Bài tập Thể tích lăng trụ, khối hộp lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác đều cạnh a là $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Chiều cao của lăng trụ h = AA' = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ là ${V_{ABC.A'B'C'}} = S.h = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy thể tích khối lăng trụ ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15} .$

Đáp án đúng là: A

Đặt cạnh của hình lập phương là x (x > 0).

Khi đó, ta có AA' = x; A'C' = $x\sqrt 2$.

Xét ∆AA'C' vuông tại A', có $AC' = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{{C'}^2}} = x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a$.

Vậy thể tích của hình lập phương là: V = a$^{3}$.

Đáp án đúng là: A

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 10\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\\{S_{ABB'A'}} = 20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\\{S_{ADD'A'}} = 32\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AD = 10\\AB.AA' = 20\\AA'.AD = 32\end{array} \right..$

Nhân vế theo vế, ta được (AA'.AB.AD)$^{2}$ = 6400 ⇒ AA'.AB.AD = 80 cm$^{3}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'.

Tam giác ABC cân tại A ⇒ tam giác A'B'C' cân tại A' ⇒ A'M ⊥ B'C'.

Lại có B'C' ⊥ AA' (do AA' ⊥ (A'B'C')).

Từ đó suy ra B'C' ⊥ (AA'M) ⇒ B'C' ⊥ AM.

Do đó góc giữa mặt phẳng (AB'C') và mặt phẳng (A'B'C') là $\widehat {AMA'} = 60^\circ$.

Vì tam giác A'B'C' cân tại A', M là trung điểm của đoạn thẳng B'C' nên A'M ⊥ B'C' và $\widehat {B'A'M} = 60^\circ$.

Tam giác vuông A'B'M, có $A'M = A'B'.\cos \widehat {MA'B'} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}.$

Tam giác vuông AA'M, có $AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{a}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{8}.$

Đáp án đúng là: B

Vì H là trung điểm của AB nên $AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$.

Theo giả thiết, ta có A'H ⊥ (ABCD) ⇒ A'H ⊥ AB.

Tam giác vuông A'HA, có $A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Diện tích hình vuông S$_{ABCD}$ = a$^{2}$.

Vậy ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có A'O ⊥ (ABC).

Diện tích tam giác đều ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$. Chiều cao khối lăng trụ A'O = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ $V = {S_{\Delta ABC}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.$

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm BC.

Vì ∆ABC vuông tại A nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Từ A'A = A'B = A'C = a, suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra A'I ⊥ (ABC).

Tam giác ABC, có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Tam giác vuông A'IB, có $A'I = \sqrt {A'{B^2} - B{I^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Diện tích tam giác ABC là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'I = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có thể tích khối chóp ${V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}.$

Suy ra ${V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.$

Đáp án đúng là: C

Gọi S là diện tích mặt đáy ABCD và h là chiều cao khối hộp.

Thể tích khối hộp V$_{ABCD.A'B'C'D'}$ = S.h = 12 cm$^{3}$.

Chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành khối tứ diện AB'CD' và $4$ khối chóp: A.A'B'D', C.B'C'D', B'.BAC, D'.DAC (như hình vẽ).

Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng $\frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h.$

Suy ra tổng thể tích 4 khối chóp bằng $V' = \frac{2}{3}Sh.$

Vậy thể tích khối tứ diện ${V_{AB'CD'}} = Sh - \frac{2}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.12 = 4{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.$

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = S.h.

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.

Đáp án đúng là: D

Ta có: V = S.h = 5.3 = 15.

Đáp án đúng là: C

Giả sử độ dài cạnh đáy bằng a

Ta có: V$_{1}$ = S$_{1}$.h = $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.h

Độ dài mỗi cạnh đáy của khối lăng trụ tăng lên hai lần thì thể tích khối lăng trụ là

V$_{2}$ = S$_{2}$.h = $\frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot h = {a^2}\sqrt 3 \cdot h$

Suy ra, $\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 \cdot h}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot h}}$ = 4.

Đáp án đúng là: C

Vì ABCD là hình bình hành nên S$_{ABCD}$ = AB.AD.sin$\widehat {BAD}$ = 20 (cm)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABCD)

Khi đó A′H là chiều cao của khối hộp.

Góc giữa AA′ và (ABCD) là $\widehat {AA'H} = 45^\circ$

Xét tam giác AA′H vuông tại H:

A′H = AA′.sin45° = $3\sqrt 2$(cm)

Thể tích khối hộp ABCD. A′B′C′D′ là:

V = S$_{ABCD}$. A′H = 20. $3\sqrt 2$= $60\sqrt 2$cm$^{3}$.

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Đúng.

a) Đúng. Thể tích khối lập phương có cạnh là a là: V = a$^{3}$.

b) Đúng. Nếu cạnh của khối lập phương tăng gấp đôi thì thể tích khối lập phương là:

V′ = (2a)$^{3}$ = 8a$^{3}$

Ta có: $\frac{{V'}}{V} = \frac{{8{a^3}}}{{{a^3}}} = 8$. Vậy nếu cạnh của khối lập phương tăng gấp đôi thì thể tích khối lập phương tăng gấp 8 lần.

c) Sai. Nếu cạnh của khối lập phương giảm một nửa thì thể tích khối lập phương là:

$V' = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = \frac{{{a^3}}}{8}$.

Ta có: $\frac{{V'}}{V} = \frac{{\frac{{{a^3}}}{8}}}{{{a^3}}} = \frac{1}{8}$. Vậy nếu cạnh của khối lập phương giảm một nửa thì thể tích khối lập phương giảm 8 lần.

d) Đúng. Hai khối lập phương có cạnh bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Sai.

a) Sai. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = S.h.

b) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với diện tích đáy khi chiều cao h không đổi.

c) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao h khi diện tích đáy không đổi.

d) Sai. Thể tích khối chóp bằng $\frac{1}{3}$ thể tích lăng trụ.

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Đúng.

a) Đúng. Thể tích V = 3.4.12 = 144 cm$^{3}$.

b) Đúng. Diện tích đáy của khối hộp là 3.4 = 12 cm$^{2}$.

c) Sai. Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tăng thêm 3⋅4⋅24 – 144 = 144 cm$^{3}$.

d) Đúng. Độ dài đường chéo d = $\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{12}^2}}$= 13 cm.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Sai.

a) Đúng. V = $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.2a = ${a^3}\sqrt 3$.

b) Sai. Thể tích khối chóp A′.ABC bằng $\frac{1}{3}$ thể tích khối lăng trụ ABC. A′B′C′.

c) Sai. Vì ABC. A′B′C′ là lăng trụ đứng nên AA′ vuông góc với đáy, do đó độ dài AA′ = 2a là chiều cao của lăng trụ.

d) Sai. Diện tích đáy ABC bằng$\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án: a) Sai.b) Sai.c) Đúng.d) Đúng.

a) Sai. Vì H là trung điểm của AB nên AH = $\frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$.

b) Sai. A′H = $\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}$.

c) Đúng. V = S$_{ABCD}$. A′H = a$^{2}$. $\frac{{a\sqrt 7 }}{2}$ = $\frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{2}$.

d) Đúng. V$_{A}$$_{′ABD}$ = $\frac{1}{3}$. S$_{ABD}$. A′H = $\frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 7 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 7 }}{{12}}$.

Đáp án: 240

V = 8⋅5⋅6 = 240.

Đáp án: 3,46

Ta có: ABA′B′ là hình vuông cạnh a có chu vi bằng 4a = 8 hay a = 2 = AB = AA′.

Tam giác ABC đều nên S$_{ABC}$ = $\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3$

Vậy thể tích khối lăng trụ là V = AA′. S$_{ABC}$= $2\sqrt 3$≈ 3,46.

Đáp án: 192

Gọi ba kích thước lần lượt là 2x, 3x, 4x.

Ta có: 2x + 3x + 4x = 18

Suy ra 9x = 18 hay x = 2

Vậy V = 4⋅6⋅8 = 192 cm$^{3}$.

Đáp án: 5184

AA′ = BB′ = CC′ = DD′ = 16 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 50 – 2⋅16 = 18 cm.

V$_{ABCD.A′B′C′D′}$= AB⋅AC⋅AD = 18⋅18⋅16 = 5184 cm$^{3}$.

Đáp án: 374

Giả sử đường cao là AH.

Vì cạnh bên AA′ tạo với đáy một góc 60° nên $\widehat {AA'H} = 60^\circ$

Xét tam giác vuông AA′H ta có: sin60° = $\frac{{AH}}{{AA'}}$

Do đó, AH = $6\sqrt 3$

Vậy thể tích lăng trụ là: V = 36⋅$6\sqrt 3$= $216\sqrt 3$≈ 374.