Bài tập ôn tập Toán 6 Chương 6 (có đáp án)

Chọn C

Ta gọi $\frac{a}{b}$ là một phân số nếu $a,\;\,b \in \mathbb{Z};\;\,b \ne 0.$

Chọn D

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu $ad = bc.$

Chọn C

Cho phân số $\frac{a}{b}$ và số nguyên $m \ne 0$ thì $\frac{a}{b} = \frac{{a \cdot m}}{{b \cdot m}}.$

Chọn A

Vì $a > c,\;\,d > 0$ nên $\frac{a}{d} > \frac{c}{d}.$

Chọn D

Số đối của phân số $\frac{a}{b}$ là $- \frac{a}{b}.$

Chọn A

Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số. Do đó, $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{{a - b}}{m}.$

Chọn C

Muốn nhân các phân số ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

Do đó, $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}.$

Chọn C

Số nghịch đảo của phân số $\frac{a}{b}$ là $\frac{b}{a}.$

Chọn A

Muốn tìm một số biết $\frac{m}{n}\;\,\left( {m,\;\,n \in \mathbb{N}*} \right)$ của nó bằng $a,$ ta tính $a:\frac{m}{n}.$

Chọn C

Vì $\frac{{ - a}}{b}$ và $\frac{a}{b}$ là hai phân số đối nhau nên $\frac{{ - a}}{b} + \frac{a}{b} = 0.$

Chọn B

Với $a,b \in \mathbb{Z},\,\,b \ne 0,$ ta gọi $\frac{a}{b}$ là một phân số, trong đó $a$ là tử số (tử) và $b$ là mẫu số (mẫu) của phân số.

Do đó, trong các cách viết đã cho, cách viết cho ta phân số là $\frac{7}{{ - 3}}.$

Các cách viết $\frac{3}{0},\,\,\frac{4}{{0{,}5}},\,\,\frac{{6{,}5}}{8}$ không có ta phân số vì không thỏa mãn điều kiện $a,b \in \mathbb{Z},$ $b \ne 0.$

Chọn B

Ta có: $\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5};$ $\frac{6}{{ - 15}} = \frac{{ - 6}}{{15}} = \frac{{ - 2}}{5};$ $\frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$ và $\frac{{ - 4}}{{ - 10}} = \frac{2}{5}.$

Chọn C

Các bước làm để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số có mẫu số dương là:

(1) Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.

(3) Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu.

(2) Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Chọn B

Ta có $\frac{{22}}{5} = \frac{{20 + 2}}{5} = 4 + \frac{2}{5} = 4\frac{2}{5}.$

Chọn C

Phân số nghịch đảo với phân số $\frac{{ - 8}}{{11}}$ là: $1:\left( {\frac{{ - 8}}{{11}}} \right) = 1.\frac{{11}}{{ - 8}} = \frac{{11}}{{ - 8}}$.

Vậy số nghịch đảo của số $\frac{{ - 8}}{{11}}$ là $\frac{{11}}{{ - 8}}$.

Chọn B

Ta có: $\frac{1}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{4}.$ Vì BCNN$\left( {8,\;\,4} \right) = 8$ nên mẫu số chung của hai phân số $\frac{{ - 3}}{8}$ và $\frac{{ - 1}}{4}$ là 8.

Do đó: $\frac{{ - 1}}{4} = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot 2}}{{4 \cdot 2}} = \frac{{ - 2}}{8}.$ Vậy quy đồng 2 phân số đã cho ta được 2 phân số lần lượt là $\frac{{ - 3}}{8}$ và $\frac{{ - 2}}{8}.$

Chọn D

Vì $1 \cdot \left( { - 8} \right) \ne 2 \cdot \left( { - 3} \right)$ nên $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 8}}.$

Vì $1 \cdot 5 \ne 2 \cdot 3$ nên $\frac{1}{2} \ne \frac{3}{5}.$

Vì $1 \cdot 7 \ne 2 \cdot 4$ nên $\frac{1}{2} \ne \frac{4}{7}.$

Vì $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$ nên $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}.$

Chọn D

Số viên bi vàng trong hộp là: $12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ (viên).

Hộp có tất cả số viên bi là: $12 + 8 = 20$ (viên).

Vậy hộp có tất cả 20 viên bi.

Chọn A

Ta có: BCNN$\left( {6;\;\,8} \right) = 24.$ Do đó $\frac{7}{{ - 6}} = \frac{{ - 7}}{6} = \frac{{\left( { - 7} \right) \cdot 4}}{{6 \cdot 4}} = \frac{{ - 28}}{{24}};\;\,\frac{{ - 5}}{8} = \frac{{\left( { - 5} \right) \cdot 3}}{{8 \cdot 3}} = \frac{{ - 15}}{{24}}.$

Vì $\frac{{ - 28}}{{24}} < \frac{{ - 15}}{{24}}$ nên $\frac{7}{{ - 6}} < \frac{{ - 5}}{8}.$

Chọn C

Cách 1:

$\frac{{35}}{{15}} = \frac{x}{3}$

$\frac{7}{3} = \frac{x}{3}$

Suy ra $x = 7$

Vậy $x = 7.$

Cách 2:

$\frac{{35}}{{15}} = \frac{x}{3}$

$35 \cdot 3 = 15 \cdot x$

$105 = 15 \cdot x$

$x = 105:15$

$x = 7$

Vậy $x = 7.$

Chọn B

Ta có: $\frac{{15}}{{60}} = \frac{{15:15}}{{60:15}} = \frac{1}{4}$; $\frac{3}{{12}} = \frac{{3:3}}{{12:3}} = \frac{1}{4}$.

Vậy trong các phân số đã cho có $2$ phân số bằng với phân số $\frac{1}{4}$.

Chọn D

Phương án A: $\frac{6}{7} + \frac{{ - 3}}{5} = \frac{{30}}{{35}} + \frac{{ - 21}}{{35}} = \frac{9}{{35}} < 1$ nên A đúng.

Phương án B: $\frac{7}{5} - \frac{{ - 4}}{3} = \frac{{21}}{{15}} - \frac{{ - 20}}{{15}} = \frac{{41}}{{15}} > 1$ nên B đúng.

Phương án C: $\frac{1}{8} + \frac{3}{5} = \frac{5}{{40}} + \frac{{24}}{{40}} = \frac{{29}}{{40}} < 1$ nên C đúng.

Phương án D: $\frac{2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$ nên D sai.

Chọn D

Nhiệt độ ở Seoul lúc đó là: $- 15 \cdot \frac{2}{3} = - 10\;\,\left( {^\circ {\rm{C}}} \right).$ Vậy nhiệt độ ở Seoul lúc đó là $- 10^\circ {\rm{C}}{\rm{.}}$

Chọn C

$x + \frac{1}{5} = \frac{2}{3}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{1}{5}$

$x = \frac{{10}}{{15}} - \frac{3}{{15}}$

$x = \frac{7}{{15}}.$

Vậy $x = \frac{7}{{15}}.$

Chọn C

Ta có: $\frac{3}{4} < 1$; $\frac{7}{7} = 1$; $\frac{3}{2} > 1$ và $\frac{4}{3} > 1$ nên ta chỉ cần so sánh $\frac{3}{2}$ và $\frac{4}{3}$.

Do $\frac{3}{2} = \frac{{3 \cdot 3}}{{2 \cdot 3}} = \frac{9}{6}$ và $\frac{4}{3} = \frac{{4 \cdot 2}}{{3 \cdot 2}} = \frac{8}{6}$

Vì $\frac{9}{6} > \frac{8}{6}$ nên $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$.

Vậy $\frac{3}{2}$ là phân số lớn nhất.

Chọn C

Ta có: $1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.$ Vậy chị Lan còn lại $\frac{4}{5}$ phần tiền lương.

Chọn B

Diện tích của tam giác đó là: $\frac{4}{5} \cdot \frac{{15}}{{16}} = \frac{{4 \cdot 5 \cdot 3}}{{5 \cdot {4^2}}} = \frac{3}{4}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$ Vậy diện tích của tam giác đó bằng $\frac{3}{4}\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Chọn B

Ta có $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{2} - \frac{{ - 1}}{3} + \frac{{ - 5}}{{18}}:\frac{1}{9} = \frac{3}{4} \cdot 4 + \frac{1}{3} - \frac{5}{{18}} \cdot 9$

$= 3 + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} = \frac{{18}}{6} + \frac{2}{6} - \frac{{15}}{6} = \frac{5}{6}.$

Chọn A

Dễ thấy $\frac{{ - 8}}{{12}} < 0$; còn các phân số $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{{12}}$ đều dương.

Ta có $\frac{1}{2} = \frac{{1 \cdot 6}}{{2 \cdot 6}} = \frac{6}{{12}}$; $\frac{5}{6} = \frac{{5 \cdot 2}}{{6 \cdot 2}} = \frac{{10}}{{12}}$ và $\frac{7}{{12}}$.

Do $\frac{6}{{12}} < \frac{7}{{12}} < \frac{{10}}{{12}}$ nên $\frac{1}{2} < \frac{7}{{12}} < \frac{5}{6}$.

Vậy các phân số $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{7}{{12}}$; $\frac{{ - 8}}{{12}}$ được sắp xếp từ bé đến lớn là $\frac{{ - 8}}{{12}}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{7}{{12}}$; $\frac{5}{6}$.

Chọn B

Gọi phân số bằng với phân số $\frac{7}{{15}}$ là $\frac{a}{b}$ (với $a,b \in \mathbb{Z},\,\,b \ne 0).$

Khi đó ta có $\frac{a}{b} = \frac{7}{{15}}.$ Suy ra $15a = 7b.$

Mà tổng của tử số và mẫu số bằng 176 nên $a + b = 176.$ Suy ra $7a + 7b = 1\,\,232.$

Do đó $7a + 15a = 1\,\,232.$ Hay $22a = 1\,\,232$ nên $a = 56$

Từ đó $b = 176 - 56 = 120.$

Vậy hiệu của mẫu và tử số của phân số cần tìm là $120 - 56 = 64.$

Chọn D

Số viên bi vàng trong hộp là: $12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ (viên).

Hộp có tất cả số viên bi là: $12 + 8 = 20$ (viên).

Vậy hộp có tất cả 20 viên bi.

Chọn C

Có $- 1\frac{1}{4} = - \frac{{ - 5}}{4}.$

Số đó là: $- 10:\left( { - \frac{5}{4}} \right) = 8.$

Chọn A

Ta có $\frac{{ - 1}}{3} < \frac{x}{{{\rm{15}}}} < \frac{1}{5}$. Suy ra $\frac{{ - 5}}{{15}} < \frac{x}{{{\rm{15}}}} < \frac{3}{{15}}$.

Từ đó ta thấy $\;x \in \left\{ {--4;{\rm{ }}--3;{\rm{ }}--2;{\rm{ }}--1;{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right\}.$

Tổng các phân số $\frac{x}{{{\rm{15}}}}$ là:

$\frac{{ - 4}}{{15}} + \frac{{ - 3}}{{15}} + \frac{{ - 2}}{{15}} + \frac{{ - 1}}{{15}} + \frac{0}{{15}} + \frac{1}{{15}} + \frac{2}{{15}}$

$= \frac{{\left( { - 4} \right) + \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 + 2}}{{15}} = \frac{{ - 7}}{{15}}$.

Chọn B

Phương án A: Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0 nên A đúng.

Phương án B: Số đối của số 0 là 0 nên B sai.

Phương án C: $- \left( { - \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{5}$ nên có số đối là $- \frac{1}{5}$ nên C đúng.

Phương án D: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$; $- 1\frac{2}{3} = - \frac{5}{3}$, số đối của $\frac{5}{3}$ là $- \frac{5}{3}$ nên D đúng.

Chọn A

Thời điểm ô tô đến B là:

7 giờ 15 phút + 2 giờ 20 phút = 9 giờ 35 phút = $9 + \frac{{35}}{{60}}$ giờ $= 9 + \frac{7}{{12}}$ giờ $= 9\frac{7}{{12}}$ giờ.

a) Đúng. Hai ngày đầu, Minh đọc được $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{{20}} + \frac{4}{{20}} = \frac{9}{{20}}$ (quyển sách).

Vậy hai ngày đầu, Minh đọc được $\frac{9}{{20}}$ quyển sách.

b) Sai. Vì ngày thứ 3 Minh đọc bằng tổng 2 ngày đọc trước đó nên ngày thứ 3 Minh đọc được $\frac{9}{{20}}$ quyển sách.

Ba ngày đầu, Minh đọc được $\frac{9}{{20}} + \frac{9}{{20}} = \frac{{18}}{{20}} = \frac{9}{{10}}$ (quyển sách).

Vậy tổng ba ngày đầu Minh đọc được $\frac{9}{{10}}$ quyển sách.

c) Đúng. Ngày thứ tư Minh đọc được: $1 - \frac{9}{{10}} = \frac{{10}}{{10}} - \frac{9}{{10}} = \frac{1}{{10}}$ (quyển sách).

Vậy ngày thứ tư Minh đọc được $\frac{1}{{10}}$ quyển sách.

d) Sai. Vì $\frac{1}{4} - \frac{1}{{10}} = \frac{5}{{20}} - \frac{2}{{20}} = \frac{3}{{20}}$ nên ngày thứ nhất Minh đọc được nhiều hơn ngày thứ tư $\frac{3}{{20}}$ quyển sách.

a) Đúng.

Số tiền của Lan bằng $\frac{3}{5}:\frac{2}{5} = \frac{3}{2}$ (số tiền của My). Vậy số tiền của Lan bằng $\frac{3}{2}$ số tiền của My.

b) Đúng.

Tổng số tiền của hai bạn bằng: $\frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}$ (số tiền của My).

Vậy tổng số tiền của hai bạn bằng $\frac{5}{2}$ số tiền của My.

c) Đúng.

Số tiền của My là: $250:\frac{5}{2} = 100$ (nghìn đồng). Vậy số tiền của My bằng 100 nghìn đồng.

d) Sai.

Số tiền của Lan là: $250 - 100 = 150$ (nghìn đồng).

Lan nhiều hơn My số tiền là: $150 - 100 = 50$ (nghìn đồng).

Vậy Lan có nhiều hơn My 50 nghìn đồng.

a) Đúng.

Số học sinh dân tộc Dao của trường đó là: $450 \cdot \frac{1}{{30}} = 15$ (học sinh).

Vậy số học sinh dân tộc Dao của trường đó bằng 15 học sinh.

b) Đúng.

Vì số học sinh dân tộc Thái bằng $\frac{2}{3}$ tổng số học sinh Tày và Dao nên số học sinh dân tộc Thái bằng $\frac{2}{{2 + 3}} = \frac{2}{5}$ tổng số học sinh trường đó.

Vậy số học sinh dân tộc Thái bằng $\frac{2}{5}$ tổng số học sinh cả trường đó.

c) Sai.

Số học sinh dân tộc Thái là: $450 \cdot \frac{2}{5} = 180$ (học sinh).

Vậy số học sinh dân tộc Thái của trường đó bằng 180 học sinh.

d) Sai.

Số học sinh dân tộc Tày của trường đó là: $450 - 180 - 15 = 255$ (học sinh).

Vì $\frac{{255}}{{450}} = \frac{{17}}{{30}}$ nên số học sinh Tày bằng $\frac{{17}}{{30}}$ số học sinh toàn trường đó.

a) Đúng.

Trong một giờ, máy bơm A bơm được $1:12 = \frac{1}{{12}}$ (dung tích bể bơi).

Vậy trong một giờ, máy bơm A bơm được $\frac{1}{{12}}$ dung tích bể bơi.

b) Sai.

Trong 2 giờ, máy B bơm được $2:9 = \frac{2}{9}$ (dung tích bể bơi).

Vậy trong 2 giờ, máy B bơm được $\frac{2}{9}$ dung tích bể bơi.

c) Sai.

Trong một giờ, máy bơm C bơm được $1:15 = \frac{1}{{15}}$( dung tích bể bơi).

Vì $\frac{1}{{15}} + \frac{1}{{12}} = \frac{4}{{60}} + \frac{5}{{60}} = \frac{9}{{60}} = \frac{3}{{20}}$ nên trong một giờ, hai máy bơm A và C cùng bơm thì được $\frac{3}{{20}}$ dung tích bể bơi.

d) Sai.

Ta có: $\frac{2}{9} - \frac{9}{{60}} = \frac{{40}}{{180}} - \frac{{27}}{{180}} = \frac{{13}}{{180}}$ nên bơm B bơm riêng trong 2 giờ hơn hai máy bơm A và C cùng bơm trong một giờ là $\frac{{13}}{{180}}$ dung tích bể nước.

a) Đúng.

Số học sinh trung bình và yếu chiếm $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{{12}}$ (học sinh toàn trường)

b) Đúng.

Số học sinh giỏi của trường đó là $1{\rm{ }}200.\frac{1}{3} = 400$ (học sinh)

c) Đúng.

Số học sinh khá của trường đó là: $1{\rm{ }}200.\frac{1}{4} = 300$ (học sinh)

Số học sinh trung bình và yếu của trường đó là: $1{\rm{ }}200 - 400 - 300 = 500$ (học sinh)

d) Sai.

Số học sinh yếu của trường đó là: $500.\frac{1}{4} = 125$ (học sinh)

Do đó, số học sinh trung bình của trường đó là: $500 - 125 = 375$ (học sinh)

Vậy trường đó có $375$ học sinh trung bình và $125$ học sinh yếu.

Đáp án: 4

Số học sinh khá của lớp đó là: $\frac{3}{5}.40 = 24$ (học sinh)

Số học sinh giỏi và trung bình của lớp 6A là: $40 - 24 = 16$ (học sinh)

Số học sinh giỏi của lớp 6A là: $\frac{3}{4}.16 = 12$ (học sinh)

Số học sinh trung bình của lớp 6A là: $16 - 12 = 4$ (học sinh)

Vậy lớp 6A có $4$ học sinh trung bình.

Đáp số: 18

Số học sinh của lớp 6A là: $12:\frac{2}{5} = 30$ (học sinh).

Số học sinh nam của lớp 6A là: $30 - 12 = 18$ (học sinh).

Đáp án: 9

Ta có: $\frac{{ - 5}}{7} + 2 + \frac{{ - 16}}{7} = 2 + \left( {\frac{{ - 5}}{7} + \frac{{ - 16}}{7}} \right) = 2 - \frac{{21}}{7} = 2 - 3 = - 1.$

$\frac{{ - 11}}{6} + \frac{1}{3} - \frac{7}{6} + \frac{{35}}{3} = \left( {\frac{{ - 11}}{6} - \frac{7}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{3} + \frac{{35}}{3}} \right) = \frac{{ - 18}}{6} + \frac{{36}}{3} = - 3 + 12 = 9.$

Do đó, $- 1 < x < 9.$ Mà $x$ là số nguyên nên $x \in \left\{ {0;\;\,1;\;\,2;\;\,3;\;\,4;\;\,5;\;\,6;\;\,7;\;\,8} \right\}.$

Vậy có tất cả 9 số nguyên $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 10

Lượng nước trong $60\;\,{\rm{kg}}$ nấm tươi là: $60 \cdot \frac{9}{{10}} = 54\;\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Khối lượng phần còn lại của nấm có trong $60\;\,{\rm{kg}}$ nấm tươi là: $60 - 54 = 6\;\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Phơi $60\;\,{\rm{kg}}$ nấm tươi thì thu được lượng nấm khô là: $6:\left( {1 - \frac{2}{5}} \right) = 10\;\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Vậy phơi $60\;\,{\rm{kg}}$ nấm tươi thì thu được $10\;\,{\rm{kg}}$ nấm khô.

Đáp án: 1

Buổi tối Minh cần dành số giờ để hoàn thành bức tranh là: $4 - 1\frac{1}{3} - \frac{5}{3} = \frac{{12}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1$ (giờ).

Vậy buổi tối Minh cần dành 1 giờ để hoàn thành bức tranh.

a) Số gạo ngày thứ ba bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{{28}}$ (tổng số gạo).

Số gạo ngày thứ hai bán được chiếm số phần tổng số gạo là:

$1 - \frac{3}{7} - \frac{3}{{28}} = \frac{{28}}{{28}} - \frac{{12}}{{28}} - \frac{3}{{28}} = \frac{{13}}{{28}}$ (tổng số gạo).

Số gạo ban đan đầu cửa hàng có là:

$26:\frac{{13}}{{28}} = 26 \cdot \frac{{28}}{{13}} = 56$ (tấn).

b) Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

$56 \cdot \frac{3}{7} = 24$ (tấn).

Số gạo ngày thứ nhất cửa hàng bán được là:

$24 \cdot \frac{1}{4} = 6$ (tấn).

Số học sinh khối 11 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{{15}} = \frac{1}{3}$ (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 chiếm số phần số học sinh toàn trường là:

$1 - \frac{4}{{15}} - \frac{1}{3} = \frac{{15}}{{15}} - \frac{4}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}$ (số học sinh toàn trường).

Số học sinh khối 10 nhiều hơn số học sinh khối 11 số phần so với số học sinh toàn trường là:

$\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{{15}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{15}}$ (số học sinh toàn trường).

Số học sinh toàn trường là:

$80:\frac{1}{{15}} = 80 \cdot 15 = 1\,\,200$ (học sinh).

Số học sinh khối 12 là:

$1\,\,200 \cdot \frac{4}{{15}} = 320$ (học sinh).

Số học sinh khối 11 là:

$320 \cdot \frac{5}{4} = 400$ (học sinh).

Số học sinh khối 10 là:

$400 + 80 = 480$ (học sinh).

Người thứ nhất mua $\frac{1}{2}$ số trứng mà hai người kia mua.

Do đó, người thứ nhất mua $\frac{1}{3}$ số trứng của ba người.

Người thứ hai mua $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ (số trứng).

Người thứ ba mua ứng với $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{{15}}$ (số trứng).

Số quả trứng ban đầu trong rổ là: $14:\frac{7}{{15}} = 30$ (quả).

Chỉ với hai lần cưa, người nông dân cần cưa thanh vàng thành ba phần: $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ và $\frac{4}{7}$.

Và khi đó, người nông dân sẽ trả lương mỗi ngày cho thợ như sau:

Thứ hai: Trả $\frac{1}{7}$ thanh vàng.

Thứ ba: Trả $\frac{2}{7}$ thanh vàng và lấy lại $\frac{1}{7}$ thanh vàng.

Thứ tư: Đưa lại $\frac{1}{7}$ thanh vàng cho người thợ.

Thứ năm: Đưa lại $\frac{4}{7}$ thanh vàng và lấy lại $\frac{1}{7}$ và $\frac{2}{7}$ thanh vàng.

Thứ sáu: Đưa $\frac{1}{7}$ thanh vàng.

Thứ bảy: Đưa $\frac{2}{7}$ thanh vàng và lấy lại $\frac{1}{7}$ thanh vàng từ thợ.

Chủ nhật: Trả nội $\frac{1}{7}$ thanh vàng còn lại.

Từ $50$ đến $99$ có $\frac{{99 - 50}}{1} + 1 = 50$ số.

Mà $\frac{1}{{50}} > \frac{1}{{100}};$

$\frac{1}{{51}} > \frac{1}{{100}};$

$\frac{1}{{52}} > \frac{1}{{100}};$

….

$\frac{1}{{99}} > \frac{1}{{100}}.$

Cộng vế theo vế ta được:

$\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}} > 50 \cdot \frac{1}{{100}} = \frac{1}{2}.$

Vậy $S > \frac{1}{2}.$