Bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

H = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin $\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)$ + cot $\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)$

= 2cos x + 3cos x + 5sin $\left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)$ + cot $\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)$

= 5cos x + 5sin $\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)$ + cot $\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

= 5cos x – 5sin $\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ + tan x

= 5cos x – 5cos x + tan x

= tan x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

K = (1 – sin$^{2}$ x)cot$^{2}$ x + (1 – cot$^{2}$ x) = cot$^{2}$ x – sin$^{2}$ x.cot$^{2}$ x + 1 – cot$^{2}$ x

$=-{\sin }^{2}x.\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+1$ = – cos$^{2}$ x + 1 = sin$^{2}$ x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

M = cos $(α-\frac{π}{2})$ + sin (α – π) = cos $(\frac{π}{2}-α)$ – sin α = sin α – sin α = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }}$$= \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha c{\rm{os }}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1}}{{\frac{{{\rm{cos }}\alpha }}{{{\rm{sin }}\alpha }} - \sin \alpha \cos \alpha }}$

$= \frac{{ - 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha {\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cos \alpha }}$ $= \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha c{\rm{os }}\alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}}$ $= \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}$

= $- 2{\tan ^2}\alpha$.

Vậy a = – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Q = sin$^{4}$ x – cos$^{4}$ x + 2cos$^{2}$ x = (sin$^{2}$ x – cos$^{2}$ x)( sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x) + 2cos$^{2}$ x

= sin$^{2}$ x – cos$^{2}$ x + 2cos$^{2}$ x = sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan$^{2}$ x – sin$^{2}$ x = $\frac{{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x(\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-1)$

= sin$^{2}$ x(1 + tan$^{2}$ x – 1) = tan$^{2}$ x.sin$^{2}$ x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

L = sin$^{4}$ α – cos$^{4}$ α + 1 = (sin$^{2}$ α – cos$^{2}$ α)( sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α) + 1

= sin$^{2}$ α – cos$^{2}$ α + 1 = sin$^{2}$ α + (1 – cos$^{2}$ α)

= sin$^{2}$ α + sin$^{2}$ α = 2sin$^{2}$ α.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

T = $\frac{{\sin }^{3}α+c{\text{os}}^{3}α}{\sin α+c\text{os}α}$ = $\frac{(\sin α+c\text{os}α)({\sin }^{2}α-\sin α.\cos α+c{\text{os}}^{2}α)}{\sin α+c\text{os}α}$ = 1 – sin α.cos α.

Như vậy m = 1; n = – 1 ⇒ m + n = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có E = $\frac{1-2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x-1}$ = $\frac{{\sin }^{2}x+c{\text{os}}^{2}x-2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-c{\text{os}}^{2}x}$ = $\frac{{\text{cos}}^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x-{\sin }^{2}x}$ = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

· Mệnh đề A đúng:

Giả sử A, B, C là số đo 3 góc của tam giác ABC, khi đó ta có:

A + B + C = 180°

⇒ B = 180° – (A + C)

⇒ sin B = sin [180° – (A + C)] = sin (A + C).

· Mệnh đề B đúng:

Ta có: A + B = 180° – C

⇒ cos (A + B) = cos (180° – C) = – cos C.

· Mệnh đề D đúng:

Ta có: A + B + C = 180°

⇒ A + B + 3C = 180° + 2C

⇒ $\frac{A+B+3C}{2}$ = $\frac{180^{\circ}+2C}{2}=90^{\circ}+C$

⇒ sin$(\frac{A+B+3C}{2})$ = sin (90° + C)

⇒ sin $(\frac{A+B+3C}{2})$ = cos (– C) = cos C.

· Mệnh đề C sai:

Ta có A + B = 180° – C

⇒ A + B – C = 180° – 2C

⇒ cos (A + B – C) = cos (180° – 2C) = – cos 2C.

Đáp án đúng là: C

$P = \sin \left( {x + \pi } \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = - \sin x + \sin x = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny.

Đáp án đúng là: A

$A = \frac{{2\sin x\cos x + \sin x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \cos x}} = \frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}x + \cos x}} = \frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x$.

Đáp án đúng là: A

B = cosx + cos3x + cos5x + cos7x = (cos7x + cosx) + (cos5x + cos3x)

= 2cos4xcos3x + 2cos4xcosx = 2cos4x(cos3x + cosx) = 2cos4x(2cos2xcosx)

= 4cosxcos2xcos4x.

Đáp án đúng là: B

Q = sin$^{6}$x + cos$^{6}$x + 3sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)(sin$^{4}$x – sin$^{2}$xcos$^{2}$x + cos$^{4}$x) + 3sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= sin$^{4}$x – sin$^{2}$xcos$^{2}$x + cos$^{4}$x + 3sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= sin$^{4}$x + 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x + cos$^{4}$x

= (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ = 1.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. sin2x = 2sinxcosx.

b) Đúng. cos2x = 1 – 2sin$^{2}$x.

c) Sai. $\sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}$.

d) Đúng. $\cos x \cdot \cos y = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x - y} \right) + \cos \left( {x + y} \right)} \right]$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức $\cos A - \cos B = - 2\sin \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{{A - B}}{2}$.

b) Đúng. $M = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$$= - 2\sin \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x + \frac{\pi }{3}}}{2}\sin \frac{{x - \frac{\pi }{3} - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}$

$= - 2\sin x \cdot \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = 2\sin x\sin \frac{\pi }{3}$. Có chứa hằng số $\sin \frac{\pi }{3}$.

c) Đúng. Thay $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow M = 2\sin x \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \sin x$.

d) Sai. Tại $x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow M = \sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cdot 1 = \sqrt 3 \ne 0$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. cos3x + cosx $= 2\cos \frac{{3x + x}}{2}\cos \frac{{3x - x}}{2} = 2\cos 2x\cos x$.

b) Sai. 1 + cosx + cos2x + cos3x = 1 + cos2x + 2cos2xcosx = 2cos$^{2}$x + 2cos2xcosx

= 2cosx(cosx + cos2x).

c) Sai. $P = \frac{{2\cos x\left( {\cos x + \cos 2x} \right)}}{{\cos x + \cos 2x}} = 2\cos x$.

d) Đúng. Tại $x = \frac{\pi }{3}$ thì $P = 2\cos \frac{\pi }{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. sin$^{4}$x + cos$^{4}$x = (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x = $1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$.

b) Đúng. $N = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - {\sin ^2}2x$.

c) Sai. $N = 1 - {\sin ^2}2x = {\cos ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}$.

d) Đúng. $N = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny.

b) Đúng. sin(x + y) – sinxcosy = sinxcosy + cosxsiny – sinxcosy = cosxsiny.

c) Đúng. $F = \frac{{\sin \left( {x + y} \right) - \sin x\cos y}}{{\cos x\cos y}} = \frac{{\cos x\sin y}}{{\cos x\cos y}} = \tan y$.

d) Đúng. $F = \tan y$.

Đáp án: 1

B = sinxcos$^{3}$x – cosxsin$^{3}$x = sinxcosx(cos$^{2}$x – sin$^{2}$x) = sinxcosxcos2x

$= \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{4}\sin 4x$.

Suy ra $a = \frac{1}{4};b = 4$. Suy ra ab = 1.

Đáp án: 1

sin5x – 2sinx(cos4x + cos2x) = sin5x – 2sinx(2cos3xcosx) = sin5x – 4sinxcosxcos3x

= sin5x – 2sin2xcos3x = sin5x – sin(2x + 3x) – sin(2x – 3x)

= sin5x – sin5x – sin(−x) = sinx.

Suy ra k = 1.

Đáp án: 1,73

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác tanxtan(60° − x) tan(60° + x) = tan3x.

Khi đó P = tan20°tan40°tan80° = tan(320°) = tan60° $= \sqrt 3$≈ 1,73.

Đáp án: 1

sin$^{4}$x + cos$^{4}$x = (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ – 2sin$^{2}$xcos$^{2}$x = $1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$.

sin$^{6}$x + cos$^{6}$x = (cos$^{2}$x + sin$^{2}$x)$^{3}$ – 3sin$^{2}$xcos$^{2}$x(sin$^{2}$x + cos$^{2}$x) = $1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x$.

Khi đó E = 3(sin$^{4}$x + cos$^{4}$x) – 2(sin$^{6}$x + cos$^{6}$x) $= 3\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right) - 2\left( {1 - \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x} \right)$ = 1.

Đáp án: 2

$Q = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x \cdot \cos x}}$$= \frac{{1 + 2\sin x\cos x - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x \cdot \cos x}}$$= \frac{{2{{\sin }^2}x\cos x}}{{\cos x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}$$= \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x$.

Suy ra k = 2.