 ⇔ m = 0.

Vậy với m = 0 thì tam giác MNP vuông tại N.