Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

3x$^{3}$y$^{2}$ – 12xy$^{5}$ = 3xy$^{2}$. x$^{2}$ – 3xy$^{2}$. 4y$^{3}$ = 3xy$^{2}$(x$^{2}$ – 4y$^{3}$).

Đáp án đúng là: A

12x – 9x$^{2}$ – 4 = – (9x$^{2}$ – 12x + 4)

= – [(3x)$^{2}$ – 2.3x.2 + 2$^{2}$] = – (3x – 2)$^{2}$.

Đáp án đúng là: D

a$^{5}$ – a = a(a$^{4}$ – 1)

= a[(a$^{2}$)$^{2}$ – 1$^{2}$] = a(a$^{2}$ – 1)(a$^{2}$ + 1)

= a(a – 1)(a + 1)(a$^{2}$ + 1).

Đáp án đúng là: A

5(x$^{2}$ – y$^{2}$) – 3(y – x)

= 5(x – y)(x + y) + 3(x – y)

= (x – y)[5(x + y) + 3]

= (x – y)(5x + 5y + 3).

Đáp án đúng là: B

a$^{3}$ – b$^{3}$ + 3b$^{2}$ – 3b + 1

= a$^{3}$ – (b$^{3}$ – 3b$^{2}$ + 3b – 1) = a$^{3}$ – (b – 1)$^{3}$

= [a – (b – 1)][a$^{2}$ + a(b – 1) + (b – 1)$^{2}$]

= (a – b + 1)(a$^{2}$ + ab – a + b$^{2}$ – 2b + 1).

Đáp án đúng là: C

B = (b – 3)(b$^{2}$ + 3b + 9) – b(b – 2)(b + 2)

= (b – 3)(b$^{2}$ + 3b + 3$^{2}$) – b(b – 2)(b + 2)

= b$^{3}$ – 3$^{3}$ – b(b$^{2}$ – 2$^{2}$) = b$^{3}$ – 27 – b(b$^{2}$ – 4)

= b$^{3}$ – 27 – b$^{3}$ + 4b = 4b – 27.

Đáp án đúng là: C

1 009$^{2}$ – 9$^{2}$ = (1 009 – 9)(1 009 + 9)

= 1 000 . 1 018 = 1 018 000.

Đáp án đúng là: D

a$^{2}$b + ab + a$^{2}$ – 1 = ab(a + 1) + (a – 1)(a + 1)

= (a + 1)[(ab + (a – 1)] = (a + 1)(ab + a – 1).

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, ta có: ${y^2} - y + \frac{1}{4} = 0$

$${y^2} - 2.y.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 0$$

$${\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0$$

$$y - \frac{1}{2} = 0$$

$$y = \frac{1}{2}$$

Vậy khi $y = \frac{1}{2}$ thì biểu thức ${y^2} - y + \frac{1}{4}$ nhận giá trị bằng 0.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có: (x$^{2}$ + 1)(x – 2) + 2x = 4

(x$^{2}$ + 1)(x – 2) + 2x – 4 = 0

(x$^{2}$ + 1)(x – 2) + 2(x – 2) = 0

(x – 2)(x$^{2}$ + 1 + 2) = 0

(x – 2)(x$^{2}$ + 3) = 0

x – 2 = 0 (vì x$^{2}$ + 3 > 0)

x = 2.

Vậy biểu thức (x$^{2}$ + 1)(x – 2) + 2x nhận giá trị bằng 4 khi x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

3x$^{2}$ – 27 = 3(x$^{2}$ – 9) = 3(x – 3)(x + 3)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

x$^{3}$ – 25x = x(x$^{2}$ – 25) = x(x – 5)(x + 5).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

3x$^{2}$ + 6x + 3 = 3(x$^{2}$ + 2x + 1) = 3(x + 1)$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

3x$^{3}$ – 192 = 3(x$^{3}$ – 64) = 3(x – 4)( x$^{2}$ + 4x + 16).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: x$^{2}$(x – 2) – 2xy(2 – x) + y$^{2}$(x – 2)

= x$^{2}$(x – 2) + 2xy(x – 2) + y$^{2}$(x – 2)

= (x – 2)(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$)

= (x – 2)(x + y)$^{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì x$^{4}$ = x$^{2}$.x$^{2}$, 4x$^{2}$ = 4.x$^{2}$ nên nhân tử chung có bậc cao nhất là x$^{2}$.

b) Sai. Ta có: P(x) = x$^{4}$ – 4x$^{2}$ = x$^{2}$(x$^{2}$ – 4) = x$^{2}$(x – 2)(x + 2).

c) Đúng. Vì P(x) = x$^{2}$(x – 2)(x + 2) nên nó chia hết cho đa thức (x – 2).

d) Đúng. Có P(x) = 0 hay x$^{2}$(x – 2)(x + 2) = 0

TH1: x$^{2}$ = 0 hay x = 0

TH2: x – 2 = 0 hay x = 2

TH3: x + 2 = 0 hay x = –2

Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn P(x) = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có: B = –6x$^{2}$y – 12xy – 6y = 6y(–x$^{2}$ – 2x – 1)

= 6y[–(x$^{2}$ + 2x + 1)] = 6y[–(x + 1)$^{2}$].

b) Đúng. Ta có: B = 6y[–(x + 1)$^{2}$] = –6y(x + 1)$^{2}$.

c) Đúng. Vì theo phần b, B = –6y(x + 1)$^{2}$.

d) Sai. Để B = 6 thì –6y(x + 1)$^{2}$ = 6 hay y(x + 1)$^{2}$ = –1

Ta có Ư(–1) = {–1; 1}.

Vì x, y nguyên và (x + 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên (x + 1)$^{2}$ = 1 suy ra y = –1.

Từ (x + 1)$^{2}$ = 1 nên x + 1 = –1 hoặc x + 1 = 1

x = –2 hoặc x = 0.

Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là (–2; –1), (0; –1).

Có 2 cặp (x; y) nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có: C = (x – 1)$^{3}$ + 1$^{3}$ = (x – 1 + 1)[(x – 1)$^{2}$ – (x – 1) + 1]

= x(x$^{2}$ – 2x + 1 – x + 1 + 1)

= x(x$^{2}$ – 3x + 3).

b) Sai. Ta có: B = –x(x – 1)$^{2}$ + x = –x[(x – 1)$^{2}$ – 1]

= –x(x – 1 – 1)(x – 1 + 1) = –x$^{2}$(x – 2).

c) Đúng. Ta có: A + B = x(x$^{2}$ – 3x + 3) – x$^{2}$(x – 2)

= x[x$^{2}$ – 3x + 3 – x(x – 2)] = x(–x + 3).

d) Sai. Để A + B = 4 thì x(–x + 3) = 4

Ta có Ư(4) = {± 1; ± 2; ± 4}. Vì x là số nguyên nên ta có các trường hợp sau:

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\ - x + 3 = 4\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$(vô lí)

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\ - x + 3 = - 4\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 7\end{array} \right.$ (vô lí)

TH3: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\ - x + 3 = - 2\end{array} \right.$hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.$(vô lí)

TH4: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\ - x + 3 = 2\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.$(vô lí)

TH5: $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\ - x + 3 = 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.$(vô lí)

TH6: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\ - x + 3 = - 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 4\end{array} \right.$ (vô lí)

Vậy không có giá trị x thỏa mãn A + B = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: A = [(2x – 1) – (x + 2)][(2x – 1) + (x + 2)] = (x – 3)(3x + 1).

b) Đúng. Ta có: B = 3x(x – 3).

c) Đúng. Ta có: A + B = (x – 3)(3x + 1) + 3x(x – 3)

= (x – 3)[(3x + 1) + 3x] = (x – 3)(6x + 1).

d) Sai. Xét A + B = 0

(x – 3)(6x + 1) = 0

x = 3 hoặc $x = - \frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có:

A = (x + 2)$^{3}$ – 2$^{3}$ = (x + 2 – 2)[(x + 2)$^{2}$ + 2(x + 2) + 4]

= x(x$^{2}$ + 4x + 4 + 2x + 4 + 4) = x(x$^{2}$ + 6x + 12)

b) Đúng. Ta có B = x[(x + 2)$^{2}$ – 4] = x(x + 2 – 2)(x + 2 + 2) = x$^{2}$(x + 4).

c) Sai. Ta có:

A – B = x(x$^{2}$ + 6x + 12) – x$^{2}$(x + 4)

= x[(x$^{2}$ + 6x + 12) – (x$^{2}$ + 4x)]

= x(x$^{2}$ + 6x + 12 – x$^{2}$ – 4x)

= x(2x + 12) = 2x(x + 6).

d) Sai. Xét A – B = 0

2x(x + 6) = 0

x = 0 hoặc x = –6.

Có 2 giá trị nguyên của x thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 12

Xét đa thức 12x$^{2}$y$^{2}$ – 24xy + 12 = 12(x$^{2}$y$^{2}$ – 2xy + 1) = 12(xy – 1)$^{2}$.

Suy ra k = 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

6x$^{3}$y$^{3}$ + 48 = 6[(xy)$^{3}$ + 8] = 6(xy + 2)(x$^{2}$y$^{2}$ – 2xy + 4).

Vậy k = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

x$^{2}$y – 4xy + 4y = 2

y(x$^{2}$ – 4x + 4) = 2

y(x – 2)$^{2}$ = 2

Ta có Ư(2) = {±1; ±2}

Vì (x – 2)$^{2}$ là số nguyên và (x – 2)$^{2}$ ≥ 0 với mọi x nên (x – 2)$^{2}$ = 1 suy ra y = 2.

Vì (x – 2)$^{2}$ = 1 nên x – 2 = 1 hoặc x – 2 = –1

x = 3 hoặc x = 1.

Vậy có 2 cặp giá trị nguyên của (x; y) là (3; 2), (1; 2).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

2x$^{3}$(3x – 6) – 6x$^{2}$(3x – 6) + 6x(3x – 6) – 3(3x – 6) = 0

2(3x – 6)(x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 3x – 1) = 0

2(3x – 6)(x – 1)$^{3}$ = 0

3x – 6 = 0 hoặc x – 1 = 0

x = 2 hoặc x = 1.

Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

x$^{3}$y + 3yx – 3yx$^{2}$ – y = 8

y(x$^{3}$ + 3x – 3x$^{2}$ – 1) = 8

y(x – 1)$^{3}$ = 8

Ta có Ư(8) = {± 1; ± 2; ± 4; ± 8}

Vì x là số nguyên nên x – 1 là số nguyên. Khi đó, (x – 1)$^{3}$ = ± 1 hoặc (x – 1)$^{3}$ = ± 8.

Ta có bảng sau:

Vậy có 4 cặp (x; y) thỏa mãn là (2; 8), (0; –8), (3; 1), (–1; –1).