Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 4 (có đáp án)

Chọn D

Vì $MN\,{\rm{//}}\,BC,$ theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}},$ $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}},$ $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}.$

Như vậy $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AC}}{{AN}}$ là khẳng định sai.

Chọn C

Vì $MN\,{\rm{//}}\,BC,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$.

Thay số vào ta có $\frac{2}{3} = \frac{4}{{NC}}$, suy ra $NC$ = 6 cm.

Chọn C

Vì $MN\,{\rm{//}}\,BC,$ theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}.$ (1)

Qua $N$ kẻ $NP\,{\rm{//}}\,AB\,\,\left( {P \in BC} \right).$

Theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{BP}}{{BC}}.$ (2)

Tứ giác $MNPB$ có $MN\,{\rm{//}}\,PB,\,\,BM\,{\rm{//}}\,NP$ nên $MNPB$ là hình bình hành.

Do đó $MN = BP.$

Như vậy $\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}.$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}.$

Thay $AM = 3$ cm, $AB$ = 8 cm, $MN$ = 4 cm vào tỉ lệ thức ta có $\frac{3}{8} = \frac{4}{{BC}}$.

Suy ra $BC = \frac{{32}}{3}$ cm.

Chọn C

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là điểm thuộc $OC,\,\,OD$ sao cho $O$ là trung điểm của $AM,\,\,BN.$

Khi đó $ABMN$ là hình bình hành. Suy ra $AB\,{\rm{//}}\,MN.$

Vì $ABCD$ là hình thang nên $AB\,{\rm{//}}\,CD.$

Suy ra $MN\,{\rm{//}}\,CD.$

Theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{OM}}{{OC}} = \frac{{ON}}{{OD}}$ hay $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}.$

Từ $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}$ suy ra $\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OC}}{{OD}}$.

Từ $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}$ suy ra $\frac{{OA}}{{OC + OA}} = \frac{{OB}}{{OD + OB}}$ hay $\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}$.

Khẳng định $\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{OC}}$ là khẳng định sai.

Chọn D

Vì $MN\,{\rm{//}}\,BC$ nên $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Hay $\frac{{AB - BM}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{BC}}.$

Thay số $\frac{{AB - 10}}{{AB}} = \frac{{25}}{{30}}.$

Suy ra $25AB = 30\left( {AB - 10} \right)$

$25AB = 30AB - 300$

$5AB = 300$

$AB = 60$ (m).

Chọn A

Ta có $AM = AB + BM = 6$ cm.

Xét $\Delta AMN$ có $MN\,{\rm{//}}\,BC,$ nên $\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{BC}}{{MN}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra $\frac{4}{6} = \frac{5}{{MN}}$. Do đó $MN = \frac{{6 \cdot 5}}{4} = 7{,}5$ cm.

Chọn A

Vì $AD\,{\rm{//}}\,CK$ nên $\widehat {AKC} = \widehat {BAD}$ (đồng vị) và $\widehat {ACK} = \widehat {DAC}$ (góc so le trong).

Mà $AD$ là phân giác nên $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$.

Suy ra $\widehat {AKC} = \widehat {ACK}$. Do đó Tam giác $AKC$ cân tại $A$.

Khi đó $AK = AC$.

Xét $\Delta BCK$ có $AD\,{\rm{//}}\,CK$, theo định lí Thalès ta có $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AK}}$

Suy ra $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Như vậy bản chất cốt lõi của phương pháp dựng hình này là tạo ra tam giác $AKC$ cân tại $A$.

Chọn A

Gọi $AH$ là đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $H$ cũng là trung điểm của $BC$, suy ra $BH = \frac{8}{2} = 4$ (m).

Vì $MD \bot BC$ và $AH \bot BC$ nên $MD\,{\rm{//}}\,AH$.

Áp dụng định lí Thalès cho $\Delta ABH$ với $MD\,{\rm{//}}\,AH$ ta có $\frac{{BD}}{{BH}} = \frac{{BM}}{{AB}}$.

Theo giả thiết, $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{3}{4}$ nên $AM = \frac{3}{4}AB$ suy ra $BM = AB - AM = AB - \frac{3}{4}AB = \frac{1}{4}AB.$

Do đó $\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{4}$ nên $\frac{{BD}}{{BH}} = \frac{1}{4}$

Suy ra $\frac{{BD}}{4} = \frac{1}{4}$ nên $BD = 1$ (m).

Chọn A

Vẽ đường trung tuyến $AM$ của $\Delta ABC$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM$ nên $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$ (định lí Thalès)

Xét $\Delta ABC$ có $EF\,{\rm{//}}\,BC$ ta có $\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{2}{3}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Chọn B

Xét $\Delta ABM$ có $\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Xét $\Delta ACM$ có $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{IE}}{{CM}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra $\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{IE}}{{CM}}$.

Vì $BM = CM$ (do $AM$ là trung tuyến), nên $DI = IE$, tức $I$ là trung điểm của $DE.$

Chọn A

Xét $\Delta ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác.

Theo tính chất đường trung bình, ta có $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{{12}}{2} = 6$ cm.

Chọn C

Xét $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $AB$ và $MN\,{\rm{//}}\,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác.

Suy ra điểm $N$ là trung điểm của $BC$ nên $BC = 2BN = 2 \cdot 15 = 30$ cm.

Chọn A

⦁ Ta có $AM = \frac{1}{2}AB$ nên $M$ là trung điểm của $AB.$

Tương tự $N$ là trung điểm của $AC.$

Xét $\Delta ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác.

Suy ra $MN\,{\rm{//}}\,BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC.$

⦁ Chu vi $\Delta AMN$ là

$AM + AN + MN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right).$

Chu vi hình thang $MNCB$ là

$MB + NC + BC + MN = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC + BC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\left( {AB + AC + AB} \right) + BC.$

Hai giá trị này hoàn toàn chênh lệch nhau.

Chọn B

Xét $\Delta ABC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác. Suy ra $MN = \frac{1}{2}AC.$

Tương tự, $NP,\,\,PM$ cũng là các đường trung bình của tam giác nên $NP = \frac{1}{2}AB,\,\,PM = \frac{1}{2}BC.$

Chu vi tam giác $MNP$ là:

$MN + NP + PM = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC$

$= \frac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right)$

$= \frac{1}{2}{\rm{Chu vi }}\Delta ABC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ (cm).

Chọn D

Xét $\Delta ABC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác. Suy ra $MN\,{\rm{//}}\,AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC.$

Tương tự với $\Delta ACD$ có $PQ$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $PQ\,{\rm{//}}\,AC$ và $PQ = \frac{1}{2}AC.$

Do đó $MN\,{\rm{//}}\,PQ$ và $MN = PQ.$

Khi đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Chọn A

Gọi $P$ là trung điểm của $AD.$

Xét $\Delta ADC$ có $P,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AD,\,\,AC$ nên $PM$ là đường trung bình của $\Delta ADC$, suy ra $PM\,{\rm{//}}\,CD$ và $PM = \frac{1}{2}CD$.

Tương tự, ta có $PN$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $PN\,{\rm{//}}\,AB$ và $PN = \frac{1}{2}AB$.

Vì $ABCD$ là hình thang có đáy nhỏ $AB$ và đáy lớn $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$.

Từ đó suy ra $PN\,{\rm{//}}\,CD.$

Qua điểm $P$ có $PM\,{\rm{//}}\,CD$ và $PN\,{\rm{//}}\,CD$ nên theo tiên đề Euclid thì $PM,\,\,PN$ trùng nhau hay ba điểm $P,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng.

Khi đó $AB\,{\rm{//}}\,MN\,{\rm{//}}\,CD$ và $MN = PM - PN = \frac{1}{2}CD - \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {CD - AB} \right).$

Chọn B

Đính lí: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Chọn C

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Chọn A

Đặt $DB = x$ (cm), từ đó $DC = 10 - x$ (cm).

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Suy ra $\frac{x}{{10 - x}} = \frac{5}{8}$

$8x = 5\left( {10 - x} \right)$

$8x = 50 - 5x$

$13x = 5$

$x = \frac{{50}}{{13}}$ cm.

Chọn C

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Suy ra $\frac{x}{y} = \frac{c}{b}$, do đó $\frac{x}{c} = \frac{y}{b}$ và $x \cdot b = y \cdot c$.

Cách viết $x \cdot c = y \cdot b$ là sai.

Chọn B

Ta có $BC = BD + DC = 6 + 9 = 15$ cm.

Vì $\Delta ABC$ có chu vi bằng 45 cm nên $AB + AC = 45 - 15 = 30$ cm.

Vì $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}}.$

Suy ra $\frac{{AB}}{6} = \frac{{AC}}{9} = \frac{{AB + AC}}{{6 + 9}} = \frac{{30}}{{15}} = 2$ (cm).

Từ đó ta có $AB = 2 \cdot 6 = 12$ cm.

Chọn A

Vì $AE$ là đường phân giác ngoài của góc $A$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.$

Vì $BF\,{\rm{//}}\,AC$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {AFB}$ (so le trong).

Suy ra $\widehat {{A_2}} = \widehat {AFB}$ nên $\Delta ABF$ cân tại $B.$ Do đó $AB = BF.$

Xét $\Delta AEC$ có $BF\,{\rm{//}}\,AC$ nên $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{BF}}{{AC}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.$

Các phương án C và D chưa đủ cơ sở để khẳng định.

Chọn A

Vì $AE$ là đường phân giác ngoài của góc $A$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.$

Vẽ $BF\,{\rm{//}}\,AC$ $\left( {F \in AE} \right)$ nên $\widehat {{A_1}} = \widehat {AFB}$ (so le trong).

Suy ra $\widehat {{A_2}} = \widehat {AFB}$ nên $\Delta ABF$ cân tại $B.$ Do đó $AB = BF.$

Xét $\Delta AEC$ có $BF\,{\rm{//}}\,AC$ nên $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{BF}}{{AC}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$

Chọn A

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác trong của tam giác nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $CD = 2BD.$

Mà $BD + CD = BC = 6$ cm, nên $BD + 2BD = 6$ suy ra $3BD = 6,$ do đó $BD$ = 2 cm.

Vì $AE$ là đường phân giác ngoài của $\Delta ABC$ nên $\widehat {xAE} = \widehat {EAB}.$

Kẻ $BF\,{\rm{//}}\,AC\,\,\left( {F \in AE} \right).$ Khi đó $\widehat {xAE} = \widehat {AFB}.$

Suy ra $\widehat {AFB} = \widehat {FAB}$ nên $\Delta ABF$ cân tại $B.$ Do đó $AB = BF.$

Xét $\Delta AEC$ có $BF\,{\rm{//}}\,AC$ nên $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{BF}}{{AC}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}.$

Ta có $EC = EB + BC = EB + 6$.

Do đó $\frac{{EB}}{{EB + 6}} = \frac{1}{2}$ nên $2EB = EB + 6,$ suy ra $EB$ = 6 cm.

Vậy $DE = BD + EB = 2 + 6 = 8$ cm.

Chọn A

Kẻ $AH \bot BC.$

Diện tích tam giác $ABD$ là: ${{\rm{S}}_{\Delta ABD}} = \frac{1}{2}AH \cdot BD,\,\,{S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}AH \cdot CD.$

Suy ra $\frac{{{{\rm{S}}_{\Delta ABD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AH \cdot BD}}{{\frac{1}{2}AH \cdot CD}} = \frac{{BD}}{{CD}}.$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{8}$.

Chọn A

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.$

Suy ra $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{4}{3}.$ Theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{{DC}}{{DB + DC}} = \frac{4}{{3 + 4}}$ hay $\frac{{CD}}{{CB}} = \frac{4}{7}.$

Vì $DE\,{\rm{//}}\,AB$, áp dụng định lí Thalès cho $\Delta ABC$, ta có $\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}}$.

Suy ra $\frac{{CE}}{8} = \frac{4}{7}$ nên $CE = \frac{{8 \cdot 4}}{7} = \frac{{32}}{7}$ (cm).

Chọn A

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{{18}} = \frac{2}{3}.$

Cách 1. Từ $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{2}{3}$ suy ra $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{3}{2}$, theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{{DC}}{{DB + DC}} = \frac{3}{{2 + 3}}$ hay $\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{3}{5}$.

Vì $DE\,{\rm{//}}\,AB$ nên $\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{CB}}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Suy ra $\frac{{DE}}{{12}} = \frac{3}{5}$ nên $DE = \frac{{12 \cdot 3}}{5} = 7{,}2$ (cm).

Cách 2. Từ $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{2}{3}$ theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{{DB}}{{DC + DB}} = \frac{2}{{3 + 2}}$ hay $\frac{{DB}}{{BC}} = \frac{2}{5}$.

Vì $DE\,{\rm{//}}\,AB$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {ADE}$ (so le trong).

Vì $AD$ là tia phân giác của góc $A$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}.$

Suy ra $\widehat {EAD} = \widehat {ADE}$ nên $\Delta ADE$ cân tại $E.$

Do đó $DE = AE.$

Vì $DE\,{\rm{//}}\,AB$ nên $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{2}{5},$ suy ra $DE = AE = \frac{2}{5}AC = \frac{2}{5} \cdot 18 = 7{,}2$ (cm).

Chọn A

Vì $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$ và $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC.$

Suy ra $AM = \frac{1}{2}AB,\,\,AN = \frac{1}{2}AC.$

Xét $\Delta ABD$ có $IM\,{\rm{//}}\,BD$ nên $\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Tương tự xét $\Delta ACD$, ta có $\frac{{IN}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{IN}}{{DC}}.$ Do đó $\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{BD}}{{CD}}$.

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường phân giác của góc $A$ $\left( {D \in BC} \right)$ nên $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$

Do đó $\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{2}{3}.$

Chọn A

⦁ Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên đường phân giác $AD$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, nên $D$ là trung điểm của $BC.$ Do đó $DB = DC.$

Vì $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,BC$ và $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,AC.$

Suy ra $AM = \frac{1}{2}AB,\,\,AN = \frac{1}{2}AC.$

Xét $\Delta ABD$ có $IM\,{\rm{//}}\,BD$ nên $\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Tương tự xét $\Delta ACD$, ta có $\frac{{IN}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\frac{{MI}}{{BD}} = \frac{{IN}}{{DC}}.$ Do đó $\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{BD}}{{CD}}$.

Mà $DB = DC$ nên $IM = IN,$ suy ra $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

⦁ Xét $\Delta ABC$ có $MN$ là đường trung bình của tam giác nên $MN\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta ABD$ có $MI\,{\rm{//}}\,BD$ và $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MI$ là đường trung bình của tam giác, do đó điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.

⦁ Mặt khác, vì $MI$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $MI = \frac{1}{2}BD$ mà $BD = \frac{1}{2}BC$ (do $D$ là trung điểm của $BC)$ nên $MI = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}BC = \frac{1}{4}BC.$

⦁ Chưa đủ cơ sở để khẳng định $MN = AD.$

Chọn A

Vì $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {AEF}$ (đồng vị) và $\widehat {CAD} = \widehat {AFE}$ (so le trong).

Mặt khác, $AD$ là tia phân giác của góc $A$ nên $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$.

Từ đó suy ra $\widehat {AEF} = \widehat {AFE}$, do đó $\Delta AEF$ là tam giác cân tại $A$.

Suy ra $AE = AF$.

Xét $\Delta BEM$ có $AD\,{\rm{//}}\,EM$ nên $\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BD}}$ (định lí Thalès) suy ra $BM = \frac{{BD \cdot BE}}{{BA}}.$

Xét $\Delta CAD$ có $FM\,{\rm{//}}\,AD$ nên $\frac{{CF}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CD}}$ (định lí Thalès) suy ra $CM = \frac{{CD \cdot CF}}{{CA}}.$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = CM$

Suy ra $\frac{{BD \cdot BE}}{{BA}} = \frac{{CD \cdot CF}}{{CA}}$

$\frac{{BD \cdot BE}}{{CD}} = \frac{{BA \cdot CF}}{{CA}}$

$\frac{{BD}}{{CD}} \cdot BE = \frac{{BA}}{{CA}} \cdot CF$ (1)

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của góc $A$ nên $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BA}}{{CA}}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BE = CF$.

Nên $AB + AE = AC - AF$

$AE + AF = AC - AB$

Mà $AE = AF$ nên $2AE = AC - AB = 20 - 14 = 6$ (cm).

Suy ra $AE = 3$ cm.

a) Đúng. Xét $\Delta ABC$ có $DE\,{\rm{//}}\,BC$ nên $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}$ (định lí Thalès).

b) Sai. Thay $AD = 4$ cm, $DB = 2$ cm và $AE = 6$ cm vào tỉ lệ $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}$ ta được:

$\frac{4}{2} = \frac{6}{{EC}}$ suy ra $EC = \frac{{2 \cdot 6}}{4} = 3$ (cm).

c) Sai. Tứ giác $BDEF$ có $DE\,{\rm{//}}\,BF,\,\,BD\,{\rm{//}}\,EF$ nên $BDEF$ là hình bình hành.

Do đó $BD = EF.$

Áp dụng định lí Thalès cho $\Delta ABC$ có $EF\,{\rm{//}}\,AB$, ta được $\frac{{BF}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{EC}}$.

Tương tự, $DE\,{\rm{//}}\,BC$ nên $\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{EC}}.$

Như vậy $\frac{{BF}}{{CF}} \ne \frac{{AB}}{{EF}}.$

d) Đúng. Áp dụng định lí Thalès cho $\Delta ABC$ có $EF\,{\rm{//}}\,AB$ ta được $\frac{{CF}}{{CB}} = \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{AE + CE}}$

Suy ra $\frac{{4{,}5}}{{CB}} = \frac{3}{{6 + 3}}$ nên $CB = \frac{{4{,}5 \cdot 9}}{3} = 13{,}5$ (cm).

a) Đúng. Xét $\Delta ADC$ có $MI\,{\rm{//}}\,DC$, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AI}}{{IC}}$.

b) Sai. Xét $\Delta ABC$ có $IN\,{\rm{//}}\,AB$, theo định lí Thalès ta có $\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{{BN}}{{NC}}$.

Kết hợp với ý a), ta có $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$.

c) Sai. Từ $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$ và $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{1}{2}$ ta có $\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{1}{2}$ nên $\frac{{NC}}{{BN}} = 2$.

Suy ra $\frac{{NC}}{{NC + BN}} = \frac{2}{{2 + 1}}$ hay $\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{2}{3}.$

Xét $\Delta ABC$ có $IN\,{\rm{//}}\,AB$ nên $\frac{{IN}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{2}{3}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

d) Đúng. Vì $AB = 6$ cm và $\frac{{IN}}{{AB}} = \frac{2}{3}$ nên ta có $\frac{{IN}}{6} = \frac{2}{3},$ suy ra $IN = \frac{{6 \cdot 2}}{3} = 4$ (cm).

Từ $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\frac{{AM}}{{MD + AM}} = \frac{1}{{2 + 1}}$ hay $\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.$

Xét $\Delta ADC$ có $MI\,{\rm{//}}\,DC$ nên $\frac{{MI}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}$ (hệ quả định lí Thalès chứng minh tương tự câu 3).

Mà $CD = 9$ cm nên $\frac{{MI}}{9} = \frac{1}{3},$ suy ra $MI = \frac{{9 \cdot 1}}{3} = 3$ (cm).

Khi đó $MN = MI + IN = 3 + 4 = 7$ (cm).

a) Sai. Vì $AD = 2DB$ nên $\frac{{AD}}{{DB}} = 2$ suy ra $\frac{{AD}}{{DB + AD}} = \frac{2}{{1 + 2}}$ hay $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

b) Đúng. Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

Xét $\Delta ABM$ có $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}$ nên theo định lí Thalès đảo ta có $DG\,{\rm{//}}\,BM$ hay $DG\,{\rm{//}}\,BC.$

c) Đúng. Từ $\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{1}{3}$ suy ra $\frac{{AC - AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}$ hay $1 - \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{1}{3}$ nên $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}.$