Bài tập Tích phân của các hàm số cơ bản lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} = \left. {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^1 = \frac{5}{{\ln 5}} - \frac{1}{{\ln 5}} = \frac{4}{{\ln 5}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}dx} = \left. {\ln \left| {x + 2} \right|} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2$.

Đáp án đúng là: C

$\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x}}} \right|_0^1 = \frac{{{e^3} - 1}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {4 - \sin x} \right)dx = \left. {\left( {4x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} = 2\pi - 1$.

Suy ra a = 2; b = −1. Vậy a + b = 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right)dx} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $I = \int\limits_1^e {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^e = \frac{1}{e}$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left. {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{e}{2}}}} \right)} \right|} } _0^1 = \frac{{\frac{e}{2} - 1}}{{1 - \ln 2}}$. Suy ra a = 2; b = −1.

Do đó a + b = 1.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {3\left( {\tan x - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = 3\sqrt 3 - 3 - \frac{\pi }{4}}$.

Do đó P = a + b + c = −4.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx = }$$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$$= \left. {\left( {\tan x - \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Do đó $P = \frac{{2 - 2.3}}{3} = - \frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_{ - 4}^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 4}^2 = - \frac{{22}}{3} + \frac{{400}}{3} = 126$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta tìm nguyên hàm của hàm đa thức 3x$^{2}$ + 10x + 3 là x$^{3}$ + 5x$^{2}$ + 3x.

Khi đó, $I={\int }_{0}^{1}(3{x}^{2}+10x+3)dx={({x}^{3}+5{x}^{2}+3x)|}_{0}^{1}$= (1$^{3}$ + 5·1$^{2}$ + 3·1) − 0 = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$I={\int }_{0}^{1}{6}^{x}dx={\frac{{6}^{x}}{\ln 6}|}_{0}^{1}=\frac{{6}^{1}}{\ln 6}-\frac{{6}^{0}}{\ln 6}=\frac{6}{\ln 6}-\frac{1}{\ln 6}=\frac{5}{\ln 6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$I = \int_1^e {\left( {\frac{1}{x} + 1} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + x} \right)} \right|_1^e = 1 + e - 1 = e$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$$I = \int_0^1 {{e^{4x}}} dx = \left. {\left( {\frac{1}{4}{e^{4x}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{4}{e^4} - \frac{1}{4}{e^0} = \frac{{{e^4} - 1}}{4}$$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta tìm nguyên hàm của hàm số 4x2 − 7x − 2 là $\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x$.

Khi đó,

$$I = \int_0^2 {\left( {4{x^2} - 7x - 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - \frac{{7{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_0^2 = \left( {\frac{{4 \cdot 8}}{3} - \frac{{7 \cdot 4}}{2} - 2 \cdot 2} \right) - 0 = - \frac{{22}}{3}$$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đây là tính chất hiệu của hai tích phân.

b) Đúng. Hằng số k có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.

c) Sai. Theo tính chất, khi đổi cận thì tích phân đổi dấu: $\int_a^b f (x)dx = - \int_b^a f (x)dx$.

d) Đúng. Giá trị tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số f(x) = $\frac{1}{{x + 2}}$ xác định khi x ≠ −2. Do đó hàm số hoàn toàn xác định và liên tục trên đoạn [0; 1].

b) Đúng. Vì x thuộc [0; 1] nên x + 2 > 0. Nguyên hàm của hàm số là ln|x + 2| = ln(x + 2).

c) Đúng. Ta có

$\int_0^1 {\frac{2}{{x + 2}}} dx = 2\int_0^1 {\frac{1}{{x + 2}}} dx = \left. {2\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 = 2\left( {\ln 3 - \ln 2} \right) = 2\ln \left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \left( {\frac{9}{4}} \right)$.

d) Sai. Giá trị của I là $I = \left. {\ln (x + 2)} \right|_0^1 = \ln 3 - \ln 2$, không phải là ln3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\int_0^\pi {\sin x} dx = \left. { - \cos x} \right|_0^\pi = - \cos \pi - \left( { - \cos 0} \right) = - \left( { - 1} \right) + 1 = 2$.

b) Sai. Nguyên hàm của cos x là sin x.

c) Đúng. $\int_0^\pi {\cos x} dx = \left. {\sin x} \right|_0^\pi = \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0$.

d) Đúng. $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \tan \frac{\pi }{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đoạn [1; e] không chứa điểm gián đoạn x = 0.

b) Đúng. Ta có $\int {\frac{2}{x}} dx = 2\ln \left| x \right| + C$. Với x > 0 thì 2ln|x| = 2ln x.

c) Đúng. $I = \left. {2\ln x} \right|_1^e = 2\ln e - 2\ln 1 = 2 \cdot 1 - 0 = 2$.

d) Sai. Hàm số không liên tục trên đoạn [−1; 1] do gián đoạn tại x = 0, nên tích phân này không xác định.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Đây là tính chất tổng của hai tích phân.

b) Sai. $\int_0^1 {{e^x}} dx = \left. {{e^x}} \right|_0^1 = {e^1} - {e^0} = e - 1$.

c) Đúng. $\int_0^1 {{2^x}} dx = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^1 = \frac{2}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{1}{{\ln 2}}$.

d) Đúng. Kết hợp kết quả từ câu b và c ta được I = $e - 1 + \frac{1}{{\ln 2}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

$I = \int_0^2 3 {x^2}dx = \left. {{x^3}} \right|_0^2 = {2^3} - {0^3} = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Nguyên hàm của hàm số lượng giác sinx là −cosx.

Áp dụng định nghĩa tích phân, ta có: $I = \left. { - \cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = - \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - \cos 0} \right) = \;0 - \left( { - 1} \right) = 1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Ta có: $\int_1^2 {\left( {4{x^3} - 2x + 1} \right)} dx = \left. {\left( {{x^4} - {x^2} + x} \right)} \right|_1^2 = 14 - 1 = 13$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,7

Ta có: $I = \int_0^1 {{e^x}} dx = \left. {{e^x}} \right|_0^1 = {e^1} - {e^0} = e - 1 \approx 2{,}718 - 1 = 1{,}718$.

Làm tròn số thập phân này đến hàng phần mười ta thu được kết quả là 1,7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,5

Ta có: $I = \int_1^4 {\left( {x - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2\sqrt x } \right)} \right|_1^4 = 5{,}5$.