Bài tập Parabol có đáp án

Hướng dẫn giải

M(x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc (P) thì ${y}_{0}^{2}=2p{x}_{0}.$

Có ${(-{y}_{0})}^{2}={y}_{0}^{2}=2p{x}_{0}$ nên M'(x$_{0}$; –y$_{0}$) cũng thuộc (P).

Hướng dẫn giải

a) Có 2p = 2, suy ra p = 1.

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F (1/2;0)

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x = -1/2

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

b) Có 2p = 1, suy ra p = 1/2

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(1/4;0)

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x = -1/4

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

c) Có 2p = 1/5 suy ra p = 1/10

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(1/20;0)

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x = -1/20

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

Hướng dẫn giải

Có JA = $\sqrt{{(2-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=\sqrt{{(2-x)}^{2}+{y}^{2}}.$

Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d) = |x + 2|.

Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d => JA = d(J; d)

$\Leftrightarrow \sqrt{{(2-x)}^{2}+{y}^{2}}=|x+2|$

$\Leftrightarrow {(2-x)}^{2}+{y}^{2}={|x+2|}^{2}$

$\Leftrightarrow (4-4x+{x}^{2})+{y}^{2}={x}^{2}+4x+4$

$\Leftrightarrow {y}^{2}=8x.$

Vậy (L) là một parabol có phương trình ${y}^{2}=8x$

Hướng dẫn giải

Vì M thuộc (P) nên ${y}^{2}$ = 2px.

Khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F là: MF = $\sqrt{{(x-\frac{p}{2})}^{2}+{(y-0)}^{2}}$

$=\sqrt{{x}^{2}-px+\frac{{p}^{2}}{4}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}-px+\frac{{p}^{2}}{4}+2px}=\sqrt{{x}^{2}+px+\frac{{p}^{2}}{4}}$

$=\sqrt{{(x+\frac{p}{2})}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|=x+\frac{p}{2}$ (vì x + p/2 > 0).

Hướng dẫn giải

a) Có 2p = 16, suy ra p = 8.

Bán kính qua tiêu của M$_{1}$ là: FM$_{1}$ = x + p/2 = 1 + 8/2 = 5.

b) Có 2p = 3, suy ra p = 3/2

Bán kính qua tiêu của M$_{2}$ là: FM$_{2}$ = x + p/2 = 3 + 3/4 = 15/4

c) Có 2p = 1/4 suy ra p = 1/8

Bán kính qua tiêu của M$_{3}$ là: FM$_{3}$ = x + p/2 = 4 + 1/16 = 65/16

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc O trùng với đỉnh của parabol và trục Ox trùng với tâm đối xứng của parabol, đơn vị trên hai trục toạ độ là mét.

Giả sử parabol có phương trình chính tắc ${y}^{2}$= 2px (p > 0).

Vì chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9 m nên ta có: khi x = 7,6 thì y = 9/2 = 4,5 => 4,52 = 2p . 7,6 => p = 405/304

=> Toạ độ của tâm ngôi sao là F(p/2;0) hay F (405/608;0)

=> Khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng là 405/608 mét.

Hướng dẫn giải

Có 2p = 0,25 => p = 0,125 => p/2 = 0,0625.

Khoảng cách từ điểm M(0,25; 0,25) trên ăng-ten đến F bằng khoảng cách từ M đến đường chuẩn $x+\frac{p}{2}=0$ hay x + 0,0625 = 0 của parabol:

$MF=x+\frac{p}{2}=0{,}25+0{,}0625=0{,}3125.$

Hướng dẫn giải

a) Có 2p = 7 => p = 7/2 => p/2 = 7/4

=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(7/4;0) phương trình đường chuẩn của parabol là x + 7/4 = 0

b) Có 2p = 1/3 => p = 1/6 => p/2 = 1/12

=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(1/12;0), phương trình đường chuẩn của parabol là x + 1/12 = 0

a) Có 2p = $\sqrt{2}$ => p = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ => $\frac{p}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

=> Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$(\frac{\sqrt{2}}{4};0),$ phương trình đường chuẩn của parabol là $x+\frac{\sqrt{2}}{4}=0.$

Hướng dẫn giải

a) Có 2p = 12, suy ra p = 6.

Bán kính qua tiêu của M$_{1}$ là: FM$_{1}$ = x + p/2 = 3 + 6/2 = 6.

b) Có 2p = 1/6 suy ra p = 1/12

Bán kính qua tiêu của M$_{2}$ là: FM$_{2}$ = x + p/2 = 6 + 1/24 = 145/24

b) Có 2p =$\sqrt{3},$ suy ra p = $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Bán kính qua tiêu của M$_{3}$ là: FM$_{3}$ = x + p/2 = $\sqrt{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{4}.$

Hướng dẫn giải

Có MA = $\sqrt{{(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{(0-y)}^{2}}=\sqrt{{(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{y}^{2}}.$

Khoảng cách từ M đến d là: d(M; d) = $|x+\frac{1}{4}|.$

Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d => MA = d(M; d)$\Leftrightarrow \sqrt{{(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{1}{4}|$

$\Leftrightarrow {(\frac{1}{4}-x)}^{2}+{y}^{2}={|x+\frac{1}{4}|}^{2}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{16}-\frac{x}{2}+{x}^{2})+{y}^{2}={x}^{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}$

$\Leftrightarrow {y}^{2}=x.$

Vậy (P) là một parabol có phương trình ${y}^{2}$= 8x.

Hướng dẫn giải

Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là ${y}^{2}$= 2px (p > 0).

Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M, I, N lên Δ.

Vì I là trung điểm của MN nên IB là đường trung bình của hình thang MACN

$\Rightarrow IB=\frac{1}{2}(MA+CN)=\frac{1}{2}(MF+CF)=\frac{1}{2}MN.$

=> Đường tròn đường kính MN chính là đường tròn tâm I, bán kính IB

Lại có Δ vuông góc với IB tại B

=> đường tròn đường kính MN tiếp xúc với Δ tại B.

Hướng dẫn giải

Giả sử parabol (P) có phương trình chính tắc là ${y}^{2}$= 2px (p > 0).

Gọi toạ độ của M là (x; y).

F(p/2;0) là tiêu điểm của (P), H là hình chiếu của M lên đường chuẩn Δ: x + p/2 = 0 của (P).

Khi đó:

MF = $\sqrt{{(\frac{p}{2}-x)}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}-px+{x}^{2}+2px}=\sqrt{\frac{{p}^{2}}{4}+px+{x}^{2}}=\sqrt{{(x+\frac{p}{2})}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|.$

MH = $|x+\frac{p}{2}|.$

Vậy MF = MH, mặt khác MH chính là bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P), do đó bán kính qua tiêu của điểm M trên parabol (P) bằng bán kính của đường tròn tâm M, tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là ${y}^{2}$= 2px (p > 0).

Gọi F là tiêu điêm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.

Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là AF = $x+\frac{p}{2}$ ≥ p/2 (vì x ≥ 0)

=> khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là p/2 (km)

=> $\frac{p}{2}=112\Rightarrow p=224.$

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 448x.

b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là x=p/2

Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:

AF = $x+\frac{p}{2}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p=224$ (km).

Hướng dẫn giải

Có 2p = 6, suy ra p = 3.

Khoảng cách từ điểm $M(1;\sqrt{6})$ trên gương đến tiêu điểm của (P) là:

MF = $x+\frac{p}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5$ (cm).