Bài tập ôn tập Toán 8 Chương 2 (có đáp án)

Chọn A.

$M = {\left( {2x + 1} \right)^2} + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {3 - x} \right) + {\left( {3 - x} \right)^2} = {\left[ {\left( {2x + 1} \right) + \left( {3 - x} \right)} \right]^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}$.

Chọn B.

${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 2 = 7 + 2 = 9$.

Suy ra $x + \frac{1}{x} = 3$ (vì $x > 0$ nên $x + \frac{1}{x} > 0)$.

Chọn B.

$A = {x^2} - 6x + 12 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 3 \ge 3.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x - 3} \right)^2} = 0$ hay $x = 3.$

Chọn B.

$P = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + 7 = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 7 \ge 7$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x - 2} \right)^2} = 0$ và ${\left( {y - 3} \right)^2} = 0$ hay $x = 2$ và $y = 3.$

Chọn A.

${\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^3} - 3{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} \cdot 1 + 3\left( {\frac{1}{2}x} \right) \cdot {1^2} - {1^3} = \frac{1}{8}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x - 1$.

Chọn A.

$\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - {x^3} = \left( {{x^3} + 27} \right) - {x^3} = 27$.

Chọn B.

${x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$.

Chọn B.

${\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} = \left( {{x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}} \right) - \left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right) = 6{x^2}y + 2{y^3}$.

Chọn A.

${\left( {x + 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - 6{x^2} = {\left( {x + 2} \right)^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) - 6{x^2}$

$= {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 - {x^3} + x - 6{x^2} = 13x + 8$.

Chọn B.

Vì ${x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)$ nên ${x^3} - {y^3}$ chia hết cho $x - y.$

Chọn C.

${x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)$.

Chọn A.

${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$

$20 = 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$

Suy ra ${a^2} - ab + {b^2} = 10$.

Chọn A.

$3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$.

Chọn A.

$5x\left( {x - y} \right) - 10\left( {y - x} \right)$$= 5x\left( {x - y} \right) + 10\left( {x - y} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {5x + 10} \right) = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + 2} \right)$.

Chọn A.

$125 + {y^3} = {5^3} + {y^3} = \left( {5 + y} \right)\left( {25 - 5y + {y^2}} \right)$.

Chọn A.

${x^2} - 4x + 4 - {y^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - 2 - y} \right)\left( {x - 2 + y} \right) = \left( {x - y - 2} \right)\left( {x + y - 2} \right).$

Chọn C.

${x^3} - x = x\left( {{x^2} - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$.

Chọn A.

$ax + by + ay + bx = \left( {ax + ay} \right) + \left( {by + bx} \right) = a\left( {x + y} \right) + b\left( {y + x} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {a + b} \right)$.

Chọn B.

${x^2} - 2x + 1 = 0$

${\left( {x - 1} \right)^2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$.

Chọn B.

${x^2} - 5x = 0.$

$x\left( {x - 5} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 5$.

Chọn A.

${x^3} - 2{x^2} + x$$= x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}$.

Chọn B.

${x^4} - 16 = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)$.

Chọn A.

$${x^4} + {x^2} + 1 = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) - {x^2} = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {x^2}$$

$= \left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1 + x} \right) = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$.

Chọn A.

${x^2} + 5x + 6$$= {x^2} + 2x + 3x + 6$$= \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)$.

a) Sai. Khai triển đúng là ${\left( {2x} \right)^2} + 2 \cdot 2x \cdot 3 + {3^2} = 4{x^2} + 12x + 9.$

b) Đúng. $A = {\left( {2 \cdot 0 + 3} \right)^2} = {3^2} = 9.$

c) Sai. Nếu $A = {\left( {2x + 3} \right)^2} = 25$ thì $2x + 3 = 5$ hoặc $2x + 3 = - 5$, suy ra $x = 1$ hoặc $x = - 4$.

d) Sai. Vì $A = {\left( {2x + 3} \right)^2} \ge 0$ nên $A$ không âm với mọi $x \in \mathbb{R}.$

a) Đúng. Ta có $P = {x^2} - 6x + 9 = {x^2} - 2 \cdot x \cdot 3 + {3^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}.$

b) Đúng. $P = {\left( {x - 3} \right)^2}.$

c) Sai. $P = {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

d) Đúng. Vì $P$ luôn không âm nên giá trị nhỏ nhất là 0. Giá trị này xảy ra khi và chỉ khi${\left( {x - 3} \right)^2} = 0$ nghĩa là $x = 3.$

a) Đúng. Ta có $M = {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6$

$= \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) + 1$

$= {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1.$

b) Đúng. Vì ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ và ${\left( {y + 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,\,\,y \in \mathbb{R}$ nên:

$M = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1 > 0$ với mọi $x,\,\,y \in \mathbb{R}.$

c) Đúng. $M = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + 1 \ge 1$ với mọi $x,\,\,y \in \mathbb{R}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được khi các bình phương bằng 0, tức là $M = 1.$

d) Sai. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {x - 1} \right)^2} = 0$ và ${\left( {y + 2} \right)^2} = 0$, tức là $x = 1$ và $y = - 2.$

a) Đúng. Ta có ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 26 + 2 \cdot 5 = 36.$

b) Đúng. Ta có ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab = 26 - 2 \cdot 5 = 16.$

c) Sai. Từ kết quả câu a) và b), vì $a,b > 0$ nên $a + b = \sqrt {36} = 6$. Vì $a > b$ nên $a - b = \sqrt {16} = 4.$

d) Sai. Ta có ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 4 \cdot 6 = 24$.

a) Đúng. Ta có $x + y = 2$ suy ra ${\left( {x + y} \right)^2} = 4$.

b) Sai. Ta có ${\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy.$

Thay số vào ta được $4 = 10 + 2xy,$ suy ra $2xy = - 6,$ nên $xy = - 3.$

c) Đúng. Ta có ${\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy = 10 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 10 + 6 = 16.$

d) Sai. Vì ${\left( {x - y} \right)^2} = 16$ nên $x - y = - 4$ hoặc $x - y = - 4.$

Mà $x < y$ nên $x - y = - 4$, vì vậy $x - y = - 4.$

a) Đúng. $D = {x^3} - 8 = {x^3} - {2^3}.$

b) Đúng. $D = {x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right).$

c) Sai. ${x^2} + 2x + 4 = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$

d) Đúng. Với $x > 2$ thì $x - 2 > 0$.

Mà ${x^2} + 2x + 4 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}.$ nên $D = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) > 0$ với mọi $x > 2$.

a) Sai. Biểu thức có dạng chuẩn ${\left( {a + b} \right)^3}$ với các thành phần tương ứng là $a = 2x$ và $b = 1.$

$M = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 = {\left( {2x} \right)^3} + 3 \cdot {\left( {2x} \right)^2} \cdot 1 + 3 \cdot \left( {2x} \right) \cdot {1^2} + {1^3} = {\left( {2x + 1} \right)^3}.$

b) Đúng. $M = {\left( {2x + 1} \right)^3}.$

c) Sai. Thay $x = 1$ vào biểu thức ở ý b), ta được:

$M = {\left( {2 \cdot 1 + 1} \right)^3} = {3^3} = 37.$

d) Đúng. Theo ý c), ta có $8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 = 27$ khi $x = 1.$

Suy ra $8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 - 27 = 0$ khi $x = 1.$

Hay $8{x^3} + 12{x^2} + 6x - 26 = 0$ khi $x = 1.$

Do đó $x = 1$ hoàn toàn thỏa mãn $8{x^3} + 12{x^2} + 6x - 26 = 0$.

a) Sai. Đây là dạng khai triển của lập phương một tổng, không phải một hiệu.

b) Đúng. Thay $y = x - 2$ vào biểu thức ban đầu ta thu được kết quả $M = {y^3} + 6{y^2} + 12y + 8.$

c) Đúng. Từ ý b, ta viết lại $M = {\left( {y + 2} \right)^3}.$

Thay ngược $y = x - 2$ vào ta được $M = {\left( {x - 2 + 2} \right)^3} = {x^3}.$

d) Sai. Thay $x = - 2$ vào $M = {x^3},$ ta có $M = {\left( { - 2} \right)^3} = - 8.$

a) Đúng. Đặt nhân tử chung là $n,$ ta có $A = {n^3} - n = n\left( {{n^2} - 1} \right).$

b) Đúng. Áp dụng hiệu hai bình phương cho ${n^2} - 1,$ ta có

$A = n\left( {{n^2} - 1} \right) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) = \left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right).$

c) Đúng. Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn có ít nhất một số chẵn (chia hết cho 2).

Do đó $A$ chắc chắn chia hết cho 2.

d) Sai. Trong ba số nguyên liên tiếp, luôn có một số chia hết cho $3.$

Vì $A$ chia hết cho cả $2$ và $3,$ mà $2$ và $3$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nên $A$ luôn chia hết cho tích của chúng là $2 \cdot 3 = 6.$

a) Đúng. Ta thêm và bớt hạng tử $4{x^2}{y^2}$ để nhóm thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng, từ đó thu được biểu thức:

$N = {x^4} + 4{x^2}{y^2} + 4{y^4} - 4{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)^2} - {\left( {2xy} \right)^2}.$

b) Đúng. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho kết quả vừa tìm được ở ý a, ta thu được biểu thức tích là

$N = {\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)^2} - {\left( {2xy} \right)^2} = \left( {{x^2} + 2{y^2} - 2xy} \right)\left( {{x^2} + 2{y^2} + 2xy} \right)$

$= \left( {{x^2} - 2xy + 2{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right).$

c) Sai. Ta có ${x^2} - 2xy + 2{y^2} = {\left( {x - y} \right)^2} + {y^2} \ge 0$ với mọi số thực $x$ và $y.$

Do đó ${x^2} - 2xy + 2{y^2}$ luôn nhận giá trị không âm (gồm các giá trị dương và bằng 0) với mọi số thực $x$ và $y.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = 0.$

d) Sai. Tương tự ý c, nhân tử thứ hai cũng biến đổi thành ${x^2} + 2xy + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} \ge 0.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = 0.$

Khi hai số $x$ và $y$ không đồng thời bằng 0 thì ${\left( {x - y} \right)^2} + {y^2} > 0$ và ${\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} > 0$.

Vậy khi đó tích của chúng $N = \left( {{x^2} - 2xy + 2{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right)$ luôn là một số dương.

Ta có ${\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}$

Suy ra ${x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {4^2} - 2 \cdot 3 = 16 - 6 = 10.$

Đáp án: 10.

${\left( {x - 2} \right)^3} = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8$. Hệ số của ${x^2}$ là $- 6$.

Đáp án: –6.

${\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot \frac{1}{2}y + 3 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{2}y} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}y} \right)^3}$

$= {x^3} + \frac{3}{2}{x^2}y + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{4}{y^2} + \frac{1}{8}{y^3}$

$= {x^3} + \frac{3}{2}{x^2}y + \frac{3}{4}x{y^2} + \frac{1}{8}{y^3}.$

Hệ số của hạng tử chứa $x{y^2}$ là $\frac{3}{4}$ hay $0{,}75.$

Đáp án: 0,75.

$A = {x^2} - 12x + 40 = {x^2} - 12x + 36 + 4 = {\left( {x - 6} \right)^2} + 4.$

Vì ${\left( {x - 6} \right)^2} \ge 0$ nên giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng 4.

Đáp án: 4.

${\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {x^3} - {y^3} - 3xy\left( {x - y} \right)$.

Suy ra ${x^3} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3} + 3xy\left( {x - y} \right) = {2^3} + 3 \cdot 3 \cdot 2 = 8 + 18 = 26$.

Đáp án: 26.

${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7$

${x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = 9$

${x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 9$

${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {3^2}$

Vì $x > 0$ nên $x + \frac{1}{x} = 3.$

Ta có ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)$.

Suy ra ${x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {3^3} - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18.$

Đáp án: 18.

${x^2} + 7x + 10 = {x^2} + 2x + 5x + 10 = x\left( {x + 2} \right) + 5\left( {x + 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right).$

Vậy $a + b = 2 + 5 = 7.$

Đáp án: 7.

${x^3} - 4x = 0$

$x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0$

$x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 2 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 2$ hoặc $x = - 2$

Vì $x > 0$ nên ta chỉ nhận $x = 2.$

Đáp án: 2.

${\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2}$

$= {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}$

$= {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right).$

Suy ra ${10^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 \cdot 15.$

Do đó ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 100 - 30 = 70.$

Đáp án: 70.

Từ giả thiết $a + b + c = 0$, ta có $a + b = - c$.

Suy ra ${\left( {a + b} \right)^3} = {\left( { - c} \right)^3}$

${a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = - {c^3}$

${a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) = - {c^3}$

${a^3} + {b^3} + 3ab\left( { - c} \right) = - {c^3}$

${a^3} + {b^3} - 3abc = - {c^3}$

${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.$

Khi đó, $P = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} = \frac{{3abc}}{{abc}} = 3.$

Đáp án: 3.