Bài tập So sánh hai căn bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Với a < 0 suy ra −a > 0 nên $\sqrt { - a} < \sqrt { - 2a}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $5\sqrt 7 = \sqrt {25} .\sqrt 7 = \sqrt {25.7} = \sqrt {175} < \sqrt {196} = 14$.

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{\sqrt {111} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{111}}{3}} = \sqrt {37} > \sqrt {36} = 6$.

Vậy chọn A.

Đáp án đúng là: B

Có 6 = $\sqrt {36}$ < $\sqrt {41}$ nên 6 < $\sqrt {41}$.

Vậy chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

$\sqrt {{\rm{0{,}09}}{\rm{.64}}} = \sqrt {5{,}76} = 2{,}4$

$\sqrt {0{,}04.81} = \sqrt {3{,}24} = 1{,}8$.

Vì 2,4 > 1,8 nên $\sqrt {{\rm{0{,}09}}{\rm{.64}}}$ > $\sqrt {0{,}04.81}$.

Vậy chọn A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {6{,}4.5.0{,}5} = \sqrt {6{,}4.2{,}5} > \sqrt {2{,}5.0{,}4}$.

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 1$;

$\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 2$.

Vì $\sqrt 5 - 2$ < $\sqrt 5 - 1$ nên $\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } < \sqrt {9 - 4\sqrt 5 }$.

Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {5 - 6\sqrt 5 + 9} = \sqrt {5 - 2.3\sqrt 5 + 9} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5$;

$\sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 1$.

Nhận thấy 3 – $\sqrt 5$< 3 − $\sqrt 4$ hay 3 – $\sqrt 5$ < 1.

$\sqrt 5 - 1 > \sqrt 4 - 1$ hay $\sqrt 5 - 1 > 1$.

Suy ra $\sqrt 5 - 1 > 3 - \sqrt 5$.

Do đó, chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } = \sqrt {2 + \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} } = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$

$\sqrt {5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } } = \sqrt {5 - \sqrt {13 + 4\sqrt 3 } } = \sqrt {5 - \sqrt {12 + 2.2\sqrt 3 + 1} } = \sqrt {5 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} }$

$= \sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 1} = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 - 1$

Nhận thấy $\sqrt 2 + 1 > \sqrt 3 - 1$.

Do đó, $\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } {\rm{ > }}\sqrt {5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } }$.

Chọn A.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } = \sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }$

$= \sqrt {5 - 2\sqrt 3 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} = \sqrt {5 - 4\sqrt 3 + 2}$

$= \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2 - \sqrt 3$.

$\sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt {18 - 8\sqrt 2 } } = \sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }$ $= \sqrt {\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 4 - \sqrt 2 } = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt 3 + 1$.

Nhận thấy $2 - \sqrt 3 < 1 + \sqrt 3$.

Do đó, chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $a = \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}.$

b) Sai.

Vì $\frac{1}{2} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{4}}$.

Do $\frac{1}{4} < \frac{4}{5}$ nên $\sqrt {\frac{1}{4}} < \sqrt {\frac{4}{5}}$.

Vậy $\frac{1}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}}$.

c) Đúng.

Vì $\frac{1}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}}$ nên $2 + \frac{1}{2} < 2 + \sqrt {\frac{4}{5}}$ hay $\frac{5}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}} + 2$.

Vậy a < b.

d) Đúng.

Ta có: $a + b = \frac{5}{2} + 2 + \sqrt {\frac{4}{5}} = \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}}$.

Nhận thấy $5 = \frac{{10}}{2} = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} < \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}}$ $\left( {do\,\,\,\frac{1}{2} < \sqrt {\frac{4}{5}} } \right)$.

Suy ra $5 < \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}}$ hay 5 < a + b (1)

Ta có: $6 = \frac{{12}}{2} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{9}{4}} > \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}} \,\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {\frac{9}{4}} > \sqrt {\frac{4}{5}} } \right)$.

Suy ra $6 > \frac{9}{2} + \sqrt {\frac{4}{5}}$ hay 6 > a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 < a + b < 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có 23 > 16 nên $\sqrt {23} > \sqrt {16}$ hay $\sqrt {23} > 4$. Do đó $\sqrt {23} > a$.

b) Đúng.

Vì $\sqrt {23} > 4$ nên $\sqrt {23} - 1 > 4 - 1$ hay $\sqrt {23} - 1 > 3.$

c) Đúng.

Ta có $\sqrt {23} < \sqrt {25}$ nên $\sqrt {23} - 1 < \sqrt {25} - 1$.

d) Sai.

Ta có $\sqrt {23} - 1 < \sqrt {25} - 1$ hay $\sqrt {23} - 1 < 5 - 1$, do đó $\sqrt {23} - 1 < 4.$

Vậy a > b.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

$n = 3 + \frac{5}{3}$.

b) Sai.

Ta có: $\frac{5}{3} = \sqrt {\frac{{25}}{9}}$.

Nhận thấy $3 = \frac{{27}}{9} > \frac{{25}}{9}$ nên $\sqrt 3 > \sqrt {\frac{{25}}{9}}$ hay $\sqrt 3 > \frac{5}{3}$.

c) Sai.

Có $\sqrt 3 > \frac{5}{3}$ nên $3 + \sqrt 3 > 3 + \frac{5}{3}$ hay $3 + \sqrt 3 > \frac{{14}}{3}$.

Do đó, m > n.

d) Đúng.

Ta có: m + n = $3 + \frac{{14}}{3} + \sqrt 3 = \frac{{23}}{3} + \sqrt 3$.

Nhận thấy $\sqrt 3 > \frac{5}{3}$ nên $\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 > \frac{{23}}{3} + \frac{5}{3}$ hay $\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 > \frac{{28}}{3}$.

Suy ra $\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 > 9$.

Lại có $\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 < \frac{{23}}{3} + \sqrt 4$ hay $\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 < \frac{{23}}{3} + 2$.

Suy ra $\frac{{23}}{3} + \sqrt 3 < \frac{{29}}{3} < \frac{{30}}{3} = 10$

Do đó 9 < m + n < 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Có $3 = \sqrt 9$ suy ra $\sqrt 9 < \sqrt {10}$, do đó $\sqrt {10} > 3.$

b) Đúng.

Có $\sqrt {10} > 3$ nên $\sqrt {10} - 1 > 3 - 1$ hay $\sqrt {10} - 1 > 2$ hay b > 2.

Do đó, b > a.

c) Sai.

Có $\sqrt {16} > \sqrt {10}$ nên $\sqrt {16} - 1 > \sqrt {10} - 1$ hay $\sqrt {16} - 1 > b$.

d) Đúng.

Ta có: a + b = $\sqrt {10} + 1$.

Vì $\sqrt {10} > 3$ nên $\sqrt {10} + 1 > 4$.

Lại có $\sqrt {10} > \sqrt {16}$ nên $\sqrt {10} + 1 < \sqrt {16} + 1$ hay $\sqrt {10} + 1 < 4 + 1$ nên $\sqrt {10} + 1 < 5$.

Do đó, 4 < m + n < 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $\frac{9}{2} = 2 + \frac{5}{2}$.

b) Sai.

Ta có: $2{,}5 = \sqrt {{{2{,}5}^2}} = \sqrt {6{,}25}$.

Vì 6,25 < 7 nên $\sqrt {6{,}25} < \sqrt 7$ hay 2,5 < $\sqrt 7$.

c) Đúng.

Vì 2,5 < $\sqrt 7$ nên 2,5 + 2 < $\sqrt 7$ + 2 hay $\frac{9}{2} < \sqrt 7 + 2$.

Do đó, m > n.

d) Đúng.

Ta có: m + n = $\frac{{13}}{2} + \sqrt 7$.

Ta có: $\sqrt 7 < \sqrt 9$ nên $\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 < \sqrt 9 + \frac{{13}}{2}$ hay $\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 < \frac{{19}}{2} < \frac{{20}}{2}$.

Do đó, $\frac{{13}}{2} + \sqrt 7 < 10.$

Lại có: 2,5 < $\sqrt 7$ nên $2{,}5 + \frac{{13}}{2} < \frac{{13}}{2} + \sqrt 7$ hay $\frac{{18}}{2} < \frac{{13}}{2} + \sqrt 7$.

Do đó, $9 < \frac{{13}}{2} + \sqrt 7$.

Vậy 9 < m + n < 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 6

Nhận thấy $\sqrt {17} > \sqrt {16}$ hay $\sqrt {17} > 4$.

Do đó, $\sqrt {17} - 2 > 4 - 2$ hay $\sqrt {17} - 2 > 2$ (*)

Nhận thấy $\sqrt {17} < \sqrt {25}$ hay $\sqrt {17} < 5$.

Do đó, $\sqrt {17} - 2 < 5 - 2$ hay $\sqrt {17} - 2 < 3$ (**)

Từ (*) và (**) được $2 < \sqrt {17} - 2 < 3$.

Nhận thấy 2 và 3 là hai số nguyên liên tiếp, vì vậy m = 2 và n = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy A = m.n = 2.3 = 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2.

Xét (i) ta có: $5 = \frac{{25}}{5} > \frac{{24}}{5}$ nên $5 > \frac{{24}}{5}$ suy ra $\sqrt 5 > \sqrt {\frac{{24}}{5}}$.

Vậy (i) là khẳng định sai.

Xét (ii) ta có: $\sqrt {10} > \sqrt 9$ hay $\sqrt {10} > 3$.

Do đó, $\sqrt {10} + 1 > 3 + 1$ hay $\sqrt {10} + 1 > 4$.

Vậy khẳng định (ii) là đúng.

Xét (iii) ta có: $\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$.

Vì $\sqrt 3 + 1 > 1 + 1$ nên $\sqrt 3 + 1 > 2$.

Có $\sqrt 3 < \sqrt 4$ nên $\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1$ hay $\sqrt 3 + 1 < 2 + 1$ và $\sqrt 3 + 1 < 3$.

Do đó $3 > \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } > 2$.

Vậy khẳng định (iii) là đúng.

Vậy có hai khẳng định đúng là (ii) và (iii).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: $\sqrt {99} < \sqrt {100}$ hay $\sqrt {99} < 10$ và $\sqrt {144} < \sqrt {145}$ hay 12 < $\sqrt {145}$.

Do đó, ta có: $\sqrt {99} < 10 < 12 < \sqrt {145}$.

Vậy các số nguyên nằm giữa hai số $\sqrt {99}$ và $\sqrt {145}$ là: 10; 11; 12.

Vậy có ba số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Ta có: $144 < 161 < 169$ nên $\sqrt {144} < \sqrt {161} < \sqrt {169}$ hay $12 < \sqrt {161} < 13$

$256 < 259 < 289$ nên $\sqrt {256} < \sqrt {259} < \sqrt {289}$ hay $16 < \sqrt {259} < 17$.

Do đó, 12 < $\sqrt {161} < \sqrt {259} < 17$.

Suy ra, các số nằm giữa $\sqrt {161}$ và $\sqrt {259}$ là: 13; 14; 15; 16.

Vậy có bốn số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 306

Ta có: 289 < 291 < 324.

Do đó, $\sqrt {289} < \sqrt {291} < \sqrt {324}$ hay $17 < \sqrt {291} < 18$.

Suy ra m = 17 và n = 18.

Do đó, A = m.n = 17.18 = 306.