Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án

Chọn đáp án A

Ta có: $1 + 1 - 3 + 1 = 0 \Rightarrow$ điểm $A\left( {1;1;3} \right) \in \left( P \right).$

Chọn đáp án B

Ta có $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {6; - 3;3} \right) = 3\left( {2\,;\, - 1\,;\,1} \right)$. Chọn $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)$ là 1 vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

Phương trình mặt phẳng qua $M\left( { - 1;5;2} \right)$nhận $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)$ làm 1 vectơ pháp tuyến là:

$2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 5} \right) + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + z + 5 = 0$.

Chọn đáp án A

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm. Do $\left( P \right){\rm{//}}\left( {Oxy} \right) \Rightarrow$ $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Và $\left( P \right)$ đi qua điểm $A \Rightarrow \left( P \right):0.\left( {x - 2} \right) + 0.\left( {y + 3} \right) + 1.\left( {z + 2} \right) = 0$$\Rightarrow \left( P \right):z + 2 = 0$.

Chọn đáp án D

Phương trình mặt phẳng $3x + y - 7z - 3 = 0$có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)$.

Chọn đáp án A

Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${\vec n_2}\left( {2;3;1} \right)$.

Chọn đáp án D

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt $\left( {MNP} \right)$ là

$\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 6y - 2z + 6 = 0$.

Chọn đáp án D

Ta có: $d\left[ {M,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {2.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{3}$.

Chọn đáp án A

Cách 1: Ta có $M\left( {10;0;0} \right) \in \left( P \right)$. Vì $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 10}}{{ - 5}}$ nên hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$song song.

Khi đó, $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$$= \frac{{\left| {10 - 5} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}$.

Cách 2: Dùng công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( P \right):ax + by + cz - {d_1} = 0$ và $\left( Q \right):ax + by + cz - {d_2} = 0$ bằng: $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {{d_1} - {d_2}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Ta có: $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {10 - 5} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{5}{3}$.

Chọn đáp án C

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có dạng: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y - 3z - 12 = 0$

Khoảng cách từ $O$ đến $\left( \alpha \right)$ bằng $d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 4.0 - 3.0 - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}.$

Chọn đáp án D

Ta có:

$$\frac{x - 1}{3} = \frac{3y}{2} = \frac{3 - z}{1} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{\tfrac{2}{3}} = \frac{z - 3}{-1}.$$

Do đó, một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

$$\vec{a} = (3; \tfrac{2}{3}; -1).$$

Chọn đáp án C

Nhận thấy $A\left( { - 1;1;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)$.

Nhận thấy đường thẳng $\Delta$:$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.$ đi qua $A,O$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;\,2;\, - 2} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = 2\overrightarrow {{n_P}}$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là $0^\circ$.

Chọn đáp án B

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Suy ra $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}$.

Chọn đáp án D

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1; - 2; - 3} \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {2;5; - 4} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}$.

Chọn đáp án B

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 6 + t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$ $\Rightarrow d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 3z + 12 = 0 \Rightarrow \left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow u = - \overrightarrow n$ nên $d \bot \left( P \right) \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) = 90^\circ \Rightarrow \sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = 1.$

Chọn đáp án A

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {0;\, - 2;\,0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;\,3;\,4} \right)$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {1;\,2;\,1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;\,2} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ;\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right):\,1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 4 = 0$.

Thử lại $N \notin \left( P \right)$ nên thỏa mãn.

Vậy $d\left( {M;\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.0 - 2\left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$.

Chọn đáp án A

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _1}\left( {2; - 2;1} \right)$; ${d_2}$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _2}\left( {1;3;4} \right)$

${\rm{cos}}\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {{{\overrightarrow u }_1},{{\overrightarrow u }_{_2}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}.{{\overrightarrow u }_{_2}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow u }_{_2}}} \right|}} = \frac{{\left| 0 \right|}}{{3\sqrt {26} }} = 0$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng là $90^\circ$.

Chọn đáp án D

Vectơ chỉ phương của $\left( D \right)$: $\vec a = \left( {2;m;m - 2} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$: $\vec n = \left( {1;3;2} \right)$.

$\left( D \right) \bot \left( P \right)$$\Leftrightarrow$$\vec a$ và $\overrightarrow n$ cùng phương: $2 = \frac{m}{3} = \frac{{m - 2}}{2}$$\Leftrightarrow m = 6$.

Chọn đáp án A

Ta có: đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_\Delta } = \left( {1\,;\,2\,; - 1} \right)$; mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,2} \right)$.

Áp dụng công thức $\sin \alpha = \sin \left( {{{\vec u}_\Delta },{{\vec n}_P}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_\Delta }.{{\vec n}_P}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_\Delta }} \right|.\left| {{{\vec n}_P}} \right|}}$

$\Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \alpha = 30^\circ$.

Chọn đáp án A

Phương trình tổng quát của mặt cầu trong không gian $Oxyz$ là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Khi đó: ${R^2} = 16 \Rightarrow R = 4$.

Chọn đáp án A

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3; - 1;2} \right)$ và bán kính $R = 2.$

Chọn đáp án A

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2; - 1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = 2\sqrt 2$.

Chọn đáp án C

Phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)$ là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Ở đáp án A và B không đúng dạng phương trình mặt cầu vì hệ số của ${x^2},{y^2},{z^2}$ không bằng nhau nên phương trình ở đáp án A, B không là phương trình mặt cầu.

Trong đáp án D ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = - 1\\d = 8\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = - 2 < 0$ nên phương trình ở đáp án D không là phương trình mặt cầu.

Trong đáp án C ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = - 1\\d = 2\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 > 0$ nên phương trình ở đáp án C là phương trình mặt cầu.

Chọn đáp án C

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ nên: ${a^2} + {c^2} = 16$. $\left( 1 \right)$

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua $M\left( {1;0;1} \right)$ nên: ${\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - c} \right)^2} = 16$. $\left( 2 \right)$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - 2\left( {a + c} \right) + 2 = 16$$\left( 3 \right)$.

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 3 \right)$$\Rightarrow 16 - 2\left( {a + c} \right) + 2 = 16 \Leftrightarrow a + c = 1$$\Rightarrow a = 1 - c$.

Thay $a = 1 - c$ vào $\left( 1 \right)$$\Rightarrow {\left( {1 - c} \right)^2} + {c^2} = 16 \Rightarrow c = \frac{{1 \pm \sqrt {31} }}{2}$$\Rightarrow$ Có tồn tại mặt cầu $\left( S \right)$ thỏa mãn đề bài. Vậy $a + c = 1$.

Chọn đáp án A

Bán kính mặt cầu $R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2}} = 3$.

Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$.

Chọn đáp án B

Mặt cầu có tâm $I\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)$. Mặt cầu có bán kính $R = AI = \sqrt 2$.

Vậy mặt cầu có phương trình: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2$.

Chọn đáp án A

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$ và bán kính $R = 3$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$.

Chọn đáp án D

Thay tọa độ ba điểm vào phương trình mặt cầu, ta có:

${0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0$ (Đúng) $\Rightarrow O\left( {0;0;0} \right) \in \left( S \right)$.

${1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 = 0$ (Sai) $\Rightarrow A\left( {1;2;3} \right) \notin \left( S \right)$.

${2^2} + {0^2} + {6^2} - 2.2 - 4.0 - 6.6 = 0$ (đúng) $\Rightarrow B\left( {2;0;6} \right) \in \left( S \right)$.

Vậy trong ba điểm đề cho, có hai điểm nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$.

Chọn đáp án D

Thay tọa độ điểm $P\left( {2;1;1} \right)$ vào phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16$ (thỏa mãn). Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua điểm $P$.

Chọn đáp án A

Gọi $\left( Q \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$.

$\Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\,\left( {m \ne 3} \right)$ .

Thay $M(2; - 3;1)$ vào $\left( Q \right)$ ta được: $m = - 11$ (nhận).

$\Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 11 = 0.$

a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

b) Đúng. Ta có $AM = v.t = 4{,}5t$ và ta gọi $M\left( {10 + 2m\,;\,\,3 - 2m\,;\,\,m} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Khi đó: $\overrightarrow {AM} = \left( {2m;\, - 2m;\,m} \right)$ và $\overrightarrow {AM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow u$ nên $m$ dương.

Suy ra $m = 1{,}5t$ nên $M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Sai. Từ câu trên suy ra $M \equiv B \Leftrightarrow 10 + 3t = 550 \Leftrightarrow t = 180$.

Khi đó: $AB = vt = 4{,}5.t = 4{,}5.180 = 810$mét.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là $z = 0$ nên ta có $\overrightarrow n = \left( {0\,;\,0;\,1} \right)$.

Từ đó: $\sin \alpha = \left| {\frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}} \right| = \frac{1}{3}$ nên $\alpha \ne 30^\circ$.

a) Đúng. Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {10;\,\,20;\,\,30} \right)$, bán kính $R = 3$km = $3000$m có phương trình

${\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 20} \right)^2} + {\left( {z - 30} \right)^2} = {3000^2}$.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {40;\,0;\, - 30} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{{40}^2} + {0^2} + {{30}^2}} = 50\,{\rm{m}} < \,R = 3000\,{\rm{m}}$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên người đi biển ở vị trí $A\left( {50;20;0} \right)$ nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow {IB} = \left( {4020;\,30;\,10} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{{4020}^2} + {{30}^2} + {{10}^2}} \approx 4020{,}12\,{\rm{m}} > R = 3000\,{\rm{m}}$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ nên người đi biển ở vị trí $B\left( {4030;\,\,50;\,\,40} \right)$ không nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.

d) Đúng. Vì bán kính phủ sáng là $3$km nên đường kính phủ sáng là $6$km nên nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì hai người đó nằm trong mặt cầu, do đó khoảng cách giữa hai người đó không quá $6$km.

a) Đúng. Ta có $AA' = 4\,{\rm{m}}$ nên toạ độ $A'\left( {0;\,0;\,4} \right)$.

b) Đúng. Toạ độ điểm $D'\left( {25;\,0;\,3} \right)$ nên vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _{A'D'}} = \overrightarrow {A'D'} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $A'D'$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _{A'D'}} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)$ và đi qua điểm $A'\left( {0;\,0;\,4} \right)$ là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.$.

c) Sai. Điểm $E$ nằm trên cột $AA'$ và cách mặt đất 7 m suy ra toạ độ $E\left( {0;\,0;\,7} \right)$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$và $\;BD$. Do $ABCD$ là hình vuông có cạnh $AB = 25\,{\rm{m}}$ nên điểm $I$có toạ độ $I\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};0} \right)$ mà $MA = MB = MC = MD$, do đó $I$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Suy ra $M\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};c} \right)$ mà $MA = \sqrt {\frac{{697}}{2}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} + {c^2} = \frac{{697}}{2} \Leftrightarrow c = 6$

$\Rightarrow M\left( {\frac{{25}}{2};\frac{{25}}{2};6} \right)$ $\Rightarrow ME = 17{,}706$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {A'D'} = \left( {25;\,0;\, - 1} \right)$ và vectơ pháp tuyến của mặt đất là ${\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;\,0;\,1} \right)$ do đó góc hợp với đường thẳng $A'D'$ và mặt đất là $\sin \alpha = \frac{{\left| {25.0 + 0.0 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{{25}^2} + {{( - 1)}^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {626} }}.$

a) Sai. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;\,3;\,7} \right)$ bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9$.

b) Đúng. Ta có: $IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 2 < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu. Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $A\left( {2;\,2;\,7} \right)$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

c) Đúng. Ta có: $IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;\,6;\,7} \right)$ không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {IB} \left( {4;\,3;\,0} \right);$ $IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng $BI$ dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\end{array} \right.$.

Gọi mặt cầu $\left( S \right) \cap BI \equiv E$ suy ra tọa độ $E$ là nghiệm của hệ

$$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{5}\\x = \frac{{17}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{{24}}{5};7} \right) \Rightarrow EB \approx 1{,}7\\\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{3}{5}\\x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{6}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{7}{5};\,\frac{6}{5};7} \right) \Rightarrow EB = 8\end{array} \right.$$

Vậy khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;\,6;\,7} \right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét là $8\,$km.

a) Sai. Điểm $A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)$ không nằm đường thẳng $d$ vì $\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2 - 2}}{1}$.

b) Đúng. Đường thẳng $d$ có 1 vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u _d} = \left( {2;\, - 1;\,1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\,{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)$.

c) Đúng. Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d} \cdot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\left( {d,\left( P \right)} \right) = 30^\circ$.

d) Sai. $N = \Delta \cap d$.

$N \in d \Rightarrow N\left( {1 + 2t;\, - 1 - t;\,2 + t} \right)$.

$\Delta$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {MN} = \left( {2t + 4;\, - t - 2;\,t} \right)$.

Ta có $\Delta$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$

Suy ra $\overrightarrow {MN} \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} \cdot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0$$\Rightarrow \left( {2t + 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - t - 2} \right) \cdot 2 + t \cdot 1 = 0$

Suy ra $t = - \frac{8}{3}$.

Vậy $N\left( { - \frac{{13}}{3};\frac{5}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)$.

Suy ra $a + b + c = - \frac{{13}}{3} + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{{10}}{3}$.

a) Sai. Vì đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O\left( {0;0;0} \right)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600$km nên ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng $600$km.

b) Đúng. Ranh giới vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu tâm $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$ có bán kính bằng $R = 600\,$có phương trình là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000$.

c) Đúng. Ta có $OM = \sqrt {{{\left( { - 500} \right)}^2} + {{\left( {100} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt {11} } \right)}^2}} \approx 608 > 600 = R$.

Vậy, tại vị trí điểm $M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)$ máy bay nằm ngoài vùng kiểm soát không không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

d) Sai. Thay $d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ vào phương trình mặt cầu${x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000$:

$\begin{array}{l}{\left( {100t - 1000} \right)^2} + {\left( {80t - 300} \right)^2} + {\left( {100\sqrt {11} } \right)^2} = 360000\\ \Leftrightarrow 164{t^2} - 2480t + 8400 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10 \Rightarrow B\left( {0\,;\,500\,;\,100\sqrt {11} } \right)\\t = \frac{{210}}{{41}} \Rightarrow C\left( { - \frac{{20000}}{{41}}\,;\,\frac{{4500}}{{41}}\,;\,100\sqrt {11} } \right)\end{array} \right.\end{array}$

Quãng đường máy bay di chuyển trong vùng kiểm soát không lưu là:

$BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20000}}{{41}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4500}}{{41}} - 500} \right)}^2} + {{\left( {100\sqrt {11} - 100\sqrt {11} } \right)}^2}} \approx 625\,$km.

Vậy thời gian máy bay di chuyển theo đường thẳng $d$ và trong phạm vi kiểm soát không lưu của sân bay là:$\frac{{625}}{{900}} = \frac{{25}}{{36}}$ giờ.

a) Đúng. Ta có: $4.0 - 1 + 2.\left( { - 6} \right) + 13 = 0$ $\Rightarrow B \in \left( P \right)$.

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 9} \right)$.

Ta thấy $\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB}$ $\Rightarrow$ Hướng chuyển động theo vectơ $\overrightarrow v$ chính là hướng chuyển động từ $A$ đến $B$.

$AB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {9^2}} = \sqrt {83} \left( {{\rm{km}}} \right) = 1000\sqrt {83} \left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra thời gian viên đạn bay từ $A$ đến $B$ là: $\frac{{AB}}{{800}} = \frac{{5\sqrt {83} }}{4} \approx 11{,}39$ giây.

Do đó sau 1 phút viên đạn đã đi qua điểm $B$.

c) Sai. $\overrightarrow {BA} = \left( {1;1;9} \right)$; $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4; - 1;2} \right)$.

$\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 - 1 + 18} \right|}}{{\sqrt {83} .\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {1743} }}{{83}}$$\Rightarrow \widehat {\left( {AB,\left( P \right)} \right)} \approx 30^\circ$.

d) Sai. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $H\left( {1;2;0} \right)$.

a) Đúng. $A\left( {0; - 4;0} \right),B\left( {4\sqrt 3 ;0;0} \right),C\left( {0;4;0} \right)$ và $A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)$.

b) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right).$

c) Đúng. $\overrightarrow {A'B'} = \left( {4\sqrt 3 ;4; - 1} \right);\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;8; - 2} \right)$, khi đó vectơ pháp tuyến của $\left( {A'B'C'} \right)$ là:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,8\sqrt 3 ;\,32\sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \left( {0;\,1;\,4} \right)$.

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ là: $\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)$.

d) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\overrightarrow k = \left( {0;\,0;\,1} \right)$.

Khi đó: $\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {17} }}{{17}}$ nên $\left( {\left( {ABC} \right),\,\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 14^\circ$ nên mái nhà không ở mức tiêu chuẩn.

a) Sai. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của thiết bị phát sóng $M$ trong không gian là mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $A\left( {80;60;60} \right)$, bán kính $500$ có phương trình${\left( {x - 80} \right)^2} + {\left( {y - 60} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {500^2}$.

Gọi $E\left( {0;t;0} \right)$ là giao điểm của $Oy$ và $\left( S \right)$. Khi đó

${\left( { - 80} \right)^2} + {\left( {t - 60} \right)^2} + {60^2} = {500^2} \Leftrightarrow {\left( {t - 60} \right)^2} = 240000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \\{t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \end{array} \right.$.

Ta có:

${t_1} = 60 + 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_1}\left( {0;60 + 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_1}B = 550 + 200\sqrt 6 > 60{,}3$.

${t_2} = 60 - 200\sqrt 6 \Rightarrow {E_2}\left( {0;60 - 200\sqrt 6 ;0} \right) \Rightarrow {E_2}B = 550 - 200\sqrt 6 \approx 60{,}1$.

Thiết bị thu sóng $N$phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng $60{,}1$mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

b) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 80\,;\,550\,;\, - 60} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 80} \right)}^2} + {{550}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} > 500 = R$.

Vậy điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ nên điểm $B$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

c) Sai. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B\left( {0; - 490;0} \right)$ và song song với trục $Ox$ có VTCP $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ có PTTS là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 490\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Suy ra: $\left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0\,;\,60\,;\, - 550} \right)$.