Bài tập Sử dụng phép toán tổng, hiệu hai vectơ và tích của một vectơ với một số để chứng minh, phân tích các vectơ lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 4\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc hình bình hành).

Đáp án đúng là: C

Ta có :

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC}$

$= \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} } \right) + 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} } \right) = 2\overrightarrow {MN}$.

(vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0$).

Đáp án đúng là: D

Ta thấy $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $N$ là trung điểm BC thì G chính là trung điểm của MN. Do đó ta có:

$\overrightarrow {MG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)$.

Đáp án đúng là: D

Vì M, P lần lượt là trung điểm AB, CD $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AP} \end{array} \right.$.

Ta có $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AP} = - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$

$= - \frac{1}{2}\overrightarrow b + \frac{1}{2}\overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow d = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow c + \overrightarrow d - \overrightarrow b } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm B'C'. Vì G' là trọng tâm tam giác A'B'C' $\Rightarrow \overrightarrow {A'G'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I}$.

Mặt khác $\overrightarrow {AG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$.

Mặt khác O là trung điểm AC' $\Rightarrow \overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {DC}$.

Suy ra N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MN} = 2\left( {\overrightarrow {PN} - \overrightarrow {PM} } \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD}$$= \overrightarrow {AD} + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)$$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD.

Khi đó $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} ;\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO}$.

Khi đó $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC}$$= \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AC}$$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì BB'C'C là hình bình hành nên $\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AA'}$$= - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC}$$= - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right)$$= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$$= \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'}$

$= \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND}$

$= \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND}$$= 2\overrightarrow {MN}$.

c) Đúng. Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = 2\overrightarrow {IM}$.

Vì N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IN}$.

Mà I là trung điểm của MN nên $\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0$.

Khi đó $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) = \overrightarrow 0$.

d) Sai. Vì $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0$ nên $4\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0$.

Mà G là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$.

Do đó $4\overrightarrow {AI} + 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo quy tắc hình hộp thì $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

b) Sai. G là trọng tâm của tam giác AB'C nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

c) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'}$.

d) Sai. Ta có DBIG đồng dạng với DD'B'G nên

$\frac{{BG}}{{D'G}} = \frac{{BI}}{{D'B'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BG}}{{BD'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BD'} = 3\overrightarrow {BG} .$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Gọi M là trung điểm của B'C'.

Ta có $\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G}$$= \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'M}$$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AA'} } \right)$$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)$.

b) Sai. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)$$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$

$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$$= \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

c) Sai. Tương tự: $\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G}$$= \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)$$= \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right)$

$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)$$= \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)$.

d) Sai. $\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AB}$$= \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow b = \overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow c$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$$= \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$.

b) Sai. $\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$.

c) Đúng. $\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)$$= \overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {DA}$.

d) Sai. Theo câu a, $AI = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$$= \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BD}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng hướng nên chúng không bằng nhau.

b) Đúng. $\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB'}$.

Khi đó $\left| {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| = a\sqrt 2$.

c) Sai. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Khi đó $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C}$$= \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GC}$$= 3\overrightarrow {A'G}$.

d) Sai. $\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right|$.

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Xét tam giác AA'G, ta có $A'G = \sqrt {A{{A'}^2} + A{G^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {A'G} } \right| = 2a\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Có $\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {D'D} - \overrightarrow {B'D'}$$= \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {D'B'} = \overrightarrow {BB'}$.

Suy ra k = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C}$.

Mặt khác, G là trọng tâm tam giác AB'D' nên $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = 3\overrightarrow {A'G}$.

Do đó $\overrightarrow {A'C} = 3\overrightarrow {A'G}$. Suy ra k = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Có $\overrightarrow {BO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BH} } \right)$$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BF} } \right)$$= \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BF}$.

Suy ra $m = \frac{1}{2};n = 1;p = \frac{1}{2}$. Do đó m + n + p = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}$ (1); $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN}$ (2).

Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2), ta được

$3\overrightarrow {MN} = \left( {2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} } \right) + \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC} } \right) + \left( {2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right)$.

Do $\overrightarrow {MS} = - 2\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NC}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MS} = \overrightarrow 0 \\2\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$.

Suy ra $3\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SC}$. Do đó $\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {SC}$. Vậy a = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −108

Có $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CD}$. Suy ra $\overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC}$.

Có $\overrightarrow {A'D} = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {BD}$$= \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {AC}$ $= - \overrightarrow a - \overrightarrow b + 2\overrightarrow c$.

Suy ra m = −1; n = −1; p = 2.

Vậy T = 100p + 10m + n = −108.