Bài tập Thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Vì AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ (6$^{2}$ + 8$^{2}$ = 10$^{2}$) nên ∆ABC vuông tại A.

Khi đó ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24$.

Do đó ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.4.24 = 32$.

Đáp án đúng là: B

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra SA ⊥ (ABCD). Do đó chiều cao khối chóp là $SA = a\sqrt {15}$.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là S$_{ABCD}$ = AB.BC = 2a$^{2}$.

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}.$

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB (do ∆SAB đều).

Do (SAB) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ (ABC).

Tam giác SAB là đều cạnh a nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác vuông ABC, có $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2$.

Diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của AB.

Tam giác SAB cân tại S và có I là trung điểm AB nên SI ⊥ AB.

Do (SAB) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AB nên SI ⊥ (ABCD).

Tam giác vuông SIA, có

$SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$.

Diện tích hình vuông ABCD là S$_{ABCD}$ = a$^{2}$.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.$

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ⊥ (ABC).

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì ∆ABC đều nên $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$$\, \Rightarrow \,\,AI = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Tam giác SAI vuông tại I, có

$$SI = \sqrt {S{A^2} - S{I^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.$$

Diện tích tam giác ABC là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SI = \frac{{\sqrt {11} \,{a^3}}}{{12}}.$

Đáp án đúng là: D

Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a $\Rightarrow \,\,{S_{\Delta ABC}} = {a^2}\sqrt 3$.

Thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.h \Rightarrow h = \frac{{3.{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}\sqrt 3 }} = a\sqrt 3 .$

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác vuông ABC, ta có $BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2\sqrt 6 a$.

Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD) là AB.

Do đó $\widehat {SBA} = 60^\circ$.

Tam giác vuông SAB, có $SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3$.

Diện tích hình chữ nhật ${S_{ABCD}} = AB.BC = 2\sqrt 6 {a^2}.$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = 2\sqrt 2 {a^3}.$

Đáp án đúng là: C

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SB \bot BC;{\rm{ }}AB \bot BC\end{array} \right.$ nên góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là $\widehat {SBA} = 60^\circ$

Tam giác vuông SAB, có $SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3$.

Diện tích hình chữ nhật ABCD là ${S_{ABCD}} = AB.AD = {a^2}\sqrt 3 .$

Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = {a^3}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có $V = \frac{1}{3}.6a.\left( {4{a^2} + \sqrt {4{a^2}.9{a^2}} + 9{a^2}} \right) = 38{a^3}$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích đáy lớn là: S = 16 (m$^{2}$).

Diện tích đáy bé là: S' = 9 (m$^{2}$).

Thể tích khối chóp cụt là: $S = \frac{1}{3}h.\left( {S + \sqrt {S.S'} + S'} \right) = \frac{1}{3}.5.\left( {16 + \sqrt {16.9} + 9} \right) = \frac{{185}}{3}$ (m$^{3}$).

Đáp án đúng là: B

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V = $\frac{1}{3}$.S.h.

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy nhỏ S′ và chiều cao h là$V = \frac{1}{3} \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right) \cdot h$.

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối chóp tam giác có ba cạnh bên đôi một vuông góc có độ dài lần lượt là a, b, c là $V = \frac{1}{3}abc$.

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm của cạnh AB

$\Rightarrow \,SH \bot AB$.

Mặt khác $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\, \Rightarrow \,SH \bot \left( {ABCD} \right)$

$SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$.

${S_{ABCD}} = {a^2}$.

Do đó: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {15} }}{2} \cdot {a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a nên ta có:

$${S_{ABC}} = \frac{{{{\left( {3a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}$$

Vì A′B′C′ là tam giác đều cạnh 2a nên ta có:

$${S_{A'B'C'}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3$$

Do đó:

$$\begin{array}{l}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {{S_{ABC}} + {S_{A'B'C'}} + \sqrt {{S_{ABC}} \cdot {S_{A'B'C'}}} } \right) \cdot 6a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\sqrt 3 + \sqrt {\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot {a^2}\sqrt 3 } } \right) \cdot 6a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{19{a^3}\sqrt 3 }}{2}\end{array}$$

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Đúng.

a) Sai. Hai đáy của khối chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng.

b) Đúng. Khối chóp cụt đều có hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.

c) Đúng. Khối chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau.

d) Đúng. Khối chóp cụt đều có hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng.

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Đúng.d) Sai.

a) Đúng. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V = $\frac{1}{3}$.S.h.

b) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với diện tích đáy khi chiều cao h không đổi.

c) Đúng. Thể tích tỉ lệ thuận với chiều cao h khi diện tích đáy không đổi.

d) Sai. Thể tích khối chóp bằng $\frac{1}{3}$ thể tích lăng trụ.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.

a) Đúng. Diện tích đáy lớn của hình chóp cụt là: 6$^{2}$ = 36 cm$^{2}$.

b) Sai. Thể tích khối chóp cụt đều là: $V = \frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 4 = 84$ cm$^{3}$.

c) Đúng. Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao lên 8cm thì thể tích của hình chóp cụt đều bằng $V' = \frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 8 = 168$ cm$^{3}$.

d) Sai. Nếu giữ nguyên hai đáy và tăng chiều cao thêm 2 cm thì thể tích tăng thêm $V' = \frac{1}{3} \cdot \left( {{6^2} + {3^2} + \sqrt {{6^2} \cdot {3^2}} } \right) \cdot 2 = 42$.

Đáp án: a) Đúng.b) Đúng.c) Sai.d) Sai.

a) Đúng. S$_{△}$$_{ABC}$ = $\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3$.

b) Đúng. V = $\frac{1}{3} \cdot 9\sqrt 3 \cdot 4 = 12\sqrt 3$.

c) Sai. Nếu chiều dài cạnh đáy tăng gấp đôi và chiều cao giữ nguyên thì thể tích khối chóp là: $V' = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{{12}^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 = \frac{{144\sqrt 3 }}{3}$.

Ta có: $\frac{{V'}}{V} = \frac{{\frac{{144\sqrt 3 }}{3}}}{{12\sqrt 3 }} = 4$. Vậy Nếu chiều dài cạnh đáy tăng gấp đôi và chiều cao giữ nguyên thì thể tích khối chóp tăng gấp 4.

d) Sai. Nếu cạnh đáy và chiều cao cùng tăng gấp đôi thì thể tích khối chóp là:

$V' = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{{12}^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot 8 = \frac{{288\sqrt 3 }}{3}$

Ta có: $\frac{{V'}}{V} = \frac{{\frac{{288\sqrt 3 }}{3}}}{{12\sqrt 3 }} = 8$

Vậy Nếu cạnh đáy và chiều cao cùng tăng gấp đôi thì thể tích khối chóp tăng gấp 8.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.

a) Đúng. Vì hai khối chóp có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích bằng $\frac{{24}}{{36}} = \frac{2}{3}$.

b) Sai. Vì 36 > 24 nên khối chóp S′.A′B′C′D′ có thể tích lớn hơn khối chóp S.ABCD.

c) Đúng. Vì chiều cao của hai khối vẫn bằng nhau nên nếutăng chiều cao hai khối chóp lên 5 cm thì tỉ số thể tích vẫn bằng $\frac{2}{3}$.

d) Sai. Nếu tăng gấp 3 diện tích đáy của cả hai khối chóp thì tỉ số thể tích không đổi.

Đáp án: 16

Ta có: V = $\frac{1}{3}$.S.h = $\frac{1}{3}$.8.6 = 16.

Đáp án: 32

Ta có: AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 6$^{2}$ + 8$^{2}$ = 10$^{2}$ = BC$^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Do đó diện tích tam giác ABC là: S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB.AC = $\frac{1}{2}$.6.8 = 24

Vậy V$_{S.ABC}$ = $\frac{1}{3}$. S$_{ABC}$.SA = $\frac{1}{3}$.4.24 = 32.

Đáp án: 117

Vì S′ = 9S nên ta có: $\frac{1}{3} \cdot \left( {S + 9S + \sqrt {9{S^2}} } \right) \cdot 3$= 10S + 3S = 13S

Do đó 13S = 169

Suy ra S = 13 cm$^{2}$

Vậy S′ = 9.13 = 117 cm$^{2}$.

Đáp án: 291

Ta có góc nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ là 135° nên góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

180° − 135° = 45°

Hiệu khoảng cách từ tâm đến cạnh của hai đáy là

$\frac{{14 - 10}}{2}$= 2 (m)

Suy ra chiều cao hình chóp cụt là:

h = 2.tan45° = 2 (m).

Diện tích hai đáy:

S$_{1}$= 14$^{2}$ = 196, S$_{2}$= 10$^{2}$ = 100

Thể tích hình chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left( {196 + 100 + \sqrt {196 \cdot 100} } \right) \cdot 2$≈ 291 m$^{3}$.

Đáp án: 1466

Có: V$_{S.ABCD}$= $\frac{1}{3}$.SA.S$_{ABCD}$ = $\frac{1}{3}$.30.20$^{2}$ = 4000 (cm$^{3}$)

Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, ta có BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ AB'.

Mà SB ⊥ AB' (do B' là hình chiếu của A lên SB), suy ra AB' ⊥ (SBC) suy ra AB' ⊥ SC.

Tương tự, ta có AD' ⊥ SC. Từ đó suy ra SC ⊥ (AB'D').

Vì C' là giao điểm của SC với mặt phẳng (AB'D') nên AC' ⊥ SC.

$$\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \frac{{{{30}^2}}}{{{{30}^2} + {{20}^2} + {{20}^2}}} = \frac{9}{{17}}$$

$$\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{D^2}}} = \frac{{{{30}^2}}}{{{{30}^2} + {{20}^2}}} = \frac{9}{{13}}$$

Ta có: $\frac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{2{V_{SAC'D'}}}}{{2{V_{SACD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}} \cdot \frac{{SC'}}{{SC}} \cdot \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SC'}}{{SC}} \cdot \frac{{SD'}}{{SD}}$

${V_{S.AB'C'D'}} = \frac{9}{{17}} \cdot \frac{9}{{13}} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{{81}}{{221}} \cdot 4000$≈ 1466 cm$^{3}$.