Bài tập ôn tập Toán 7 Chương 9 (có đáp án)

Chọn B

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có $\left| {MN - NP} \right| < MP < MN + NP.$

Chọn B

Xét $\Delta ABM$, theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, có: $AB + AM > BM$. Phương án A đúng.

Ta có: $AM + MC = AC < BC$ vì $BC$ là cạnh lớn nhất trong $\Delta ABC$.

Do đó, phương án B là sai.

Vì $BC$ đối diện góc $A$ $\left( {\widehat A = 90^\circ } \right)$, do đó $BC > BA.$ Phương án C đúng.

Có $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ nên đường xiên $BC > BM > BA.$ Phương án D đúng.

Chọn D

Do $10{\rm{ cm}} > 8{\rm{ cm}} > 6{\rm{ cm}}$ hay $AC > BC > AB$ nên $\widehat B > \widehat A > \widehat C$ (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Chọn C

Xét $\Delta MNP$ có $MN < MP < NP$.

Do đó, theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, ta có $\widehat P < \widehat N < \widehat M$.

Chọn B

Trong $\Delta ABC$ có $AC > BC > AB$.

Do đó, theo quan hệ của góc và cạnh đối diện trong tam giác thì $\widehat C < \widehat A < \widehat B$.

Chọn A

Ta có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)

Do đó, $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ + 50^\circ } \right) = 60^\circ$.

Suy ra $\widehat A < \widehat C < \widehat B$, do đó $BC < AB < AC$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Chọn C

Ba cạnh của tam giác có độ dài là $6{\rm{\;cm}}\,;\,\,7{\rm{\;cm}}\,;\,\,\,8{\rm{\;cm}}$ thì góc lớn nhất là góc đối diện cạnh có độ dài $8{\rm{\;cm}}$.

Chọn B

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)

Lại có, $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 4:3:2$ hay $\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{2}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{{\widehat A}}{4} = \frac{{\widehat B}}{3} = \frac{{\widehat C}}{2} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{180^\circ }}{9} = 20^\circ$.

Suy ra $\widehat A = 80^\circ ;\,\,\widehat B = 60^\circ ;\,\widehat {\,C} = 40^\circ$.

Vì $\widehat A > \,\widehat B > \widehat {\,C}\,\,\,\left( {80^\circ > 60^\circ > 40^\circ } \right)$ nên $BC > AC > AB$ (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam

giác)

Chọn D

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm $A$ đến đường thẳng $BF$ thì đường vuông góc $AD$ là đường ngắn nhất

Chọn C

Có đường cao $BH$ là đường cao, $AH,\,\,HC$ là các đường xiên. Do đó, $AH > BH$.

Chọn C

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Chọn D

Trong tam giác $ABC$ có $AH$ là đường vuông góc và $BH,CH$ là hai hình chiếu.

Khi đó:

Nếu $BH < HC$ thì $AB < AC.$

Nếu $AB < AC$ thì $BH < HC.$

Nếu $BH = HC$ thì $AB = AC.$

Do đó, cả A, B, C đều đúng.

Chọn A

Ta có $MH$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ xuống đường thẳng $d$ và $MB\,,{\rm{ }}MA$ là các đường xiên.

Do đó, $MH$ là đoạn thẳng có độ dài ngắn nhất.

Chọn B

Nhận thấy $3 + 6 < 12$. Do đó, bộ ba $3{\rm{\;cm}}\,,\,\,6{\rm{\;cm}}\,,\,\,12{\rm{\;cm}}$ không là bộ ba cạnh của một tam giác.

Chọn C

Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác cân đó là $x$ (cm).

Ta có: $7{,}9 - 3{,}9 < x < 7{,}9 + 3{,}9$ hay $4 < x < 11{,}8$.

Mà tam giác trên là tam giác cân nên $x = 7{,}9\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy chu vi tam giác cân đó là: $3{,}9 + 7{,}9 + 7{,}9 = 19{,}7\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chọn C

Nhận thấy $2 + 5 = 7$, do đó bộ ba độ dài $2\,\,{\rm{cm}}\,,\,\,5{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}\,,\,\,7{\rm{\;}}\,{\rm{cm}}$ không thể là ba cạnh của một tam giác.

Chọn D

Gọi độ dài cạnh $AC$ là $x$ (cm), $x > 11,\,\,x \in \mathbb{Z}$.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có: $10 - 7 < x < 10 + 7$ hay $3 < x < 17$.

Mà $x$ là số nguyên tố lớn hơn 11 nên $x = 13{\rm{\;cm}}$.

Chọn D

Gọi độ dài cạnh $AC$ là $x$ (cm), $x > 0,\,\,x \in \mathbb{Z}$.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có: $4 - 1 < x < 4 + 1$ hay $3 < x < 5$.

Do đó, $x = 4\,\,{\rm{cm}}$.

Chọn A

Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác cân đó là $x$ (cm).

Ta có: $9 - 1 < x < 9 + 1$ hay $8 < x < 10$.

Vì $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên $x = 9\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy $AB = 9\,\,{\rm{cm}};\,\,\Delta ABC$ cân.

Chọn A

TH1: $\Delta ABC$ cân tại $A$ có cạnh bằng $5{\rm{\;cm}}$ là cạnh bên.

Suy ra độ dài cạnh đáy là: $17 - 5 - 5 = 7{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ (thỏa mãn vì $7 - 5 < 5 < 7 + 5$)

TH2: $\Delta ABC$ cân tại $A$ có cạnh bằng $5{\rm{\;cm}}$ là cạnh đáy.

Duy ra độ dài cạnh bên của tam giác đó là $\left( {17 - 5} \right):2 = 6{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ (thỏa mãn vì $6 - 5 < 5 < 6 + 5$).

Do đó, độ dài cạnh $BC$ của tam giác đó là 7 cm hoặc 5 cm.

Chọn A

Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Chọn A

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Chọn A

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác đều $ABC$ thì $GA = GB = GC$.

Chọn B

Hình b biểu diễn giao điểm của ba đường trung trực trong một tam giác.

Chọn D

Nếu các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại điểm $A$ thì $A$ cách đều ba cạnh tam giác.

Chọn B

⦁ Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó;

⦁ Giao điểm của ba đường phân giác của một tam giác là điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó;

⦁ Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến;

⦁ Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.

Vậy ta chọn phương án B.

Chọn B

Trực tâm là giao điểm của ba đường cao. Do đó, hình 2 biểu diễn trực tâm của tam giác.

Chọn A

Nhận thấy, $DN$ và $EP$ là các đường trung tuyến.

Mà $DN$ cắt $EP$ tại $G$, do đó $G$ là trọng tâm của $\Delta DEF$.

Do đó, ta có: $DG = \frac{2}{3}DN = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\,\,{\rm{cm}}$.

Chọn D

Trong $\Delta MNP$ cân tại $M$ nên đường phân giác $MS$ cũng chính là đường cao.

Do đó, hai đường cao $PQ$ và $MS$ cắt nhau tại $K$ thì $K$ là trực tâm của $\Delta MNP$.

Suy ra $NK \bot MP$.

Do đó, cả A, B, C đều đúng.

Vậy khẳng định D là sai.

Chọn C

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$.

Xét $\Delta MBC$ có $MD$ vừa là đường cao vừa là đường trung trực nên $\Delta MBC$ cân tại $M$.

Do đó, $\widehat {MCB} = \widehat {MBC} = 30^\circ$.

Có $\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {MBD} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Do đó, $\widehat {ABM} = \widehat {MBC} = 30^\circ$.

Suy ra $BM$ là phân giác $\widehat {ABC}$ của $\Delta ABC$.

Chọn A

Có $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên ta có: $AG = \frac{2}{3}AM$.

Do đó, $AM = \,\frac{3}{2}AG = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Chọn D

Vì cột đèn cách đều 3 điểm trên hòn núi đá và đó cùng là ba đỉnh của tam giác nên vị trí cột đèn sẽ nằm ở tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác hay chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Chọn C

Vị trí điểm $H$ chính là trọng tâm của tam giác. Do đó, bạn Bình vẽ hai đường trung tuyến cắt nhau tại $H.$

Chọn D

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến.

Suy ra $AM$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$.

Mà $BH$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$ và $AM$ cắt $BH$ tại $K$.

Do đó $K$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Suy ra $CK \bot AB$.

Vì vậy phương án A, B đúng.

Ta có $\widehat {HKM} = \widehat {HKC} + \widehat {CKM}$

$= 180^\circ - \left( {\widehat {KHC} + \widehat {HCK}} \right) + 180^\circ - \left( {\widehat {KMC} + \widehat {KCM}} \right)$

$$= 180^\circ - 90^\circ - \widehat {HCK} + 180^\circ - 90^\circ - \widehat {KCM}$$

$$= 180^\circ - \left( {\widehat {HCK} + \widehat {KCM}} \right)$$

$= 180^\circ - \widehat {HCM} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Do đó, phương án C là đúng.

Vậy chọn đáp án D.

a) Đúng. Vì $\widehat {BDC}$ là góc ngoài tam giác $DAC$.

Nên $\widehat {BDC} > \widehat A = 90^\circ$.

b) Sai. Từ a) suy ra $BC$ là cạnh lớn nhất của $\Delta DBC$.

c) Đúng. Vì $BC$ là cạnh lớn nhất của $\Delta DBC$. Do đó, $BC > CD$. (1)

Mặt khác $\widehat {DEC}$ là góc ngoài của $\Delta ADE$.

Nên $\widehat {DEC} > 90^\circ$, do đó $DC$ là cạnh lớn nhất của $\Delta DEC$.

Suy ra $DC > DE$. (2)

d) Sai. Từ (1) và (2) ở phần b) và c) có $DE < BC$.

a) Đúng. Xét $\Delta ABC$ có $\widehat A = 90^\circ ,\,\widehat C = 30^\circ$ nên $\widehat B = 180^\circ - \left( {90^\circ + 30^\circ } \right) = 60^\circ$.

b) Đúng. Có $\widehat {CDB}$ là góc ngoài đỉnh $D$ của $\Delta ABD$.

Do đó, $\widehat {CDB} = \widehat {DAB} + \widehat {ABD} = 90^\circ + 20^\circ = 110^\circ$.

c) Sai. Xét $\Delta CBD$, có $\widehat {BDC} = 180^\circ - 110^\circ - 30^\circ = 40^\circ$.

Do đó, $\widehat {DCB} < \widehat {DBC} < \widehat {CDB}\,\,\,\left( {30^\circ < 40^\circ < 110^\circ } \right)$.

d) Đúng. Vì $\widehat {DCB} < \widehat {DBC} < \widehat {CDB}\,\,\,\left( {30^\circ < 40^\circ < 110^\circ } \right)$ nên $BD < CD < BC$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

a) Đúng. Nhận thấy, $\Delta ABC$ có $\widehat A = 40^\circ$ nên $\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

b) Đúng. Có số đo $B,\,C$ tỉ lệ nghịch với $3,\,\,4$ nên $\frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{3}$.

c) Sai. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: $\frac{{\widehat B}}{4} = \frac{{\widehat C}}{3} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{{4 + 3}} = \frac{{140^\circ }}{7} = 20^\circ .$

Suy ra $\widehat B = 80^\circ ,\,\,\widehat C = 60^\circ$.

Vậy góc $B$ là góc có số đo lớn nhất trong tam giác.

d) Đúng. Có $\widehat A < \widehat C < \widehat B\,\,\,\left( {40^\circ < 60^\circ < 80^\circ } \right)$ nên $BC < AB < AC.$

a) Đúng. Vì $MH$ là đường vuông góc và $MA$ là đường xiên nên $MA > MH$ (quan hệ đường vuông góc và đường xiên).

b) Đúng. Vì $\widehat {MBC}$ là góc ngoài của $\Delta MHB$ suy ra $\widehat {MBC} > \widehat {MHB} = 90^\circ$.

Xét $\Delta MBC$ có $\widehat {MBC}$ là góc tù nên suy ra $MC > MB$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

c) Sai. Mà $HB$ và $HC$ lần lượt là hình chiếu của $MB$ và $MC$ trên $AC$.

Suy ra $HB < HC$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì $AH = HB$ (gt) mà $AH,HB$ lần lượt là hai hình chiếu của $AM,BM$.

Suy ra $MA = MB$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

d) Sai. Ta có $MA = MB$ (cmt) và $MC > MB$ (cmt) nên $MC > MA$.

a) Đúng. Ta có tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C$.

Mà $CP$ và $BQ$ là các đường phân giác trong của tam giác $ABC$ nên

$\widehat {PBQ} = \widehat {QBC} = \widehat {PCB} = \widehat {QCP} = \frac{1}{2}\widehat B$ hay $\widehat {OBC} = \widehat {OCB}$.

Do đó, tam giác $OBC$ cân tại $O$.

b) Đúng. Ta có hai đường phân giác $CP$ và $BQ$ cắt nhau tại $O$ nên $O$ là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác $ABC$.

Do đó, $AO$ cũng là đường phân giác của $\widehat {BAC}$.

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AO$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$.

Do đó, $AO$ vuông góc với $BC.$

c) Đúng. Xét $\Delta ABQ$ và $\Delta ACP$ có: $\widehat A$ chung (gt), $AC = AB$ (gt) và $\widehat {ABQ} = \widehat {ACP} = \frac{{\widehat C}}{2}$ (gt)

Suy ra $\Delta ABQ = \Delta ACP$ (g.c.g)

Do đó, $CP = BQ$ (hai cạnh tương ứng)

d) Sai. Do $\Delta ABQ = \Delta ACP$ (cmt) nên $AQ = AP$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó, $\Delta AQP$ cân tại $A$.

Đáp án: 9.

Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là $x,\,\,x \in \mathbb{Z}$.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có: $9 - 1 < x < 9 + 1$ hay $8 < x < 10$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = 9\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài cạnh còn lại của tam giác bằng 9 cm.

Đáp án: 7.

Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta có: $8 - 2 < AC < 8 + 2$ hay $6 < AC < 10$.

Vì độ dài cạnh $AC$ là một số nguyên nên nó thuộc $\left\{ {7;\,\,8;\,\,9} \right\}$.

Mà, theo đề $BC$ là cạnh có độ dài lớn nhất nên $AC < BC$ hay $AC < 8$.

Do đó, độ dài cạnh $AC = 7{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: 17

Giả sử rằng $\Delta ABC$ có $AB = 3{\rm{ cm}}{\rm{, }}AC = 7{\rm{ cm}}$.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

$\left| {AB - AC} \right| < BC < AB + AC$ hay $4 < BC < 10$.

Mà theo đề, $\Delta ABC$ cân nên suy ra $BC = 7{\rm{ cm}}$.

Vậy chu vi tam giác $ABC$ là: $3 + 7 + 7 = 17{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Đáp án: 9

Vì $O$ là giao điểm của hai tia phân giác $\widehat {ABC}$ và $\widehat {CAB}$ (gt).

Suy ra, $CO$ là phân giác của $\widehat {ACB}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Suy ra $\widehat {ACO} = \widehat {BCO}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

$BO$ là phân giác của $\widehat {ABC}$ suy ra $\widehat {OBA} = \widehat {OBC}$ (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì $MN\parallel BC$ (gt) nên $\widehat {MOB} = \widehat {OBC}$ và $\widehat {NOc} = \widehat {OCB}$ (so le trong).

Từ (1) và (4) suy ra $\widehat {NOC} = \widehat {NCO}$.

Do đó, $\Delta NOC$ cân tại $N$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra $NO = NC = 5\,\,{\rm{cm}}$

Từ (2) và (3) suy ra $\widehat {MOB} = \widehat {MBO}$ nên $\Delta MOB$ cân tại $N$.

Suy ra $MB = MO = 4\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy $MN = MO + ON = 5 + 4 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Đáp án: 125

Vì $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ cân tại $A$.

Mặt khác $AD$ là phân giác góc $A$ của $\Delta ABC$.

Suy ra $AI$ là đường cao của $\Delta ABE$.

Có $BF \bot AE$ nên $BF$ là đường cao của $\Delta ABE$.

Mà $H$ là giao điểm của $BF$ và $AI$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABE$.

Có $AD$ là phân giác góc $A$ của $\Delta ABC$ nên $\widehat {HAF} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 35^\circ$.

Vì $\Delta AHF$ vuông tại $F$ nên $\widehat {AHF} = 90^\circ - \widehat {HAF} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Vì $\widehat {DHF}$ và $\widehat {AHF}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {DHF} = 180^\circ - \widehat {AHF} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

Vậy $\widehat {DHF} = 125^\circ$.

a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$;

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$);

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta ADB = \Delta AEC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = AC$ (chứng minh trên)

Nên $AB - AE = AC - AD$ hay $BE = CD$.

b) Do $\Delta ADB = \Delta AEC$ (câu a) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta CHD$ có:

$\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ$;

$BE = CD$ (chứng minh câu a);

$\widehat {EBH} = \widehat {DCH}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta BHE = \Delta CHD$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $HBC$ có $HB = HC$ nên là tam giác cân tại $H$.

Xét $\Delta HDC$ vuông tại $D$ có $HC$ là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó $HC > HD$.

Mà $HB = HC$ (chứng minh trên) nên $HB > HD.$

c) Gọi $P$ là giao điểm của $HI$ và $BC$.

$\Delta HBC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $I$.

Do đó $I$ là trọng tâm của $\Delta HBC$ nên $HP$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $H$ của tam

giác.

Mà $\Delta HBC$ cân tại $H$ nên đường trung tuyến $HP$ đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra $HP \bot BC$ hay $HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

• $\Delta ABC$ có $H$ là giao điểm của hai đường cao $BD$ và $CE$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Do đó $AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ba điểm $A,H,I$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $BC$ tại

$P$.

Hay ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

a) Xét tam giác $ABH$ có $AH \bot BD$ tại $H$ và $HD = HB.$

Do đó, $AH$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

Do đó $\Delta ABH$ cân tại $A.$

Suy ra $AB = AD.$

b) Xét $\Delta ACF$ có $CH \bot AF$ tại $H$, $AE \bot FC$ tại $E$.

Mà $AE$ cắt $CH$ tại $D$ nên $D$ là trực tâm của tam giác $AFC$.

Do đó, $FD \bot AC$.

Gọi $FD$ cắt $AC$ tại $K$.

Ta có: $\widehat {AFK} = \widehat {FKA} - \widehat {KAF} = 90^\circ - \widehat {KAF}$ (1)

$\widehat {BAH} = \widehat {BAC} - \widehat {HAC} = 90^\circ - \widehat {HAC} = 90^\circ - \widehat {KAF}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {AFK} = \widehat {BAH}$.

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HFD$, có:

$\widehat {AFK} = \widehat {BAH}$ (cmt)

$BH = HD$ (gt)

$\widehat {BHA} = \widehat {FHD} = 90^\circ$ (gt)

Do đó, $\Delta HAB = \Delta HFD$ (cgv – gn)

Suy ra $AH = HF$ hay $H$ là trung điểm của $AF.$

c) Ta có: $HE\parallel AC$ nên $\widehat {EHD} = \widehat C$ (so le trong)

Ta chứng minh được $\Delta HAC = \Delta HFC$ (2cgv) nên $\widehat {HAC} = \widehat {HFC}$ (hai góc tương ứng)

Tam giác $EAF$ vuông tại $E$ có $H$ là trung điểm của $AF.$

Do đó, $HE = AE = HF$.

Suy ra tam giác $HEF$cân tại $H$.

Suy ra $\widehat {HEF} = \widehat {HFE} = \widehat {HAC} = \widehat {AHC} - \widehat {HCA} = 90 - \widehat C$.

Ta có: $\widehat {FHE} = \frac{{180^\circ - \widehat {HEF}}}{2} = \frac{{180^\circ - 90^\circ + \widehat C}}{2} = \frac{{90^\circ + \widehat C}}{2}$

Lại có $\widehat {FHE} + \widehat {EHD} = 90^\circ$ hay $\frac{{90^\circ + \widehat C}}{2} + \widehat C = 90^\circ$.

Do đó, $90^\circ + 3\widehat C = 180^\circ$ nên $\widehat C = 30^\circ$.

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$, có:

$AB = BE$ (gt)

$\widehat {ABD} = \widehat {DBE}$ (gt)

$BD$ chung (gt)

Do đó, $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {DEB} = 90^\circ$ (hai góc tương ứng)

Do đó, $DE \bot BC$.

Ta có $AB = BE$ (gt) nên $B$ thuộc đường trung trực của $AE$ và $AD = DE$ (hai cạnh tương ứng)

nên $D$ thuộc đường trung trực của $AE$.

Suy ra $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AE.$

b) Vì $\Delta ABD = \Delta EBD$ (c.g.c) nên $AD = DE$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét tam giác $EDC$ có $\widehat {DEC} = 90^\circ$ nên $DC > DE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD < DC.$

c) Xét tam giác $BDC$ có $CF \bot BD$ tại $F$, $ED \bot BC$ tại $E$ và $BA \bot DC$ tại $A$.

Mà $CF,BA,DE$ là ba đường cao trong tam giác $BDC$.

Do đó, $AB,DE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$ (nằm ngoài tam giác $BDC$).

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ$

$BD$ là cạnh chung

$\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$ (do $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta ABD = \Delta HBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ $\Delta ABD = \Delta HBD$ (câu a) suy ra $AD = HD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta DHC$ vuông tại $H$ có $DC$ là cạnh huyền nên $DC$ là cạnh lớn nhất.

Do đó $DC > HD$ nên $DC > AD.$

c) Xét $\Delta BKC$ có $CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC$ và $CA$ cắt $KH$ tại $D.$

Do đó $D$ là trực tâm của $\Delta BKC$, nên $BD \bot KC$. (1)

Gọi $J$ là giao điểm của $BD$ và $KC.$

Xét $\Delta BKJ$ và $\Delta BCJ$ có:

$\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ$,

$BJ$ là cạnh chung,

$\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}$ (do $BJ$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta BKJ = \Delta BCJ$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $KJ = CJ$ (hai cạnh tương ứng).

Hay $J$ là trung điểm của $KC.$

Mà theo bài $I$ là trung điểm của $KC$ nên $I$ và $J$ trùng nhau.

Do đó ba điểm $B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I$ thẳng hàng.

a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta NMC$ có

$MC = MB$ (gt)

$\widehat {AMB} = \widehat {NMC}$ (hai góc đối đỉnh)

$MA = MN$ (gt)

Do đó $\Delta AMB = \Delta NMC\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}{\rm{.}}$

Suy ra $\widehat {MAB} = \widehat {MNC}$ (hai góc tương ứng).

Ta thấy hai góc này ở vị trí so le trong $CN\,{\rm{//}}\,AB$.

Mà $BA \bot CA$ nên $CN \bot CA$.

b) Vì $B$ là trung điểm của $AE$ nên $DB$ là đường trung tuyến của $\Delta DAE$.

Ta có $DC = CM,\,\,CM = MB$ nên $DM = \frac{2}{3}DB$.

Do đó $M$ là trọng tâm của $\Delta DAE$

Vì $I$ là trung điểm của $DE$ nên $AI$ là đường trung tuyến của $\Delta DAE$.

Mà $M \in AI$ nên ba điểm $A,\,\,M,\,\,I$ thẳng hàng.

c*) Vì $\Delta AMB = \Delta NMC$ (cmt) nên $AB = NC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ACN$ và $\Delta CAB$ có

Cạnh $CA$ chung ; $\widehat {CAB} = \widehat {ACN} = 90^\circ$, $CN = AB$ (cmt)

Do đó $\Delta ACN = \Delta CAB\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$

Suy ra $AN = BC$ (hai cạnh tương ứng)

Nên $\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}BC$ hay $AM = MC = MB$.

Do đó $\Delta AMC$ và $\Delta AMB$ cân tại $M.$

Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có

• $\widehat {AMB} = \widehat {ACB} + \widehat {CAM} = 2\widehat {ACB}$

• $\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}$

• $\widehat {AMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BAM} = 2\widehat {ABC}$

Vì $\widehat {ACB} < \widehat {ABC}$ nên $\widehat {AMB} < \widehat {AMC}$.

Mà $\widehat {AMB}$ và $\widehat {AMC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AMC}$ là góc tù.

Xét $\Delta AMB$ có $\widehat {AMD}$ là góc tù nên $\widehat {AMD} > \widehat {DAM}.$