Bài tập Phương trình mũ lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

4$^{x}$ = 2 Û x = log$_{4}$2 Û $\text{x}=\frac{1}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{1}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

${7}^{\frac{\text{1}}{\text{x}}}=10$Û $\frac{\text{1}}{\text{x}}$ = log$_{7}$10 Û x = log$_{10}$7 = log7.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = log7.

Đáp án đúng là: D

Đưa vế phải về cơ số 4, ta có $\frac{4}{{16}^{\text{x}}}={4}^{1-\text{2x}}$ .

Từ đó phương trình trở thành 4$^{x-2}$ = 4$^{1-2x}$ ⇔ x – 2 = 1 – 2x ⇔ x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

Đáp án đúng là: B

Û x$^{2}$ – x + 4 = log$_{2}$16 Û x$^{2}$ – x + 4 = 4.

Tức x$^{2}$ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {0; 1}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

${3}^{{\text{x}}^{2}+5\text{x}-6}=1$Û x$^{2}$ + 5x – 6 = log$_{3}$1 Û x$^{2}$ + 5x – 6 = 0.

⇔ (x – 1)(x + 6) = 0

⇔ x = 1 hoặc x = – 6.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: D

Đưa vế trái về cơ số 5, ta có ${(\frac{1}{5})}^{4\text{x}+9}={5}^{\text{-4x}-9}$ .

Từ đó phương trình trở thành 5$^{-4x-9}$ = 5$^{x-2}$

⇔ – 4x – 9 = x – 2

⇔ $\text{x}=\frac{-7}{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{-7}{5}$ .

Đáp án đúng là: D

Đưa vế phải về cơ số 3, ta có 9$^{8}$ = 3$^{16}$.

Từ đó phương trình trở thành

⇔ x$^{2}$ + 8x = 16

⇔ $x=-4+4\sqrt{2}$ hoặc $x=-4-4\sqrt{2}$ .

Tổng các nghiệm của phương trình là −8.

Đáp án đúng là: A

Đưa vế phải về cơ số $\frac{1}{2}$ , ta có $1={(\frac{1}{2})}^{0}$ .

Từ đó phương trình trở thành ${(\frac{1}{2})}^{2{x}^{2}-7x+5}={(\frac{1}{2})}^{0}$

⇔ 2x$^{2}$ – 7x + 5 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = $\frac{5}{2}$ .

Khi đó tổng bình phương các nghiệm bằng ${1}^{2}+{(\frac{5}{2})}^{2}=\frac{29}{4}$ .

Đáp án đúng là: B

Đưa vế phải về cơ số 3, ta có 1 = 3$^{0}$.

Từ đó phương trình trở thành ⇔ x$^{2}$ – 4 = 0 ⇔ x = 2 và x = – 2.

Khi đó x$_{1}$ . x$_{2}$ = 2 . (– 2) = – 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3$^{x}$ = 81 ⇔ 3$^{x}$ = 3$^{4}$ ⇔ x = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2$^{x}$ = 7. Lấy logarit cơ số 2 cho hai vế, ta được:

log$_{2}$2$^{x}$ = log$_{2}$7 ⇔ x ⋅ log$_{2}$2 = log$_{2}$7 ⇔ x = log$_{2}$7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 9$^{x+1}$= 27$^{2x+1}$⇔ 3$^{2(x+1)}$ = 3$^{3(2x+1)}$

⇔ 3$^{2x+2}$= 3$^{6x+3}$⇔ 2x + 2 = 6x + 3

⇔ 2x – 6x = 3 – 2 ⇔ –4x = 1 ⇔ x = $- \frac{1}{4}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 4$^{2x–3}$= 5. Lấy logarit cơ số 4 cho hai vế, ta được:

log$_{4}$4$^{2x – 3}$= log$_{4}$5 ⇔ (2x – 3) ⋅ log$_{4}$4 = log$_{4}$5 ⇔ 2x – 3 = log$_{4}$5

⇔ 2x = 3 + log$_{4}$5 ⇔ 2x = 3 + ${\log _{{2^2}}}5$ ⇔ 2x = 3 + $\frac{1}{2}$log$_{2}$5

⇔ x = $\frac{3}{2}$ + $\frac{{\frac{1}{2}{{\log }_2}5}}{2}$ ⇔ x = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{4}$log$_{2}$5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: Đặt t = 3$^{x}$ (t > 0) ⇒ 9$^{x}$ = t$^{2}$

⇒ t$^{2}$ – 5t + 6 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.$ (thỏa mãn Điều kiện) ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{3^x} = 2\\{3^x} = 3\end{array} \right.$ ;

Lấy logarit cơ số 3 cho 2 vế của từng nghiệm, ta được:

$\left[ \begin{array}{l}{\log _3}{3^x} = {\log _3}2\\{\log _3}{3^x} = {\log _3}3\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = {\log _3}2\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {log$_{3}$2; 1}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: 3$^{x–2}$= 27 ⇔ 3$^{x–2}$= 3$^{3}$ ⇔ x – 2 = 3 ⇔ x = 3 + 2 ⇔ x = 5.

Vậy phương trình có đúng một nghiệm x = 5.

b) Sai. Ta có: 5$^{x–2}$= ${\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^2}$

⇔ 5$^{x–2}$= (5$^{–2}$)$^{2}$ ⇔ 5$^{x–2}$= 5$^{–4}$

⇔ x – 2 = –4 ⇒ x = –4 + 2 ⇒ x = –2.

Mà – 2 < 0 ⇒ Phương trình có nghiệm nhỏ hơn 0.

c) Sai. Ta có: 2$^{x–1}$= 8 ⇔ 2$^{x–1}$= 2$^{3}$ ⇔ x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

Lại có: x$^{2}$ – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)$^{2}$ = 0 ⇔ x = 3 ≠ 4.

Vậy phương trình 2$^{x–1}$= 8 không có chung tập nghiệm với phương trình x$^{2}$ – 6x + 9 = 0.

d) Sai. Ta có: 7$^{x+2}$– 40 ⋅ 7$^{x}$ = 9 ⇔ 7$^{2}$ ⋅ 7$^{x}$ – 40 ⋅ 7$^{x}$ = 9

⇔ 7$^{x}$ ⋅ (7$^{2}$ – 40) = 9 ⇔ 7$^{x}$ ⋅ (49 – 40) = 9

⇔ 9 ⋅ 7$^{x}$ = 9 ⇔ 7$^{x}$ = 1 ⇔ 7$^{x}$ = 7$^{0}$ ⇔ x = 0.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({x^2} + 2x + 5)$ = 5 ≠ 6.

Vậy khẳng định d) sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}$ = ${\left( {\frac{1}{{\frac{3}{2}}}} \right)^{x + 3}}$= ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - (x + 3)}}$ = ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}}$.

⇒ ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}}$= ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}$ ⇔ ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}}$ = ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}}$

⇔ x – 5 = – x – 3 ⇔ x + x = –3 + 5 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 > 0.

b) Đúng. Ba số a; 2; 3 = 1; 2; 3 tạo thành cấp số cộng với công sai d = 1.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5)$ = 1$^{2}$ + 2 ⋅ 1 + 5 = 8.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5)$ = 8.

d) Đúng. Ta có: x$^{2}$ + x + 1 = ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}$ + $\frac{3}{4}$ ≥ $\frac{3}{4}$ > 0

Do đó x$^{2}$ + x + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

⇒ Phương trình x$^{2}$ + x + 1 = 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: Điều kiện x > 0

Chia cả hai vế của phương trình cho 3$^{2log x}$> 0, ta được:

4${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2\log x}}$ – ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}$ – 18 = 0

Đặt ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}$ = t (t > 0) ⇒ 4t$^{2}$ – t – 18 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}t = \frac{9}{4}\\t = - 2\end{array} \right.$. Vì t > 0 ⇒ t = –2 loại.

Với t = $\frac{9}{4}$, ta có: ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}$ = $\frac{9}{4}$ = ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 2}}$⇔ log x = –2 ⇔ x = 10$^{–2}$ = 0,01.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất a = 10$^{–2}$ = 0,01.

⇒ (a – 10)$^{2}$ = 1 ⇒ (0,01 – 10)$^{2}$ = 99,8001 ≠ 1.

b) Đúng. Theo câu a), ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}$ = $\frac{9}{4}$ ⇔ x = 0,01 = a.

Do đó, a cũng là nghiệm của phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\log x}}$ = $\frac{9}{4}$.

c) Sai. Thay a = 0,01 vào vế trái, ta có:

0,01$^{2}$ + 0,01 + 1 = 1,0101 ≠ 2.

d) Sai. Theo câu a), a = 10$^{–2}$ ≠ 10$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: 2$^{x+1}$= 16 ⇔ 2$^{x+1}$= 2$^{4}$ ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 ≠ 2.

b) Đúng. Vì x = 3 ∈ ℤ nên nghiệm của phương trình là số nguyên.

c) Đúng. Theo câu a), phương trình có nghiệm x = 3. Mà 3 ∈ (1; 3]

⇒ Nghiệm của phương trình thuộc khoảng (1; 3].

d) Đúng. Thay a = 3 và biểu thức P, ta được:

P = 3$^{2}$ – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7

Vậy P = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: 9$^{x–1}$ = 27$^{2–x}$⇔ 3$^{2(x–1)}$= 3$^{3(2–x)}$

⇔ 3$^{2x–2}$= 3$^{6–3x}$ ⇔ 2x – 2 = 6 – 3x ⇔ 2x + 3x = 6 + 2 ⇔ 5x = 8 ⇔ x = $\frac{8}{5}$ = a.

b) Sai. Thay a = $\frac{8}{5}$, ta có: 5 ⋅ $\frac{8}{5}$ – 1 = 8 – 1 = 7 ≠ 8.

c) Đúng. Theo câu a), x = a = $\frac{8}{5}$ = 1,6 > 1.

d) Sai. Thay a = $\frac{8}{5}$, ta có: ${\left( {\frac{8}{5}} \right)^2} - 3 \cdot \frac{8}{5}$ + 2 = $\frac{{64}}{{25}}$ – $\frac{{24}}{5}$ + 2 = $- \frac{6}{{25}}$ ≠ 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Ta có: $\sqrt 2$⋅ 2$^{3x+1}$= 8 ⇔ 2$^{3x+1}$ = $\frac{8}{{\sqrt 2 }}$ = 4$\sqrt 2$

Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: log$_{2}$2$^{3x+1}$= log$_{2}$4$\sqrt 2$

⇔ (3x +1)log$_{2}$2 = log$_{2}$4$\sqrt 2$ ⇔ 3x + 1 = $\frac{5}{2}$ ⇔ x = $\frac{{\frac{5}{2} - 1}}{3}$ = $\frac{1}{2}$.

Vậy phương trình có một nghiệm là x = $\frac{1}{2}$

⇒ a = 1; b = 2 ⇒ 10a + b = 10 ⋅ 1 + 2 = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –5

Ta có: ${2^{{x^2} + 2x}}$ = 8$^{2–x}$⇔ ${2^{{x^2} + 2x}}$ = (2$^{3}$)$^{2–x}$⇔ ${2^{{x^2} + 2x}}$ = 2$^{6–3x}$

⇔ x$^{2}$ + 2x = 6 – 3x ⇔ x$^{2}$ + 2x + 3x – 6 = 0 ⇔ x$^{2}$ + 5x – 6 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng: 1 + (–6) = –5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta có: 5$^{2x–4}$= 25 ⇔ 5$^{2x–4}$= 5$^{2}$ ⇔ 2x – 4 = 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –10

Ta có: ${2^{{x^2}}}$ = $\frac{1}{{{4^{x - 4}}}}$ ⇔ ${2^{{x^2}}}$ = 4$^{4–x}$⇔ ${2^{{x^2}}}$ = 2$^{2(4–x)}$

⇔ x$^{2}$ = 2(4 – x) ⇔ x$^{2}$ = 8 – 2x ⇔ x$^{2}$ + 2x – 8 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.$.

⇒ a = –4; b = 2 ⇒ 2a – b = 2 ∙ (–4) – 2 = –10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 585

Đặt 2$^{x}$ = t (t > 0)

Ta có: t$^{2}$ – 5t + 6 = 0 ⇔ (t – 2)(t – 3) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 3\end{array} \right.$ (TMĐK) ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = 3\end{array} \right.$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}{\log _2}{2^x} = {\log _2}2\\{\log _2}{2^x} = {\log _2}3\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {\log _2}3\end{array} \right.$

Do đó 1000(x$_{2}$ – x$_{1}$) = 1000(log$_{2}$3 – 1) ≈ 1000(1,585 – 1) ≈ 585.