Bài tập Phương trình đường tròn có đáp án

Hướng dẫn giải

Để xác định được phương trình quỹ đạo chuyển động của người đó, ta cần lập được phương trình đường tròn chuyển động của vòng quay, để lập phương trình đường tròn này, ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến M là OM = $\sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = 5$.

Hướng dẫn giải:

Công thức tính độ dài đoạn thẳng IM là IM = $\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}}$.

Hướng dẫn giải

Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn tâm O bán kính 5 khi và chỉ khi OM = 5 ⇔ OM$^{2}$ = 5$^{2}$ ⇔ ${\left( {\sqrt {{{\left( {x - 0} \right)}^2} + {{\left( {y - 0} \right)}^2}} } \right)^2} = 25$⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải:

Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R khi và chỉ khi IM = R

⇔ IM$^{2}$ = R$^{2}$ $\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} } \right)^2} = {R^2}$⇔ (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đường tròn tâm I đi qua điểm A nên bán kính của đường tròn là

R = IA = $\sqrt {{{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {\left( { - 7} \right) - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là (x – 6)$^{2}$ + [y – (– 4)]$^{2}$ = ${\left( {\sqrt {13} } \right)^2}$ hay (x – 6)$^{2}$ + (y + 4)$^{2}$ = 13.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$

⇔ x$^{2}$ – 2ax + a$^{2}$ + y$^{2}$ – 2by + b$^{2}$ = R$^{2}$

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + a$^{2}$ + b$^{2}$ – R$^{2}$ = 0.

Đặt a$^{2}$ + b$^{2}$ – R$^{2}$ = c.

Khi đó phương trình đường tròn được đưa về dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2ax – 2by + c = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ + 2kx + 4y + 6k – 1 = 0

⇔ (x$^{2}$ + 2kx + k$^{2}$) + (y$^{2}$ + 4y + 4) – k$^{2}$ + 6k – 1 – 4 = 0

⇔ (x + k)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = k$^{2}$ – 6k + 5

Do đó, phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi k$^{2}$ – 6k + 5 > 0.

Giải phương trình k$^{2}$ – 6k + 5 > 0.

Tam thức bậc hai k$^{2}$ – 6k + 5 có ∆' = (– 3)$^{2}$ – 1 . 5 = 4 > 0 nên tam thức có hai nghiệm phân biệt k$_{1}$ = 1, k$_{2}$ = 5. Do hệ số a > 0 nên tam thức cùng dấu với a khi k ∈ (– ∞; 1) ∪ (5; + ∞). Vậy k$^{2}$ – 6k + 5 > 0 khi k ∈ (– ∞; 1) ∪ (5; + ∞).

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi k ∈ (– ∞; 1) ∪ (5; + ∞).

Hướng dẫn giải

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA$^{2}$ = IB$^{2}$ = IC$^{2}$.

Vì IA$^{2}$ = IB$^{2}$, IB$^{2}$ = IC$^{2}$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 = {a^2} - 10a + 25\\{a^2} - 10a + 25 + {b^2} - 4b + 4 = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a = 24\\8a + 10b = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Đường tròn tâm I$\left( {3;\,\, - \frac{1}{2}} \right)$ bán kính R = IA = $\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2}}$$= \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{41}}{4}}$.

Phương trình đường tròn là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right)^2} = {\left( {\sqrt {\frac{{41}}{4}} } \right)^2}$.

Vậy phương trình đường tròn là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) có tâm I tại điểm M$_{0}$ nên IM$_{0}$ vuông góc với ∆ tại M$_{0}$ (tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm).

Do đó, vectơ $\overrightarrow {I{M_0}}$ có giá là đường thẳng IM$_{0}$ vuông góc với đường thẳng ∆.

Vậy vectơ $\overrightarrow {I{M_0}}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} - a;\,\,{y_0} - b} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M$_{0}$(x$_{0}$; y$_{0}$) và nhận $\overrightarrow {I{M_0}}$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là(x$_{0}$ – a)(x – x$_{0}$) + (y$_{0}$ – b)(y – y$_{0}$) = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I(3; – 7).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M$_{0}$(– 1; – 4) thuộc đường tròn (x – 3)$^{2}$ + (y + 7)$^{2}$ = 25 là

(– 1 – 3)(x + 1) + (– 4 + 7)(y + 4) = 0

⇔ – 4x – 4 + 3y + 12 = 0 ⇔ 4x – 3y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải

x$^{2}$ + y$^{2}$ – 2x + 2y – 7 = 0

⇔ (x$^{2}$ – 2x + 1) + (y$^{2}$ + 2y + 1) – 1 – 1 – 7 = 0

⇔ (x – 1)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 9

Đây là phương trình đường tròn với tâm I(1; – 1) và bán kính R = $\sqrt 9$ = 3.

Hướng dẫn giải:

x$^{2}$ + y$^{2}$ – 8x + 2y + 20 = 0

⇔ (x$^{2}$ – 8x + 16) + (y$^{2}$ + 2y + 1) – 16 – 1 + 20 = 0

⇔ (x – 4)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = – 3

Do – 3 < 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x + 1)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 9 ⇔ (x – (– 1))$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ = 3$^{2}$.

Do đó, đường tròn đã cho có tâm I(– 1; 5) và bán kính R = 3.

Hướng dẫn giải:

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ – 6x – 2y – 15 = 0

⇔ (x$^{2}$ – 6x + 9) + (y$^{2}$ – 2y + 1) – 9 – 1 – 15 = 0

⇔ (x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 25

Do đó, đường tròn đã cho có tâm I(3; 1) và bán kính R = $\sqrt {25} = 5$.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9 là

(x – (– 3))$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = 9$^{2}$ hay (x + 3)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = 81.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn có tâm I và đi qua điểm M thì có bán kính là

R = IM = $\sqrt {{{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( {\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = \sqrt 2$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là (x – 5)$^{2}$ + (y – (– 2))$^{2}$ = ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2}$ hay (x – 5)$^{2}$ + ( y + 2)$^{2}$ = 2.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến tiếp tuyến ∆ chính bằng bán kính của đường tròn.

Do đó, R = d(I, ∆) = $\frac{{\left| {5.1 - 12.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 1} \right)} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}$ hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{256}}{{169}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB = $\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = 2\sqrt {29}$.

Gọi I là trung điểm của AB, ta có tọa độ của I là ${x_I} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1,\,{y_I} = \frac{{\left( { - 4} \right) + 6}}{2} = 1$ hay I(1; 1).

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính R = $\frac{{AB}}{2} = \sqrt {29} .$

Vậy phương trình đường tròn đường kính AB là (x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 29.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA$^{2}$ = IB$^{2}$ = IC$^{2}$.

Vì IA$^{2}$ = IB$^{2}$, IB$^{2}$ = IC$^{2}$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 = {a^2} - 6a + 9\\{a^2} - 6a + 9 + {b^2} - 2b + 1 = {a^2} + {b^2} - 8b + 16\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = 8\\ - 6a + 6b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.$

Đường tròn tâm I(2; 3) bán kính R = IC = $\sqrt {{a^2} + {{\left( {4 - b} \right)}^2}}$$= \sqrt {{2^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Phương trình đường tròn là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}$.

Vậy phương trình đường tròn là (x – 2)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x + 2)$^{2}$ + (y + 7)$^{2}$ = 169 ⇔ (x – (–2))$^{2}$ + (y – (–7))$^{2}$ = 13$^{2}$.

Do đó, đường tròn đã cho có tâm I(– 2; – 7) và bán kính R = 13.

Hoành độ của tiếp điểm là 3 hay x = 3, thay vào phương trình đường tròn ta được:

(3 + 2)$^{2}$ + (y + 7)$^{2}$ = 169 ⇔ (y + 7)$^{2}$ = 144 ⇔ (y + 7)$^{2}$ = 12$^{2}$

Suy ra y + 7 = 12 hoặc y + 7 = – 12

Suy ra y = 5 hoặc y = – 19.

Do đó ta tìm được các điểm thuộc đường tròn có hoành độ bằng 3 là A(3; 5) và B(3; – 19).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(– 2; – 7) tại điểm A(3; 5) là

(3 + 2)(x – 3) + (5 + 7)(y – 5) = 0

⇔ 5x – 15 + 12y – 60 = 0

⇔ 5x + 12y – 75 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại B(3; – 19) là

(3 + 2)(x – 3) + (– 19 + 7)(y – (– 19)) = 0

⇔ 5x – 15 – 12y – 228 = 0

⇔ 5x – 12y – 243 = 0.

Vậy các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là 5x + 12y – 75 = 0; 5x – 12y – 243 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 4 ⇔ (x – (– 1))$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 2$^{2}$.

Đường tròn đã cho có tâm I(– 1; 2) và bán kính R = 2.

Gọi đường thẳng d có phương trình 3x + 4y + m = 0, đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn hay d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 5} \right|}}{5} = 2$ ⇔ |m + 5| = 10

Suy ra m + 5 = 10 hoặc m + 5 = – 10

Suy ra m = 5 hoặc m = – 15.

Vậy m = 5, m = – 15 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm I(– 2; 1) và bán kính R = 3.

Do đó, phương trình đường tròn cần lập là (x + 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ tâm I của đường tròn ranh giới tới vị trí có tọa độ (– 1; 3) là

d = $\sqrt {{{\left( {\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Vì $\sqrt 5 < 3$ nên d < R.

Do đó, vị trí có tọa độ (– 1; 3) nằm bên trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (– 1; 3) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Hướng dẫn giải:

Gọi vị trí người đó đang đứng là B(– 3; 4).

Ta có: $\overrightarrow {BI} = \left( { - 2 - \left( { - 3} \right);\,1 - 4} \right) = \left( {1;\, - 3} \right)$, $BI = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10}$.

BI > R nên B nằm ngoài đường tròn ranh giới, giả sử đường thẳng BI cắt đường tròn tại điểm A, khi đó AB là khoảng cách ngắn nhất từ B đến vùng phủ sóng.

Ta cần tìm tọa độ điểm A.

Đường thẳng BI có một vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow {BI}$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;\,\,1} \right)$. Do đó, phương trình đường thẳng BI là 3(x + 3) + 1(y – 4) = 0 hay 3x + y + 5 = 0.

Tọa độ của giao điểm A là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 5 = 0\\{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( { - 3x - 5 - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\{x^2} + 4x + 4 + 9{x^2} + 36x + 36 = 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\10{x^2} + 40x + 31 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}\\x = \frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}\\y = \frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}}\\y = \frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {\frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\\A\left( {\frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\end{array} \right.$

+ Với $A\left( {\frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)$

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - \frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2}} \approx 6{,}2$

+ Với $A\left( {\frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)$

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - \frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2}} \approx 0{,}2$

Do 0,2 < 6,2 nên ta chọn kết quả 0,2.

Vậy tính theo đường chim bay, khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng là 0,2 km.

Hướng dẫn giải

Đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm $I\left( {0;\,\frac{3}{2}} \right)$ bán kính 0,8; đến điểm $M\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{{10}};\,\,2} \right)$, đĩa được ném đi, do đó trong những giây đầu tiên sau khi ném đi, đĩa chuyển động trên một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính 0,8 tại tiếp điểm M.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại tiếp điểm M là

$\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{{10}} - 0} \right)\left( {x - \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}} \right) + \left( {2 - \frac{3}{2}} \right)\left( {y - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}x - \frac{{39}}{{100}} + \frac{1}{2}y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 10\sqrt {39} x + 50y - 139 = 0$.

Vậy trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình là $10\sqrt {39} x + 50y - 139 = 0$.