Bài tập ôn tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 7 có đáp án

Ta có $y' = 3{x^2} - 2$.

Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là $y'\left( 2 \right) = 10$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y = 10\left( {x - 2} \right) + 4 = 10x - 16$. Chọn C.

Ta có $v\left( t \right) = S' = gt$.

Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây là $v\left( 4 \right) = 9{,}8 \cdot 4 = 39{,}2$ m/s. Chọn D.

Ta có $y' = 3{x^2}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $\left( { - 1; - 1} \right)$ là $y'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 3$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2$. Chọn D.

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x;f''\left( x \right) = 6x - 2$.

Do đó $f''\left( 1 \right) = 6 \cdot 1 - 2 = 4$. Chọn C.

Ta có $y' = 2f'\left( x \right) - g'\left( x \right)$.

Khi đó $y'\left( 1 \right) = 2f'\left( 1 \right) - g'\left( 1 \right) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. Chọn A.

$v\left( t \right) = f'\left( t \right) = {t^2} - 2t + 4$; $a\left( t \right) = f''\left( t \right) = 2t - 2$.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 2$ giây là $a\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ m/s$^{2}$. Chọn D.

Ta có $y' = 3{x^2} - 2$; $y'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 2 = 1$.

Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ là $y'\left( { - 1} \right) = 1$. Chọn D.

Ta có $f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4$.

Ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 1\end{array} \right.$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1;x = 4$. Chọn A.

a) $y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$.

b) Có ${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime }$$= {\left[ {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \right]^\prime }$$= \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - 2x} \right) - 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)$

$= - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2$.

Khi đó ${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0$$\Leftrightarrow - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2 = 0$.

Thay lần lượt $x = 0;x = 2$ vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy $T = \left\{ {0;2} \right\}$ không là tập nghiệm của phương trình${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0$.

c) Có $y' = g'\left( x \right) = - 2$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ bằng $- 2$.

d) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ là $f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 = - 3$.

Với ${x_0} = 1$ thì ${y_0} = - 1$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 3\left( {x - 1} \right) - 1 = - 3x + 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Điều kiện $x \ne 1$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Ta có $y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là $y'\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 1$.

Với $x = 2 \Rightarrow y = 2$.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - \left( {x - 2} \right) + 2 = - x + 4$.

c) Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $y = - x$ nên $\frac{-1}{{(x-1)}^{2}}=-1\Leftrightarrow {(x-1)}^{2}=1\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=2\end{matrix}$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 0$. Khi đó tiếp tuyến trùng với đường thẳng $y = - x$ (loại).

Với $x = 2 \Rightarrow y = 2$ thì tiếp tuyến là $y = - x + 4$ (theo câu b).

d) Có $f''\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}$. Khi đó $f''\left( 3 \right) = \frac{2}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^3}}} = \frac{1}{4}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $f'\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$. Khi đó $f'\left( { - 1} \right) = \frac{5}{{{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}} = 5$.

b) $f'\left( x \right) = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

c) $f''\left( x \right) = - \frac{{10\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}} = - \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$.

d) Có $f'\left( x \right) > 0$$\Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0$$\Leftrightarrow x \ne - 2$.

Tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right) > 0$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $V\left( t \right) = S'\left( t \right) = gt$ (m/s).

b) Thời gian từ khi vật được thả đến khi vật chạm đất là:

$\frac{1}{2}g{t^2} = 147$$\Leftrightarrow 9{,}8{t^2} = 294 \Leftrightarrow {t^2} = 30 \Leftrightarrow t = \sqrt {30} \approx 5$ giây.

c) Vận tốc của vật tại thời điểm chạm đất là $V\left( {\sqrt {30} } \right) = 9{,}8 \cdot \sqrt {30} \approx 54$ m/s.

d) Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ giây là $a\left( t \right) = V'\left( t \right) = g$ (m/s$^{2}$).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Có $y' = - 12{x^2} + x - 2$. Suy ra $a = - 12;b = 1;c = - 2$.

Do đó $a + b + c = - 13$.

b) Có $y' = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + x - 2 = 0$.

Có $\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 12} \right) \cdot \left( { - 2} \right) < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

c) Thay $x = 0$ vào $y'$ ta được $y' = - 2$.

Suy ra đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$.

d) Có $y' = 3 \Leftrightarrow - 12{x^2} + x - 2 = 3$$\Leftrightarrow - 12{x^2} + x - 5 = 0$.

Có $\Delta = {1^2} - 4 \cdot \left( { - 12} \right) \cdot \left( { - 5} \right) < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Do đó đồ thị hàm số $y'$ không cắt đường thẳng $y = 3$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) $y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$.

b) Có ${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime }$$= {\left[ {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \right]^\prime }$$= \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {1 - 2x} \right) - 2\left( {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right)$

$= - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2$.

Khi đó ${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0$$\Leftrightarrow - 8{x^3} + 21{x^2} - 6x - 2 = 0$.

Thay lần lượt $x = 0;x = 2$ vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

Vậy $T = \left\{ {0;2} \right\}$ không là tập nghiệm của phương trình${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = 0$.

c) Có $y' = g'\left( x \right) = - 2$.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ bằng $- 2$.

d) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ là $f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 = - 3$.

Với ${x_0} = 1$ thì ${y_0} = - 1$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 3\left( {x - 1} \right) - 1 = - 3x + 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $f'\left( x \right) = 1$.

b) $g'\left( x \right) = {e^x}$. Khi đó $g'\left( 0 \right) = {e^0} = 1$.

c) ${\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left[ {\left( {x + 1} \right) \cdot {e^x}} \right]^\prime } = {e^x} + \left( {x + 1} \right) \cdot {e^x} = \left( {x + 2} \right) \cdot {e^x}$.

d) ${\left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right]^\prime } = {\left( {\frac{{x + 1}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{{e^x} - \left( {x + 1} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{{ - x}}{{{e^x}}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Có $y' = {e^{4x}} + 4x{e^{4x}}$.

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc $k = y'\left( 1 \right) = {e^4} + 4{e^4} = 5{e^4}$.

b) $y' = {e^{4x}} + 4x{e^{4x}}$$= {e^{4x}} + 4y$.

c) $y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)$$\Leftrightarrow {e^{4x}} + 4x{e^{4x}} = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)$$\Leftrightarrow \left( {1 + 4x} \right){e^{4x}} - \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + 4x = 0\\{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\{e^{4x}} - {e^{2x}} + 2 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - \frac{1}{4}$.

Do đó phương trình $y' = \left( {1 + 4x} \right)\left( {{e^{2x}} + 2} \right)$ có đúng 1 nghiệm âm.

d) $y'' = {\left( {{e^{4x}} + 4x{e^{4x}}} \right)^\prime } = 4{e^{4x}} + 4{e^{4x}} + 16x{e^{4x}} = \left( {8 + 16x} \right){e^{4x}}$.

Suy ra $a = 16;b = 8$. Vậy ${a^2} + {b^2} = 320$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2,\forall x \in \mathbb{R}$.

b) $f''\left( x \right) = {2^x}{\left( {\ln 2} \right)^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

c) $f'\left( x \right) = {e^x}$$\Leftrightarrow {2^x}\ln 2 = {e^x}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} = \frac{1}{{\ln 2}}$$\Leftrightarrow x = {\log _{\frac{2}{e}}}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) < 0$.

d) $f'\left( 1 \right) = {2^1}\ln 2 = 2\ln 2$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Điều kiện $\frac{x}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 0\end{array} \right.$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$.

b) Ta có $y' = \frac{{{{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)}^\prime }}}{{\frac{x}{{x + 1}}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cdot \frac{{x + 1}}{x} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + x}}$.

c) $y'\left( 3 \right) = \frac{1}{{{3^2} + 3}} = \frac{1}{{12}}$.

d) Có $f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$.

Do đó $T = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2025} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}$$= 1 - \frac{1}{{2026}} = \frac{{2025}}{{2026}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Vì $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ nên $3 = \frac{{a - 1}}{{b - 1}} \Leftrightarrow a - 1 = 3\left( {b - 1} \right) \Leftrightarrow a = 3b - 2$.

Có $y' = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {bx - 1} \right)}^2}}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A\left( {1;3} \right)$ là $k = \frac{{ - a + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3b + 2 + b}}{{{{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{b - 1}}$.

Vì hệ số góc nguyên dương nên $b - 1$ thuộc vào các ước âm của −2.

Khi đó $\left[ \begin{array}{l}b - 1 = - 1\\b - 1 = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - 1\end{array} \right.$. Vì $b \ne 0$ nên $b = - 1 \Rightarrow a = - 5$.

Do đó $T = a + 5b = - 5 + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = - 10$.

Trả lời: −10.

Ta có $f'\left( x \right) = 4\sin 2x\cos 2x - 3\sin 3x$.

Ta có $f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\sin \pi \cos \pi - 3\sin \frac{{3\pi }}{2} = 3$.

Trả lời: 3.

Ta có $v\left( t \right) = - 3t + 15$.

Thời điểm xảy ra va chạm thì ô tô đi được quãng đường 15,5 m.

Khi đó $- \frac{3}{2}{t^2} + 15t = 15{,}5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{15 + 2\sqrt {33} }}{3}\\t = \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}\end{array} \right.$.

Vì $0 \le t \le 5$ nên $t = \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}$.

Khi đó vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm là

$v\left( {\frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3}} \right) = - 3 \cdot \frac{{15 - 2\sqrt {33} }}{3} + 15 = 2\sqrt {33} \approx 11{,}5$ (m/s).

Trả lời: 11,5.

Ta có $v'\left( t \right) = - gt$.

Thời điểm mà vật vừa chạm đất thì $h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 50 - \frac{1}{2} \cdot 9{,}8{t^2} = 0$$\Leftrightarrow t = \frac{{10\sqrt 5 }}{7}$.

Khi đó ${v_1} = v'\left( {\frac{{10\sqrt 5 }}{7}} \right) = - 9{,}8 \cdot \frac{{10\sqrt 5 }}{7} = - 14\sqrt 5 \approx - 31$.

Vậy $\left| {{v_1}} \right| = 31$.

Trả lời: 31.

$f'\left( x \right) = \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }}$.

Có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \frac{x}{{2\sqrt {x + 1} }} = 0$$\Leftrightarrow \frac{{2\left( {x + 1} \right) + x}}{{2\sqrt {x + 1} }} = 0$$\Leftrightarrow \frac{{3x + 2}}{{2\sqrt {x + 1} }} = 0$$\Leftrightarrow 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{3}$.

Suy ra $m = 2;n = 3 \Rightarrow m + n = 5$.

Trả lời: 5.

Có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y'\left( 1 \right) = \frac{2}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Khi đó $d$ cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A\left( { - 1;0} \right),B\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$.

Khi đó $\Delta OAB$ vuông tại $O$ và có diện tích là ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Trả lời: 0,25.

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$$= \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$;

$f''\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}$$= \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$.

Có $f''\left( x \right) > 0$$\Leftrightarrow \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$.

Mà $x \in \mathbb{Z},x \le 2024$ nên $x \in \left\{ {0;1;2;...;2024} \right\}$.

Vậy có 2025 giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của đề.

Trả lời: 2025.

Vận tốc của hạt sau $t$ giây là

$v\left( t \right) = S'\left( t \right) = {\left( {15 + 2\sqrt 3 \sin \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)} \right)^\prime }$$= 2\sqrt 3 \cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right) \cdot {\left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)^\prime }$$= 6\sqrt 3 \pi \cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)$.

Vì $\left| {\cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)} \right| \le 1$ nên $\left| {6\sqrt 3 \pi \cos \left( {3\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)} \right| \le 6\sqrt 3 \pi$ hay $\left| {v\left( t \right)} \right| \le 6\sqrt 3 \pi$.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là $6\sqrt 3 \pi \approx 32{,}6$.

Trả lời: 32,6.

Với $x \ne 1$ thì $f\left( x \right)$ là tổng của 2019 số hạng đầu của cấp số nhân với ${u_1} = 1;q = x$ nên ta được:

$f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^{2019}}}}{{1 - x}} = \frac{{{x^{2019}} - 1}}{{x - 1}}$.

Khi đó $f'\left( x \right) = \frac{{2019{x^{2018}}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra $f'\left( 2 \right) = \frac{{2019 \cdot {2^{2018}}\left( {2 - 1} \right) - \left( {{2^{2019}} - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = 2017 \cdot {2^{2018}} + 1$.

Vậy $a = 2017,b = 2018 \Rightarrow a + b = 4035$.

Trả lời: 4035.

Ta có ${y}^{'}=-{e}^{-x}\cdot \sin x+{e}^{-x}\cos x$ ; ${y}^{''}={e}^{-x}\sin x-{e}^{-x}\cos x-{e}^{-x}\cos x-{e}^{-x}\sin x=-2{e}^{-x}\cos x$

Khi đó $y'' + 2y' = 0$$\Leftrightarrow - 2{e^{ - x}}\cos x + 2\left( { - {e^{ - x}} \cdot \sin x + {e^{ - x}}\cos x} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - 2{e^{ - x}} \cdot \sin x = 0$$\Leftrightarrow \sin x = 0$$\Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ {0;4\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi ;3\pi ;4\pi } \right\}$ hay phương trình đã cho có 5 nghiệm trên đoạn $\left[ {0;4\pi } \right]$.

Trả lời: 5.

a) Ta có $f'\left( x \right) = {x^2} - 6x + 8$.

Ta có $f'\left( x \right) \le 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 \le 0$$\Leftrightarrow 2 \le x \le 4$.

b) Tiếp tuyến $\Delta$ của $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \frac{1}{3}x + 2$ nên $k \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 3$.

Khi đó $f'\left( x \right) = 3$$\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\end{array} \right.$.

D tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ lớn hơn 2 nên $x = 5 \Rightarrow y = \frac{{14}}{3}$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của $\Delta$ là $y = 3\left( {x - 5} \right) + \frac{{14}}{3} = 3x - \frac{{31}}{3}$.

Ta có $y' = {\left( {x\cos x} \right)^\prime } = \cos x - x\sin x$;

$y'' = {\left( {\cos x - x\sin x} \right)^\prime } = - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) = - 2\sin x - x\cos x$.

Khi đó $y'' + y + 2\sin x = - 2\sin x - x\cos x + x\cos x + 2\sin x = 0$.

a) $y' = \frac{{{{\left( {2{x^2} - 5x + 2} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }} = \frac{{4x - 5}}{{2\sqrt {2{x^2} - 5x + 2} }}$.

b) $y' = {\left( {\tan 2x} \right)^\prime } - \frac{1}{3}{\left( {\cot 4x} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt {\sin x} } \right)^\prime } = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}} + \frac{4}{{3{{\sin }^2}4x}} + \frac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x} }}$.

c) $y' = \frac{{{{\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right]}^\prime }{{\left( {x - 1} \right)}^3} - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}{{\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} \right]}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{4\left( {2x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^3} - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \frac{{4\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {{\left( {2x + 1} \right)}^2}3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} - 16x - 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}.\end{array}$

Ta có $v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 2t \cdot {e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t \cdot {e^{3t + 1}}$.

Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là $v\left( 1 \right) = 2 \cdot 1 \cdot {e^{{1^2} + 3}} + 2{e^{3 \cdot 1 + 1}} + 6 \cdot 1 \cdot {e^{3 \cdot 1 + 1}} = 10{e^4}$ (km/s).

Vận tốc tức thời của vật là $v\left( t \right) = x'\left( t \right) = - \pi \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm/s).

Gia tốc tức thời của vật là $a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm/s$^{2}$).

Ta có $v\left( t \right) = \frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = \frac{{16}}{3} + 8k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Với $t = 8k$. Do $t > 0 \Rightarrow 8k > 0 \Rightarrow k > 0$.

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 1 \Rightarrow t \ge 8$ (1).

Với $t = \frac{{16}}{3} + 8k$. Do $t > 0 \Rightarrow \frac{{16}}{3} + 8k > 0 \Rightarrow k > - \frac{2}{3}$.

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \ge 0 \Rightarrow t \ge \frac{{16}}{3}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra lần đầu tiên vật đạt vận tốc $\frac{\pi }{2}\left( {{\rm{cm/s}}} \right)$ tại thời điểm $t = \frac{{16}}{3}$ (giây).

Suy ra $a\left( {\frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{{\pi ^2}\sqrt 3 }}{8}\left( {{\rm{cm/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$.