Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 5 có đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, vecto nào là một vecto chỉ phương của
đường thẳng có phương trình:

$$\frac{x - 1}{3} = \frac{3y}{2} = \frac{3 - z}{1}\, ?$$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left( {10;3;0} \right)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {2; - 2;1} \right)$ với tốc độ $4{,}5$m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

a) Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

b) Giả sử sau thời gian $t$(s) kể từ lúc xuất phát $\left( {t \ge 0} \right)$ thì cabin đến điểm $M$. Khi đó tọa độ điểm $M$ là $M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${x_B} = 550$, khi đó quãng đường $AB$ dài 800 m.

d) Đường cáp $AB$ tạo với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ một góc $30^\circ$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí $I\left( {10;\,\,20;\,\,30} \right)$ với bán kính phủ sáng là $3$km.

a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là

${\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 20} \right)^2} + {\left( {z - 30} \right)^2} = {3000^2}$.

b) Người đi biển ở vị trí $A\left( {50;20;0} \right)$ nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.

c) Người đi biển ở vị trí $B\left( {4030;\,\,50;\,\,40} \right)$ nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.

d) Nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá $6$km.

Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục toạ độ $Axyz$ như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $AA',\,BB',\,CC'$ và $DD'$. Phần mái là tứ giác $A'B'C'D'$ và hình vuông $ABCD$ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $AB = 25\,{\rm{m}},AA' = BB' = 4\,{\rm{m}}$ và $CC' = DD' = 3\,{\rm{m}}$.

a) Toạ độ điểm $A'\left( {0;\,0;\,4} \right)$.

b) Đường thẳng $A'D'$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.$.

c) Bác An đặt một camera ở vị trí $E$ trên cột $AA'$ và cách mặt đất $7\,{\rm{m}}$. Một vật ở vị trí $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$ thoả mãn $MA = MB = MC = MD = \sqrt {\frac{{697}}{2}}$ thì cách camera $\frac{{\sqrt {1266} }}{2}{\rm{m}}$.

d) Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng $A'D'$ và mặt đất. Khi đó $\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {626} }}\,$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I\left( {1;\,3;\,7} \right)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km.

a) Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 9$.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí điểm $A\left( {2;\,2;\,7} \right)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;\,6;\,7} \right)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Tính theo đường chim bay, khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;\,6;\,7} \right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét là $8\,$km.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right): - x + 2y + z - 3 = 0$.

a) Điểm $A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)$ nằm trên đường thẳng $d$.

b) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;\,1;\, - 1} \right)$.

c) Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $30^\circ$.

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( { - 3;\,1;\,2} \right)$, song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N\left( {a;\,b;\,c} \right)$. Giá trị $a + b + c$ bằng 3.

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O\left( {0;0;0} \right)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600\,{\rm{km}}$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc $900\,$km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).

a) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng $300\,\,{\rm{km}}$.

b) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000$.

c) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng $d$ đến vị trí điểm $M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

d) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện máy bay đến khi máy bay ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\frac{4}{3}$giờ.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ vị trí $A\left( {1;2;3} \right)$ hướng đến vị trí $B\left( {0;1; - 6} \right)$, bia chắn là mặt phẳng $\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0$, đơn vị là kilômét.

a) Điểm $B$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

b) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ $\vec v = \left( { - 2; - 2; - 18} \right)$ với vận tốc 800 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút viên đạn bắn ra đi qua điểm $B$.

c) Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị) là $60^\circ$.

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $H\left( {0;2;3} \right)$.

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $8{\rm{m}},\,9{\rm{m}},\,10{\rm{m}}$. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $B \in Ox$, $C \in Oy$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {AA'}$. Chọn gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).

a) Tọa độ các điểm $A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nhận $\overrightarrow k = \left( {0;\,1;\,1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

c) Mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Biết độ dốc của mái nhà đạt mức tiêu chuẩn khoảng từ $27^\circ$ đến $35^\circ$ thì mái nhà trên có độ dốc ở mức tiêu chuẩn.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, có hai trục $Ox,\;Oy$ đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia $Oz$ hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng $M$đặt tại điểm $A\left( {80;60;60} \right)$. Vùng phủ sóng của thiết bị $M$ có bán kính $500$ mét. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $B\left( {0; - 490;0} \right)$ và song song với trục $Ox.$

a) Một thiết bị thu sóng $N$(coi như một điểm) di chuyển trên trục $Oy$từ vị trí $B$ theo hướng của vectơ $\overrightarrow {BO}$. Thiết bị thu sóng $N$phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng $60{,}3$mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

b) Điểm $B$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

c) Một thiết bị thu sóng $N$(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng $d$ thì có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

d) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 490\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Một khu bảo tồn thiên nhiên có hai trạm kiểm lâm và một trạm quan sát. Trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét), hai trạm kiểm lâm và trạm quan sát có vị trí lần lượt là $A\left( {10;5;0} \right)$, $B\left( {70;85;0} \right)$ và $I\left( {20;65;0{,}2} \right)$. Một thiết bị bay không người lái (drone) được thiết kế bay trên đường thẳng đi qua hai điểm $C\left( {10;5;0{,}1} \right)$ và $D\left( {70;85;0{,}1} \right)$ để truyền tín hiệu và dữ liệu về trạm quan sát $I$.

a) Khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì vị trí của drone là $K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0{,}1} \right)$.

b) Cùng một thời điểm, một xe máy xuất phát từ $A$ đi đến $B$ với vận tốc $40$km/h và một ô tô xuất phát từ $B$ đi đến $A$ với vận tốc $60$km/h, sau đó gặp nhau tại $M$. Drone phải di chuyển trước đến vị trí $H$ có hình chiếu trên $AB$ là $M$để truyền dữ liệu về trạm quan sát $I$. Khi đó vị trí của drone là $\left( {34;37;0{,}1} \right)$.

c) Trạm quan sát $I$ nhìn đoạn thẳng $AB$ dưới một góc nhỏ hơn $65^\circ$.

d) Phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0{,}1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng $38^\circ$ so với hướng tây (Hình 2).

Hình 1	Hình 2

Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau $30$m và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc $O$ của hệ trục $Oxyz$, với tia $Oz$ vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng $\left( Q \right):x + ay + bz + c = 0$ với $c = \frac{m}{{\sin n^\circ }}$. Tính $m + n$.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100$m, chiều rộng $OD = 60$m và tọa độ điểm $B\left( {10;10;8} \right)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( {OACB} \right)$ có dạng $ax + y + cz + d = 0$. Tính giá trị biểu thức $a + c + d$.

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm $A,B,C,D$ như hình vẽ:

Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB = 25\,{\rm{m}}$, $AD = 15\,{\rm{m}}$, $BC = 18\,{\rm{m}}$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta lấy độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10\,{\rm{cm}}$, $a\,\,{\rm{cm}}$, $6\,{\rm{cm}}$ tương ứng. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^\circ$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A\left( {2;1;5} \right)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $\left( P \right)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục).

Tại một nút giao thông có $2$ con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$; ${d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}$.