Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 3 (có đáp án)

Chọn B

Theo định lí tổng các góc của một tứ giác, tổng số đo bốn góc trong luôn bằng $360^\circ .$

Chọn C

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ .$

Suy ra $\widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right) = 360^\circ - \left( {60^\circ + 80^\circ + 100^\circ } \right) = 120^\circ .$

Chọn A

Tổng bốn góc trong tứ giác $ABCD$ bằng $360^\circ$ nên

$\widehat A + \widehat B = 360^\circ - \left( {\widehat C + \widehat D} \right) = 360^\circ - 150^\circ = 210^\circ .$

Xét tam giác $AIB,$ ta có

$\widehat {AIB} = 180^\circ - \left( {\widehat {IAB} + \widehat {IBA}} \right) = 180^\circ - \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2} = 180^\circ - \frac{{210^\circ }}{2} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ .$

Chọn A

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ có:

$AB = AD$ và $CB = CD$ và $AC$ là cạnh chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta ADC$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat B = \widehat D$ (hai góc tương ứng).

Lại có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ .$

Suy ra $100^\circ + \widehat B + 60^\circ + \widehat B = 360^\circ$

Do đó $2\widehat B = 200^\circ$ nên $\widehat B = 100^\circ .$

Chọn C

Theo định nghĩa, hình thang là tứ giác có ít nhất một cặp cạnh đối song song với nhau.

Chọn D

Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có thể là hình bình hành (khi hai đáy không bằng nhau thì nó mới là hình thang cân).

Chọn C

Theo tính chất của hình thang cân, hai đường chéo của nó có độ dài bằng nhau.

Chọn B

Vì là hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau và đều bằng 0,5 m.

Chu vi mặt bàn là tổng 4 cạnh bằng $1 + 1{,}6 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3{,}6$ (m).

Chọn B

Vì là hình thang cân nên $\widehat D = \widehat C = 60^\circ .$

Do $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {ABx} = \widehat C$ (đồng vị)

Mà $\widehat {ABx} + \widehat {ABC} = 180^\circ$ (kề bù)

Suy ra $\widehat B + \widehat C = 180^\circ$

Do đó $\widehat B = 180^\circ - \widehat C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .$

Chọn B

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC,$ mà $AB = AD$ suy ra $AB = AD = BC.$

Do $AB = AD$ nên $\Delta ABD$ cân tại $A,$ suy ra $\widehat {ADB} = \widehat {ABD}.$

Lại có $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc so le trong).

Từ đó $\widehat {ADB} = \widehat {BDC},$ tức là $DB$ là tia phân giác của $\widehat {ADC}.$

Chọn B

Theo định nghĩa, hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau.

Chọn C

Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nhưng không nhất thiết phải vuông góc với nhau (chỉ vuông góc khi là hình thoi).

Chọn D

Dựa vào dấu hiệu nhận biết, tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

Chọn B

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ (do $AM$ là trung tuyến) và $M$ là trung điểm của $AD$ (do $D$ đối xứng với $A$ qua $M).$

Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ABDC$ là hình bình hành.

Chọn C

Tứ giác chỉ có một cặp cạnh đối song song thì nó mới chỉ là hình thang, chưa đủ điều kiện để khẳng định là hình bình hành.

Chọn B

Theo định nghĩa, hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Chọn A

Hình chữ nhật vừa là hình bình hành (có các cặp cạnh đối song song) vừa là hình thang cân (hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau), do đó nó mang mọi tính chất của hai hình này.

Chọn A

Theo dấu hiệu nhận biết, một hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình chữ nhật.

Chọn B

Đường chéo là tia phân giác của các góc là tính chất riêng của hình thoi và hình vuông, hình chữ nhật thông thường không có tính chất này.

Chọn B

Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ của $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên

$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{10}}{2} = 5$ cm.

Chọn B

Theo định nghĩa, hình thoi là tứ giác có cả bốn cạnh bằng nhau.

Chọn B

Trong hình thoi, hai đường chéo không chỉ cắt nhau tại trung điểm mà còn vuông góc với nhau và là tia phân giác của các góc. Hình bình hành thường không có tính chất này.

Chọn C

Theo dấu hiệu nhận biết, một hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau sẽ trở thành hình thoi.

Chọn C

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AD\,{\rm{//}}\,BC$ và $AB = AD.$

Vì $AD\,{\rm{//}}\,BC$ nên $\widehat {xBC} = \widehat {BAD}.$

Mà $\widehat {xBC} + \widehat {ABC} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = 180^\circ ,$ do đó $\widehat {BAD} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ .$

Vì $AB = AD$ nên tam giác $ABD$ cân tại $A.$

Lại có $\widehat {BAD} = 60^\circ$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều.

Chọn A

Hình vuông là hình kết hợp các đặc điểm của cả hình chữ nhật và hình thoi nên nó có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

Chọn C

Hình chữ nhật đã có sẵn hai đường chéo bằng nhau và các góc bằng $90^\circ .$ Để trở thành hình vuông, nó cần mang thêm tính chất đặc trưng của hình thoi, đó là có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Chọn C

Hình bình hành có một góc vuông mới chỉ là hình chữ nhật, chưa đủ điều kiện để là hình vuông (cần thêm hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc). Do đó khẳng định C là sai.

Chọn D

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau mới chỉ là hình chữ nhật, để thành hình vuông thì cần thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc hoặc hai cạnh kề bằng nhau.

Chọn D

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ và $\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ .$

Vì $AD = AB$ và $DH = AE$ enen $AH = BE.$

Xét $\Delta HAE$ và $\Delta EBF$ có:

$\widehat A = \widehat B = 90^\circ ,$ $AE = BF,$ $AH = BE.$

Do đó $\Delta HAE = \Delta EBF$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $HE = EF$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {AEH} = \widehat {BFE}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat {AEH} = \widehat {BFE}$ và $\widehat {BEF} + \widehat {BFE} = 90^\circ$ nên $\widehat {BEF} + \widehat {AEH} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {HEF} = 90^\circ .$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta HAE,\Delta EBF,\Delta FCG,\Delta GDH$ bằng nhau.

Suy ra $HE = EF = FG = GH$ và các góc ở đỉnh của tứ giác $EFGH$ bằng $90^\circ .$

Do đó tứ giác $EFGH$ là hình vuông.

Chọn C

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C = 45^\circ .$

Tam giác $MDB$ vuông tại $D$ có một góc $45^\circ$ nên vuông cân tại $D,$ suy ra $MD = BD.$

Tương tự, tam giác $NEC$ vuông cân tại $E,$ suy ra $NE = EC.$

Do $BD = DE = EC$ nên ta có $MD = DE = NE.$

Tứ giác $MDEN$ có $MD\,{\rm{//}}\,NE$ (cùng vuông góc với $BC)$ và $MD = NE$ nên là hình bình hành.

Mặt khác, hình bình hành này có $\widehat {MDE} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

Lại có hai cạnh kề $MD = DE$ nên $MDEN$ là hình vuông.

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

a) Sai. Tứ giác $ADME$ có $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ$ nên $\widehat M = 90^\circ .$

Tứ giác có bốn góc vuông chỉ đủ điều kiện để trở thành hình chữ nhật.

b) Đúng. Vì tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật, nên hai đường chéo bằng nhau và giao nhau tại trung điểm, tức là $AM$ và $DE$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm.

c) Sai. Để hình chữ nhật $ADME$ trở thành hình vuông, đường chéo $AM$ phải là đường phân giác của góc $A.$ Do đó, $M$ phải là chân đường phân giác, không nhất thiết phải là trung điểm (trừ khi tam giác $ABC$ vuông cân).

d) Đúng. Ta đã xác định được để $ADME$ là hình vuông thì $AM$ phải là đường phân giác của góc $A.$

Khi đó $\widehat {BAM} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

a) Sai. Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $ABCD$ là hình bình hành.

b) Sai. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AB = CD.$

Điểm $E$ đối xứng với $C$ qua $D$ nên $D,\,\,C,\,\,E$ thẳng hàng và $CD = DE.$

Suy ra $AB\,{\rm{//}}\,DE$ và $AB = DE.$

Khi đó tứ giác $ABDE$ là hình bình hành (chưa đủ cơ sở để các cạnh kề bằng nhau tạo thành hình thoi).

c) Đúng. Để $ABDE$ là hình chữ nhật thì $\widehat {ABD} = 90^\circ$ nên $AB \bot BD.$

d) Đúng. Để $ABDE$ là hình vuông thì $ABDE$ vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Theo ý c) để $ABDE$ là hình chữ nhật thì $\widehat {ABD} = 90^\circ$.

Để $ABDE$ là hình thoi thì $AB = BD.$

Khi đó $\Delta ABD$ vuông cân tại $B,$ nên $\widehat {BAD} = 45^\circ .$

a) Đúng. Tứ giác $AEDF$ có $DE\,{\rm{//}}\,AF,\,\,DF\,{\rm{//}}\,AE$ thì $AEDF$ là hình bình hành.

b) Sai. Để hình bình hành $AEDF$ là hình thoi, đường chéo $AD$ phải là đường phân giác của góc $A.$ Do đó $D$ phải là chân đường phân giác của góc $A.$

c) Sai. Để hình bình hành $AEDF$ là hình chữ nhật thì $\widehat A = 90^\circ$ tức tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

d) Đúng. Để hình bình hành $AEDF$ là hình vuông thì $AEDF$ vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Từ ý b) ta có $\Delta ABC$ có $AD$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên $\Delta ABC$ cân tại $A.$

Kết hợp với ý c) ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $A.$

a) Đúng. Tứ giác $ABCD$ có $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $ABCD$ là hình thang.

Hình thang $ABCD$ có $\widehat C = \widehat D$ nên là hình thang cân.

b) Sai. Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau, nhưng chúng không hề cắt nhau tại trung

c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình thang cân nên ta có cạnh bên $AD = BC.$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BCD$ có:

$AD = BC,$ $AC = BD,$ $DC$ là cạnh chung.

Do đó $\Delta ADC = \Delta BCD$ (c.c.c).

d) Sai. Từ $\Delta ADC = \Delta BCD$ suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {BDC},$ dẫn đến tam giác $\Delta ODC$ cân tại $O,$ suy ra $OD = OC.$

Lại có $AC = BD,$ suy ra $OA = OB,$ tức là tam giác $\Delta OAB$ cân tại $O.$

Hai tam giác ở hai bên là $\Delta OAD$ và $\Delta OBC$ không phải là tam giác cân (chúng chỉ có diện tích bằng nhau).

a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $AD = BC.$

Tứ giác $AECF$ có $AE\,{\rm{//}}\,CF$ và $AE = CF$ nên $AECF$ là hình bình hành.

b) Sai. Vì $AECF$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì $O$ đã là trung điểm của $AC,$ nên $O$ cũng phải là trung điểm của $EF.$ Do đó ba điểm $E,O,F$ thẳng hàng.

c) Sai. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AC,\,\,BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Do đó $OD = OB.$

Mà $DM = BN,$ suy ra $OM = ON.$

Tứ giác $EMFN$ có hai đường chéo $EF$ và $MN$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên là hình bình hành. Để là hình thoi, hai đường chéo phải vuông góc với nhau, điều này không có cơ sở để khẳng định.

d) Đúng. Vì $DI\,{\rm{//}}\,BK$ nên $\widehat {IAE} = \widehat {ABC}$ (so le trong).

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {FCK}$ (đồng vị).

Suy ra $\widehat {IAE} = \widehat {FCK}.$

Vì $AK\,{\rm{//}}\,CI$ nên $\widehat {AEI} = \widehat {CFK}.$ (so le trong).

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {EAK} = \widehat {AFD}$ (so le trong).

Mà $\widehat {AFD} = \widehat {CFK}$ (đối đỉnh) suy ra $\widehat {AEI} = \widehat {CFK}.$

Xét $\Delta IAE$ và $\Delta KCF$ có:

$\widehat {IAE} = \widehat {KCF},$ $AE = CF,$ $\widehat {AEI} = \widehat {CFK}.$

Do đó $\Delta IAE = \Delta KCF$ (c.g.c).

Suy ra $IA = KC$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AD = BC$ nên $IA + AD = KC + BC$ hay $DI = BK.$

a) Đúng. Vì $DE$ là tia phân giác của góc $D$ nên $\widehat {ADE} = \widehat {CDE}.$

Do $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {AED} = \widehat {CDE}.$

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {AED}.$ Do đó $\Delta ADE$ cân tại $A.$

b) Đúng. Vì $\Delta ADE$ cân tại $A$ nên $AD = AE.$

Khi đó $AB = AE + EB = AD + BE.$

c) Sai. Chu vi hình bình hành là $2 \cdot \left( {AB + AD} \right) = 30$ (cm)

Suy ra $AB + AD = 15$ (cm).

Mà $AB = AD + BE = AD + 3$ (cm)

Nên $\left( {AD + 3} \right) + AD = 15$

$2 \cdot AD = 12$

$AD = 6$ cm.

d) Sai. Từ $AD = 6$ cm suy ra $AB = 9{\rm{ cm}}.$

Từ đỉnh $D$ kẻ đường vuông góc $DH \bot AB$ tại $H.$

Diện tích hình bình hành $ABCD$ là: $S = AB \cdot DH = 9 \cdot DH$ (cm$^{2}$).

Trong $\Delta AHD,$ cạnh góc vuông $DH$ luôn nhỏ hơn cạnh huyền $AD$ (do góc $A$ là góc tù, điểm $H$ nằm ngoài đoạn $AB).$

Do đó $DH < 6$ cm.

Suy ra $S = 9DH < 9 \cdot 6 = 54$ cm$^{2}$.

Do đó, diện tích không bao giờ có thể đạt tới giới hạn 54 cm$^{2}$.

a) Đúng. Tam giác $ABD$ có $AB = AD$ (tính chất các cạnh hình thoi) nên là tam giác cân.

Tam giác cân có $\widehat A = 60^\circ$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều.

b) Sai. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AD\,{\rm{//}}\,BC$ và $BD$ là tia phân giác của góc $B.$

Vì $AD\,{\rm{//}}\,BC$ nên dễ dàng chứng minh được $\widehat A + \widehat B = 180^\circ ,$ suy ra $\widehat B = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .$

Vì $BD$ là tia phân giác của góc $B$ suy ra $\widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ .$

Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều nên $\widehat {ADB} = 60^\circ$ và $AD = BC.$

Xét $\Delta ADM$ và $\Delta BDN$ có:

$AD = BC,\,\,\widehat {MAD} = \widehat {NBD} = 60^\circ ,\,\,AM = BN.$

Do đó $\Delta ADM = \Delta BDN$ (c.g.c).

c) Đúng. Vì $\Delta ADM = \Delta BDN$ (c.g.c) nên ta có $\widehat {ADM} = \widehat {BDN}.$

Khi đó $\widehat {MDN} = \widehat {MDB} + \widehat {BDN} = \widehat {MDB} + \widehat {ADM} = \widehat {ADB} = 60^\circ .$

Vậy $\widehat {MDN}$ bằng $60^\circ$ chứ không phải $90^\circ .$

d) Sai. Ta có $DM = DN$ (do $\Delta ADM = \Delta BDN)$ và góc $\widehat {MDN} = 60^\circ ,$ nên $\Delta MDN$ là tam giác đều.

Chu vi tam giác đều bằng $3DM.$

Để chu vi đạt giá trị nhỏ nhất thì đoạn thẳng $DM$ phải ngắn nhất.

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, $DM$ ngắn nhất khi nó vuông góc với $AB.$

Trong tam giác đều $ABD,$ đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, do đó $M$ bắt buộc phải là trung điểm của cạnh $AB.$

a) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat D = 90^\circ .$

Do $AE$ là phân giác góc $\widehat A = 90^\circ$ nên $\widehat {DAE} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Tam giác $ADE$ có $\widehat D = 90^\circ$ và $\widehat {DAE} = 45^\circ$ nên tam giác này vuông cân tại $D.$

b) Sai. Vì tam giác $ADE$ vuông cân tại $D$ suy ra $AD = DE.$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta BCE$ vuông cân tại $C$ nên $CB = CE.$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC$.

Do đó $CD = DE + EC = AD + BC = 2AD.$

c) Sai. Chu vi hình chữ nhật là $2\left( {AD + CD} \right) = 36$ (cm).

Suy ra $2\left( {AD + 2AD} \right) = 36$

$6AD = 36$

$AD = 6$ cm.

Khi đó $CD = 2AD = 2 \cdot 6 = 12$ cm.

d) Đúng. Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là $S = AD \cdot CD = 6 \cdot 12 = 72$ (cm$^{2}$).

Diện tích tam giác vuông $ADE$ là ${S_{ADE}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ (cm$^{2}$).

Diện tích tam giác vuông $BCE$ là ${S_{BCE}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ (cm$^{2}$).

Tổng diện tích hai tam giác này là $18 + 18 = 36$ (cm$^{2}$).

Diện tích tam giác $ABE$ chính là phần diện tích còn lại của hình chữ nhật: ${S_{ABE}} = 72 - 36 = 36$ (cm$^{2}$).

Vậy ${S_{\Delta ABE}} = {S_{\Delta ADE}} + {S_{\Delta BCE}} = 36$ cm$^{2}$.

a) Sai. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD$ và $\widehat B = \widehat C = 90^\circ .$

Vì $M,$ $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,$ $CD$ nên

$BM = MC = \frac{1}{2}BC,\,\,CN = DN = \frac{1}{2}CD.$

Do đó $BM = CM = CN = DN.$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta BCN$ có:

$\widehat B = \widehat C = 90^\circ ,\,\,AB = BC,\,\,BM = CN$

Do đó $\Delta ABM = \Delta BCN$ (hai cạnh góc vuông).

b) Đúng. Vì $\Delta ABM = \Delta BCN$ nên $\widehat {BAM} = \widehat {CBN}$.

Mà $\widehat {CBN} + \widehat {ABN} = \widehat B = 90^\circ$ nên $\widehat {HAB} + \widehat {HBA} = 90^\circ .$

Xét $\Delta ABH$ có $\widehat {HAB} + \widehat {HBA} = 90^\circ$ nên

$\widehat {AHB} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAB} + \widehat {HBA}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$

Suy ra $AM \bot BN.$

c) Đúng. Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ICM$ có:

$\widehat B = \widehat C = 90^\circ ,\,\,BM = CM,\,\,\widehat {AMB} = \widehat {IMC}$ (đối đỉnh).

Do đó $\Delta ABM = \Delta ICM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $AB = CI$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = CD$ nên $CD = CI,$ do đó $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $DI.$

d) Sai. Xét $\Delta HNI$ vuông tại $H$ có $HP$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $NI$ nên $HP = \frac{1}{2}NI.$

Lại có $NI = NC + CI = \frac{1}{2}CD + CD = \frac{3}{2}CD.$

Do đó $HP = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}CD = \frac{3}{4}CD.$

a) Sai. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD = AB = BC = CD$.

Ta có $AD = AB$ và $DQ = AM$, suy ra $AQ = BM$.

Xét $\Delta AMQ$ vuông tại $A$ và và $\Delta BNM$ vuông tại $B$ có:

$AM = BN$ và $AQ = BM$

Do đó $\Delta AMQ = \Delta BNM$ (hai cạnh góc vuông).

b) Đúng. Vì $\Delta AMQ = \Delta BNM$ nên $\widehat {AMQ} = \widehat {BNM}$ (hai góc tương ứng).

Vì $\Delta BNM$ vuông tại $B$ nên $\widehat {BMN} + \widehat {BNM} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {BMN} + \widehat {AMQ} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {NMQ} = 180^\circ - \left( {\widehat {BMN} + \widehat {AMQ}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

c) Đúng. Chứng minh tương tự ý a), ta có $\Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP.$

Suy ra $QM = MN = NP = PQ$.

Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình thoi.

Lại có $\widehat {NMQ} = 90^\circ$ nên $MNPQ$ là hình vuông.

d) Sai. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ và $O$ là trung điểm của $AC.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {OAM} = \widehat {OCP}$ (so le trong).

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OA = OC.$

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCP$ có:

$OA = OC,\,\,\widehat {OAM} = \widehat {OCP},\,\,AM = CP$

Do đó $\Delta OAM = \Delta OCP$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {COP}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {AOM} + \widehat {MOC} = 180^\circ$ nên $\widehat {COP} + \widehat {MOC} = 180^\circ$

Hay $\widehat {MOP} = 180^\circ$ nên ba điểm $M,O,P$ thẳng hàng.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Trong mỗi câu hỏi, thí sinh viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.

$\widehat D = 360^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 80^\circ + 90^\circ } \right) = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ .$

Đáp án: 80.

Góc tù là góc có số đo lớn hơn $90^\circ .$

Nếu tứ giác có 4 góc tù thì tổng 4 góc sẽ lớn hơn $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ (trái với định lí tổng 4 góc tứ giác). Do đó tứ giác có nhiều nhất 3 góc tù.

Đáp án: 3.

Do $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên dễ dàng chứng minh được $\widehat A + \widehat D = 180^\circ .$

Kết hợp với $\widehat A - \widehat D = 20^\circ$ suy ra $\widehat A = 100^\circ .$

Đáp án: 100.

Nửa chu vi của hình bình hành là tổng độ dài hai cạnh kề nhau và bằng $30:2 = 15$ cm. Cạnh kề còn lại có độ dài là $15 - 9 = 6$ cm.

Đáp án: 6.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của mỗi đường chéo nên

$AC = 2 \cdot OA = 8$ cm .

Đáp án: 8.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD$ và $O$ là trung điểm của $AC,\,\,BD$

Do đó $OA = OD.$ Suy ra $\Delta OAD$ cân tại $O$.

Khi đó $\widehat {OAD} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOD}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ .$

Đáp án: 30.

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat C = \widehat D.$

Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ nên $\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}} = \frac{1}{2}\widehat D.$

Suy ra $\widehat C = 2\widehat {{D_2}}.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ nên $\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}$ (so le trong). Do đó $\widehat C = 2\widehat {{B_1}}.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ dễ dàng chứng minh được $\widehat B + \widehat C = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {{B_1}} + \widehat {DBC} + 2\widehat {{B_1}} = 180^\circ$

$3\widehat {{B_1}} + 90^\circ = 180^\circ$

$$3\widehat {{B_1}} = 90^\circ$$

$$\widehat {{B_1}} = 30^\circ$$

Suy ra $\widehat D = \widehat C = 60^\circ .$

Gọi $O$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Khi đó $\Delta OCD$ có $\widehat D = \widehat C = 60^\circ$ nên là tam giác đều.

Suy ra $OD = OC = CD.$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC.$

Lại có $\Delta ABD$ cân tại $A$ (do $\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}$ vì cùng bằng $\widehat {{D_2}})$ nên $AB = AD$

Suy ra $AB = AD = BC = 3$ cm.

Vì $OD = OC$ và $AD = BC$ nên $OA = OB$.

Xét $\Delta OAB$ có $OA = OB$ và $\widehat O = 60^\circ$ nên $\Delta OAB$ là tam giác đều.

Suy ra $OA = OB = AB = 3$ (cm).

Khi đó $OD = OA + AD = 3 + 3 = 6$ (cm) nên $CD = 6$ (cm).

Chu vi của hình thang $ABCD$ là

$AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 18$ cm.

Xét tam giác vuông $ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC,$ nên $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{6}{2} = 3{\rm{ cm}}.$

Vì $ME\,{\rm{//}}\,AC$ và $AB \bot AC,$ nên $ME \bot AB,$ suy ra $\widehat {MEA} = 90^\circ .$

Vì $MF\,{\rm{//}}\,AB$ và $AC \bot AB,$ nên $MF \bot AC,$ suy ra $\widehat {MFA} = 90^\circ .$

Xét tứ giác $AEMF$ có $\widehat A = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = 90^\circ$ nên $\widehat {EMF} = 90^\circ$, do đó nó là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật $AEMF,$ hai đường chéo $AM$ và $EF$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường.

Suy ra $EI = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5$ (cm).

Đáp án: 1,5.