Bài tập Sử dụng tính chất lũy thừa để biến đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${a}^{\frac{2}{3}}.\sqrt{a}={a}^{\frac{2}{3}}.{a}^{\frac{1}{2}}={a}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}={a}^{\frac{7}{6}}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $Q=\sqrt[3]{{x}^{2}\sqrt{{x}^{3}}}={({x}^{2}.{x}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}={({x}^{2+\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}={({x}^{\frac{7}{2}})}^{\frac{1}{3}}={x}^{\frac{7}{2}.\frac{1}{3}}={x}^{\frac{7}{6}}.$

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0 ta có: $\sqrt{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[2\cdot 3]{x}=\sqrt[6]{x}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $N={a}^{\sqrt{3}}.{(\frac{1}{a})}^{\sqrt{3}-1}={a}^{\sqrt{3}}.{({a}^{-1})}^{\sqrt{3}-1}$$={a}^{\sqrt{3}}.{a}^{(-1).(\sqrt{3}-1)}$

$={a}^{\sqrt{3}}.{a}^{1-\sqrt{3}}={a}^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}=a.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{\sqrt[3]{{a}^{2}\sqrt{a}}}{{a}^{3}}=\frac{{({a}^{2}.{a}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{({a}^{2+\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{({a}^{\frac{5}{2}})}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{a}^{\frac{5}{2}.\frac{1}{3}}}{{a}^{3}}=\frac{{a}^{\frac{5}{6}}}{{a}^{3}}={a}^{\frac{5}{6}-3}={a}^{-\frac{13}{6}}.$

Mà $\frac{\sqrt[3]{{a}^{2}\sqrt{a}}}{{a}^{3}}={a}^{α}$ nên $α=-\frac{13}{6}$ ∈ (–3; –2).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A=\frac{\sqrt[3]{{a}^{8}}.{a}^{\frac{7}{3}}}{{a}^{5}.\sqrt[4]{{a}^{-3}}}=\frac{{a}^{\frac{8}{3}}.{a}^{\frac{7}{3}}}{{a}^{5}.{a}^{-\frac{3}{4}}}=\frac{{a}^{\frac{8}{3}+\frac{7}{3}}}{{a}^{5-\frac{3}{4}}}=\frac{{a}^{5}}{{a}^{\frac{17}{4}}}={a}^{5-\frac{17}{4}}={a}^{\frac{3}{4}}.$

Mà $A={a}^{\frac{m}{n}}$ , trong đó m, n ∈ ℕ$^{*}$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản.

Suy ra m = 3, n = 4 và m$^{2}$ + n$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2$^{x}$ + 2$^{–x}$ = m nên m$^{2}$ = (2$^{x}$ + 2$^{–x}$)$^{2}$ = 4$^{x}$ + 2 + 4$^{–x}$.

Suy ra 4$^{x}$ + 4$^{–x}$ = m$^{2}$ – 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $K=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+{b}^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}+{b}^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{1}{6}}+{b}^{\frac{1}{6}}}$

$=\frac{{a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}({b}^{\frac{1}{6}}+{a}^{\frac{1}{6}})}{{a}^{\frac{1}{6}}+{b}^{\frac{1}{6}}}={a}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{ab}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chuyển căn bậc ba về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta có $\sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}$.

Sử dụng tính chất nhân hai lũy thừa cùng cơ số: P = ${x^1} \cdot {x^{\frac{1}{3}}} = {x^{1 + \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{4}{3}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Rút gọn tử số: ${a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }} = {a^{\sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 }}$ = a$^{3}$.

Rút gọn mẫu số: ${\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)^{\sqrt 2 + 2}} = {a^{\left[ {\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)} \right]}} = {a^{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {2^2}}} = {a^{2 - 4}}$ = a$^{-2}$.

Thực hiện phép chia hai lũy thừa cùng cơ số: P = $\frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^{3 - \left( { - 2} \right)}}$ = a$^{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Thực hiện biến đổi từ trong ra ngoài, ta có:

$x \cdot \sqrt x = {x^1} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}$ ⇒ $\sqrt[3]{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{1}{2}}}$ ⇒ $x \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{2}}}$.

⇒ $\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} = {\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{3}{4}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chuyển lũy thừa số mũ hữu tỉ về dạng căn thức: ${a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a$ và ${b^{\frac{1}{2}}} = \sqrt b$.

Ta có: ${\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = a - 2\sqrt {ab} + b$.

⇒ K = $\left( {a - 2\sqrt {ab} + b} \right) + 2\sqrt {ab}$ = a + b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt nhân tử chung ở tử số: ${a^{\frac{4}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {{a^1} - 1} \right) = {a^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {a - 1} \right)$.

⇒ A = $\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}}}$ = a – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Theo quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta phải cộng các số mũ x$^{m}$ ∙ x$^{n}$ = x$^{m+n}$.

b) Đúng. Tính chất chia hai lũy thừa cùng cơ số.

c) Sai. Theo quy tắc lũy thừa của lũy thừa, ta phải nhân các số mũ: (x$^{m}$)$^{n}$ = x$^{mn}$

d) Đúng. Tính chất lũy thừa của một tích.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. $\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$.

b) Đúng. ${a^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{{\sqrt a }}$ với a > 0.

c) Đúng. $\sqrt[3]{{{a^2}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{4}}} = {a^{\left( {\frac{2}{3} + \frac{1}{4}} \right)}} = {a^{\left( {\frac{{11}}{{12}}} \right)}}$.

d) Đúng. $\sqrt {a\sqrt a } = \sqrt {a \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} = {\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{4}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. ${x^{\sqrt 2 }} \cdot {x^{\sqrt 8 }} = {x^{\sqrt 2 + \sqrt 8 }} = {x^{\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }} = {x^{3\sqrt 2 }}$.

b) Đúng. ${\left( {{x^{\sqrt 3 }}} \right)^{\sqrt 3 }} = {x^{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = {x^3}$.

c) Đúng. $\frac{{{y^{\sqrt 5 }}}}{{{y^{2\sqrt 5 }}}} = {y^{\sqrt 5 - 2\sqrt 5 }} = {y^{ - \sqrt 5 }}$.

d) Sai. Áp dụng tính chất lũy thừa của một tích, x$^{π}$ ∙ y$^{π}$ = (xy)$^{π}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đặt u = ${a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$ và v = ${b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$. Ta có:

$\frac{{{u^2} - {v^2}}}{{u - v}} = \frac{{\left( {u - v} \right)\left( {u + v} \right)}}{{u - v}} = u + v = {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + {b^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}$.

b) Đúng. Đặt X = ${a^{\frac{1}{3}}}$ và Y = ${b^{\frac{1}{3}}}$, vế trái có dạng hằng đẳng thức:

(X + Y)(X$^{2}$ - XY + Y$^{2}$) = X$^{3}$ + Y$^{3}$ = ${\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)^3} + {\left( {{b^{\frac{1}{3}}}} \right)^3}$ = a + b.

c) Sai. Ta có:

$\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}} = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}$.

d) Đúng. Ta có:

$\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) = {\left( {{a^{\frac{1}{4}}}} \right)^2} - {\left( {{b^{\frac{1}{4}}}} \right)^2} = {a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. $\frac{{{x^{\frac{5}{4}}} \cdot y + x \cdot {y^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}} + {y^{\frac{1}{4}}}}}$=$\frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{4}}} + {y^{\frac{1}{4}}}} \right)}}{{\left( {{x^{\frac{1}{4}}} + {y^{\frac{1}{4}}}} \right)}}$ = xy.

b) Đúng. B = ${\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} \cdot \left( {x + y + 2\sqrt {xy} } \right)$ = ${\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} \cdot {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}$

= ${\left[ {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}} \right)\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right]^2} = {\left( {x - y} \right)^2}$.

c) Sai. $\sqrt[3]{{x \cdot \sqrt {{x^5}} }}$ = $\sqrt[3]{{x \cdot {x^{\frac{5}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}} = {x^{\frac{7}{6}}}$.

d) Sai. Theo quy tắc chia lũy thừa: $\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{x^{\sqrt 3 - 1}}}} = {x^{\sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}$ = x$^{1}$ = x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 50

P = $\frac{{{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{\frac{7}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}} - {x^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{x^{ - \frac{1}{3}}} - {x^{\frac{5}{3}}}}}{{{x^{ - \frac{1}{3}}} + {x^{\frac{2}{3}}}}}$ = $\frac{{{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 - x} \right)}} - \frac{{{x^{ - \frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^{ - \frac{1}{3}}} \cdot \left( {1 + x} \right)}}$

= $\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - x}} - \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + x}} = \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{1 - x}} - \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}} = 1 + x - \left( {1 - x} \right)$ = 2x.

Với x = 25, ta có giá trị của biểu thức là: P = 2 ∙ 25 = 50.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 47

${x^{\frac{1}{2}}} + {x^{ - \frac{1}{2}}}$ = 3 ⇒ ${\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)^2} = {3^2}$ ⇒ ${x^1} + 2 \cdot {x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{ - \frac{1}{2}}} + {x^{ - 1}} = 9$

Do ${x^{\frac{1}{2}}} \cdot {x^{ - \frac{1}{2}}}$ = x$^{0}$ = 1, phương trình trở thành x + x$^{-1}$ + 2 = 9 ⇒ x + x$^{-1}$ = 7.

⇒ (x + x$^{-1}$)$^{2}$ = 7$^{2}$ ⇒ x$^{2}$ + 2 ∙ x ∙ x$^{-1}$ + x$^{-2}$ = 49

⇒ x$^{2}$ + 2 + x$^{-2}$ = 49 ⇒ x$^{2}$ + x$^{-2}$ = 47.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Biến đổi tử số về dạng số mũ hữu tỉ:

$\sqrt[3]{{{x^2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{5}{6}}}$.

Biến đổi mẫu số về dạng số mũ hữu tỉ:

$\sqrt[4]{{x \cdot \sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{4}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{1}{3}}}$.

Thực hiện phép chia hai lũy thừa cùng cơ số để thu gọn biểu thức K:

K = $\frac{{{x^{\frac{5}{6}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} = {x^{\left( {\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} \right)}} = {x^{\frac{1}{2}}}$.

⇒ a = 1 và b = 2.

Giá trị của tổng cần tìm là: S = 1 + 2 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Ta có: $\sqrt b = {b^{\frac{1}{2}}} = {b^{\frac{3}{6}}}$ và $\sqrt a = {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{6}}}$.

⇒ Tử số: ${a^{\frac{2}{6}}} \cdot {b^{\frac{3}{6}}} + {b^{\frac{2}{6}}} \cdot {a^{\frac{3}{6}}} = {a^{\frac{2}{6}}} \cdot {b^{\frac{2}{6}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)$.

Rút gọn phân thức: M = $\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} \cdot {b^{\frac{1}{3}}} \cdot \left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}} = \sqrt[3]{{ab}}$.

Thay giá trị a = 64 và b = 8 vào biểu thức đã rút gọn: M = $\sqrt[3]{{64 \cdot 8}} = \sqrt[3]{{512}}$ = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Ta có: ${x^{\frac{3}{2}}} - 1 = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} - {1^3} = \left( {{x^{\frac{1}{2}}} - 1} \right)\left( {x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)$.

${x^{\frac{3}{2}}} + 1 = {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} + {1^3} = \left( {{x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)\left( {x - {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)$.

⇒ A = $\left( {x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right) - \left( {x - {x^{\frac{1}{2}}} + 1} \right) = 2{x^{\frac{1}{2}}} = 2\sqrt x$.

Thay x = 9 vào biểu thức đã rút gọn ⇒ A = $2\sqrt 9$ = 2 ∙ 3 = 6.