Bài tập Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị hàm số ta thấy: hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x = 1.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1$ nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3$ nên đường thẳng y = 3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy tiệm cận xiên là: y = x + 1.

Đáp án đúng là: D

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta có

$\mathop {{\rm{lim }}}\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = + \infty$ và $\mathop {{\rm{lim }}}\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = - \infty {\rm{ }}$nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

$\mathop {{\rm{lim }}}\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1$ và $\mathop {{\rm{lim }}}\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1$ nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = f(x) có tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ Không tồn tại tiệm cận ngang khi x → +∞.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2$ vậy hàm số y = f(x) có tiệm cận ngang y = 2.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - 4.$

Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng x = 0.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 2.

Đáp án đúng là: D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3$ ta được tiệm cận ngang y = 3.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = + \infty$ ta được tiệm cận đứng x = −2.

Đáp án đúng là: D

Do$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1$ đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y = ±1.

Đáp án đúng là: C

Ta có :$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,y = 2$ nên hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty$ suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −2 và x = 2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 0.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x = 1 và x = −1 là tiệm cận đứng và y = 0 là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có x = 2 là tiệm cận đứng và y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Suy ra I(2; −1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường tiệm cận xiên y = ax + b của đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm (0; 1) và (−1; 0) nên có phương trình là y = x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 2$ nên y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty$ nên x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} y = - 9$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} y = 8$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

b) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

c) Sai. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

d) Sai. I(1; −1) là giao điểm của hai đường tiệm cận chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

b) Đúng. Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) Đúng. Đường tiệm cận xiện y = ax + b của đồ thị hàm số đi qua hai điểm (1; 0) và (0; −1) có dạng y = x – 1.

d) Sai. Theo đề ta có A(1; 0) và B(0; −1). Suy ra OA = 1; OB = 1.

Vậy ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - 1$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

b) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 3$ nên y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - 3$ nên y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Sai. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).

b) Đúng. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3$ nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5$ nên y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty$ nên x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Sai. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2$ nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 2$ nên y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.

c) Sai. Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2}$ nên $y = \frac{1}{2}$ và $y = - \frac{1}{2}$ là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}$.

d) Đúng. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ < −1 < x$_{2}$. Khi đó f(x$_{1}$) = f(x$_{2}$) = 0.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_2^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty$ nên x = x$_{1}$; x = x$_{2}$ là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}$.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}$ có tất cả 4 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Dựa vào đồ thị hàm số ta có tiệm cận xiên của đồ thị (C) đi qua hai điểm (0; −2) và (2; 0) có phương trình là y = x – 2.

Suy ra a = 1; b = −2.

Do đó 3a – 5b = 3‧1 – 5‧ (−2) = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Dựa vào đồ thị hàm số ta có x = 1 là tiệm cận đứng và y = x là tiệm cận xiên.

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Dựa vào đồ thị hàm số ta có x = 1 là tiệm cận đứng và y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Các đường tiệm cận của đồ thị tạo với các trục tọa độ hình chữ nhật OBIC có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 2 và 1.

Do đó diện tích hình chữ nhật OBIC là 2‧1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty$ nên x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

Do đó a = 2; b = 1. Vậy a + b = 2 + 1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ + }} y = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{3}{4}}^ - }} y = + \infty$ nên $x = \frac{3}{4}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra $a = \frac{3}{4}$.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \frac{1}{4}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{1}{4}$ nên $y = \frac{1}{4}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra b = 4.

Do đó $a \cdot b = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$.