Bài tập So sánh các biểu thức chứa lũy thừa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất hai lũy thừa cùng cơ số ta có: 0 < a < 1, a$^{m}$ > a$^{n}$ ⇔ m < n.

Đáp án đúng là: C

Do ${a}^{\sqrt{3}}<{a}^{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ suy ra 0 < a < 1.

Vậy nếu ${a}^{\sqrt{3}}<{a}^{\sqrt{2}}$ thì 0 < a < 1.

Đáp án đúng là: A

Do $\sqrt{3}<\sqrt{5}$ và với a > 1 nên ${a}^{\sqrt{3}}<{a}^{\sqrt{5}}$ hay $\frac{1}{{a}^{\sqrt{3}}}>\frac{1}{{a}^{\sqrt{5}}}.$

Mà$\frac{1}{{a}^{\sqrt{3}}}={a}^{-\sqrt{3}}$nên ${a}^{-\sqrt{3}}>\frac{1}{{a}^{\sqrt{5}}}.$

Đáp án đúng là: D

Do 0 < 0,25π < 1 nên (0,25π)$^{α}$ > (0,25π)$^{β}$ ⇔ α < β.

Đáp án đúng là: B

Do $0<\sqrt{2}<\sqrt{3}$ nên ${(\sqrt{2})}^{a}>{(\sqrt{3})}^{a}\Leftrightarrow a<0.$

Đáp án đúng là: A

Do $-\frac{3}{2}<\frac{2}{3}$ nên ${a}^{-\frac{3}{2}}<{a}^{\frac{2}{3}}\Leftrightarrow a>1.$

Đáp án đúng là: C

Do $\frac{1}{10}>0$ nên để ${(2a-2)}^{\frac{1}{10}}<{(a+2)}^{\frac{1}{10}}$ thì 0 < 2a – 2 < a + 2 ⇔ 1 < a < 4.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$ và $-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$ nên $-2\sqrt{3}>-3\sqrt{2}.$

Để ${(m-1)}^{-2\sqrt{3}}>{(m-1)}^{-3\sqrt{2}}$ thì m – 1 > 1 ⇔ m > 2.

Vậy với m > 2 thì ${(m-1)}^{-2\sqrt{3}}>{(m-1)}^{-3\sqrt{2}}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số:

Với cơ số a = $\sqrt 2$ > 1, do m < n nên ${\left( {\sqrt 2 } \right)^m}$ < ${\left( {\sqrt 2 } \right)^n}$. (A đúng)

Với cơ số a = $\frac{1}{3}$ < 1, do m < n nên ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^m}$ > ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}$. (B đúng)

Với cơ số a = $\frac{\pi }{4}$ < 1 (vì π ≈ 3,14), do m < n nên ${\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^m}$ > ${\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n}$. (C sai)

Với cơ số a = $\sqrt 3$ - 1 < 1 (vì $\sqrt 3$ ≈ 1,732), do m < n nên ${\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^m}$ > ${\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^n}$. (D đúng)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\sqrt 3$ < $\sqrt 5$ mà ${a^{\sqrt 3 }}$ > ${a^{\sqrt 5 }}$. Suy ra 0 < a < 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có 0,25 = $\frac{1}{4}$. Tiến hành cụ thể giá trị của từng số được cho trong đề bài:

${\left( {0{,}25} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 1}} = {4^1} = 4$

${\left( {0{,}25} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0{,}5$

${\left( {0{,}25} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}} = 0{,}0625$

${\left( {0{,}25} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}} = {4^2} = 16$

So sánh các kết quả, ta có: 16 > 4 > 0,5 > 0,0625

⇒ (0,25)$^{-2}$là số lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y = ${4^{\sqrt 2 }}$ = ${\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt 2 }} = {2^{2\sqrt 2 }} = {2^{\sqrt 8 }}$.

Vì 5 < 8 ⇒ $\sqrt 5 < \sqrt 8$.

Mặt khác, cơ số 2 > 1 nên ${2^{\sqrt 5 }}$ < ${2^{\sqrt 8 }}$ ⇒ x < y.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất cơ bản của lũy thừa: Với hai số thực dương a, b và số mũ thực m > 0, ta luôn có a$^{m}$ < b$^{m}$ khi a < b.

Áp dụng tính chất trên với số mũ m = $\sqrt 2$ > 0, giả thiết đề bài cho ${a^{\sqrt 2 }}$ < ${b^{\sqrt 2 }}$ ⇒ a < b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do $\sqrt 5$ ≈ 2,236 nên a = $\sqrt 5 - 2$ ≈ 0,236 ⇒ 0 < a < 1.

b) Sai. Vì 0 < a < 1 và số mũ $\sqrt 2 < \sqrt 3$ nên ${a^{\sqrt 2 }}$ > ${a^{\sqrt 3 }}$.

c) Đúng. Vì 0 < a < 1 và số mũ -2 < -1 nên a$^{-2}$ > a$^{-1}$.

d) Sai. Vì 0 < a < 1 và 0,5 > 0 nên a$^{0{,}5}$ < a$^{0}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Cơ số $\frac{1}{2}$ < 1, số mũ $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{4}$ nên ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}}}$ < ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{4}}}$.

b) Sai. Cơ số $\frac{\pi }{3}$ > 1 (do π > 3), số mũ $\sqrt 2$ < $\sqrt 3$ nên ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\sqrt 2 }}$< ${\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{\sqrt 3 }}$.

c) Đúng. Cơ số $\sqrt 3$ > 1, số mũ -1,5 < -1,2 nên ${\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1{,}5}}$< ${\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 1{,}2}}$.

d) Đúng. ${27^{\sqrt 2 }} = {3^{3\sqrt 2 }} = {3^{\sqrt {18} }};{9^{\sqrt 3 }} = {3^{2\sqrt 3 }} = {3^{\sqrt {12} }}$.

Vì 18 > 12 nên $\sqrt {18}$ > $\sqrt {12}$, mà cơ số 3 > 1 nên ${3^{\sqrt {18} }}$ > ${3^{\sqrt {12} }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Từ a$^{π}$ > a$^{3}$ và π > 3 (cùng chiều) ⇒ a > 1.

b) Sai. Từ ${b^{\sqrt 2 }} < {b^{\sqrt 3 }}$ và $\sqrt 2$ < $\sqrt 3$ (cùng chiều) ⇒ b > 1.

c) Đúng. Vì a > 1 và $\sqrt 5$ > 2 nên ${a^{\sqrt 5 }}$ > a$^{2}$.

d) Sai. Vì b > 1 và -2 > -3 nên b$^{-2}$ > b$^{-3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Nhận xét: Cơ số của f(x) là u = $\sqrt 2 - 1$ < 1. Cơ số của g(x) là v = $\sqrt 2 + 1$ > 1.

Ta có u ∙ v = ($\sqrt 2 - 1$)($\sqrt 2 + 1$) = 2 – 1 = 1. Do đó v = u$^{-1}$.

a) Đúng. Vì 0 < u < 1 nên khi x > 0 ta có u$^{x}$ < u$^{0}$ = 1.

b) Đúng. Vì v > 1 nên khi x < 0 ta có v$^{x}$ < v$^{0}$ = 1.

c) Sai. Ta có g(-2) = v$^{-2}$ = (u$^{-1}$)$^{-2}$ = u$^{2}$ = f(2). Vậy f(2) = g(-2).

d) Đúng. f(x) ∙ g(x) = ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}$∙ ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x}$ = ${\left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} \right]^x}$ = 1$^{x}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do π > e, giả thiết cho: x$^{π}$ < x$^{e}$ ⇒ cơ số x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 1.

b) Đúng. Ta có $\sqrt 2 < \sqrt 3$, mà giả thiết cho ${\left( {x - 1} \right)^{\sqrt 2 }}$ > ${\left( {x - 1} \right)^{\sqrt 3 }}$ ⇒ 0 < x - 1 < 1.

⇒ 1 < x < 2.

c) Đúng. Ta có $- \sqrt 5 < - \sqrt 3$, mà giả thiết cho ${x^{ - \sqrt 5 }}$ < ${x^{ - \sqrt 3 }}$ ⇒ x > 1.

d) Sai. Nếu ${x^{\sqrt 2 }}$ = ${x^{\sqrt 3 }}$ thì $\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{x^{\sqrt 2 }}}}$ = 1 ⇒ ${x^{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$ = 1.

Vì số mũ $\sqrt 3 - \sqrt 2$ ≠ 0 ⇒ x = 1. Trái với điều kiện x ≠ 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -3

Ta có: $25 = \frac{1}{{0{,}04}} = \frac{1}{{{{0{,}2}^2}}} = {0{,}2^{ - 2}}$.

Điều kiện đã cho trở thành: (0,2)$^{x}$ > (0,2)$^{-2}$

Áp dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số (do 0 < 0,2 < 1), ta suy ra: x < -2.

Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn -2 là -3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có 2,5 = $\frac{5}{2}$. Và 0,4 = $\frac{2}{5}$ = ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{ - 1}}$.

Khi đó: ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}$ < ${\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{ - 1}}} \right]^{ - 3}}$ hay ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}$ < ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^3}$.

Áp dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số (do cơ số $\frac{5}{2}$ > 1), suy ra: n < 3.

Các số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện này là 0; 1 và 2.

Vậy có tất cả 3 số tự nhiên.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Ta có: 1 = 3$^{0}$.

⇒ ${3^{{x^2} - 4x}}$ ≤ 3$^{0}$.

Áp dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số (do cơ số 3 > 1), ta suy ra: x$^{2}$ – 4x ≤ 0

⇔ 0 ≤ x ≤ 4.

Vì x là số nguyên nên x thuộc tập hợp {0; 1; 2; 3; 4}.

Tất cả 5 giá trị này đều nằm trong đoạn [-5; 5].

Vậy có tất cả 5 số nguyên x thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có:

a = ${\left( {{3^{ - 1}}} \right)^{ - \sqrt 5 }} = {3^{\sqrt 5 }}$

b = ${3^{\sqrt 3 }}$

c = (3$^{-2}$)$^{-1}$ = 3$^{2}$

Vì $\sqrt 5 > 2$, $\sqrt 3 < 2$ ⇒ ${3^{\sqrt 3 }} < {3^2} < {3^{\sqrt 5 }}$. Mà 3$^{2}$ = 9

⇒ b < 9, c = 9, a > 9 ⇒ Chỉ có 1 biểu thức có giá trị lớn hơn 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đưa hai vế về cùng cơ số 2:

Vế trái: ${8^{\sqrt x }}$ = ${\left( {{2^3}} \right)^{\sqrt x }} = {2^{3\sqrt x }}$.

Vế phải: ${4^{\sqrt {x + 1} }}$ = ${\left( {{2^2}} \right)^{\sqrt {x + 1} }} = {2^{2\sqrt {x + 1} }}$.

Khi đó: ${2^{3\sqrt x }}$ > ${2^{2\sqrt {x + 1} }}$. Vì cơ số 2 > 1 nên: $3\sqrt x$ > $2\sqrt {x + 1}$.

Bình phương hai vế (do x là số dương nên hai vế đều dương): 9x > 4(x + 1)

Hay 9x > 4x + 4 ⇔ 5x > 4 ⇔ x > 0,8.

Số nguyên dương x nhỏ nhất lớn hơn 0,8 chính là 1.