Bài tập ôn tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 3 có đáp án

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Do đó hàm số liên tục tại $x = 1$. Chọn D.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} - {x^2} + 1}} - \sqrt {{x^2} + 3} } \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} - \left| x \right|\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + x\sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right)$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( {\sqrt[3]{{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right) = - \infty$. Chọn B.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{5x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^4} + 4{x^2}} }}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x\left( {5 - x} \right)}}{{ - x\sqrt {{x^2} + 4} }}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {5 - x} \right)}}{{ - \sqrt {{x^2} + 4} }}$$= - \frac{5}{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}} \right) = m - \frac{3}{2} = f\left( 0 \right)$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 0$ thì $m - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow m = - 1$. Chọn A.

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ nên

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2$. Chọn A.

Ta có ${S_n} = 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}$$= \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right]$.

Suy ra $\lim {S_n}$$= \lim \frac{9}{5} \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^n}} \right] = \frac{9}{5}$. Chọn A.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + ax + 5} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{\sqrt {{x^2} + ax + 5} - x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ax + 5}}{{ - x\sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{5}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{a}{2}$.

Suy ra $- \frac{a}{2} = 5 \Leftrightarrow a = - 10$.

Thay $a = - 10$ vào phương trình ${x^2} - 11x + 10 = 0$ ta thấy thỏa mãn. Chọn B.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - x - 1} \right) = 1$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1$.

c) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ nên hàm số liên tục tại điểm $x = 2$.

d) Với $x \in \left( { - \infty ;2} \right)$, hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$;

Với $x \in \left( {2; + \infty } \right)$, hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - x - 1$ liên tục trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Theo câu c, hàm số liên tục tại $x = 2$.

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $D = \mathbb{R}$.

b) $f\left( 0 \right) = m \cdot {0^2} + 2m + \frac{1}{4} = 2m + \frac{1}{4}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{x\left( {\sqrt {x + 4} + 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 4} + 2}} = \frac{1}{4}$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m{x^2} + 2m + \frac{1}{4}} \right) = 2m + \frac{1}{4}$.

Để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0$ thì $2m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Với $x \in \left( {1; + \infty } \right)$, hàm số $y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}$ liên tục trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}$.

c) Với $x \in \left( { - \infty ;1} \right)$, hàm số $f\left( x \right) = - \frac{x}{2}$ liên tục trên $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục tại điểm ${x_0} = 0$.

Hàm số $y = \sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y = \sin x$ liên tục tại điểm ${x_0} = 0$.

Do đó hàm số $y = f\left( x \right) + \sin x$liên tục tại điểm ${x_0} = 0$.

d) Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}\;\;} \right) = - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{f\left( x \right)}} = 0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 3}} = \infty$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 3} \right) = 0$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = - \infty$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0$ và ${\left( {x - 3} \right)^2} > 0$ khi $x \to 3$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{f\left( x \right)}} = 0$ vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = - 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {\left( {x - 3} \right)^2} = 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Hàm số mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\30 + 20\left( {x - 1} \right)\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.$ hay $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 < x \le 1\\10 + 20x\;\;{\rm{khi}}\;x > 1\end{array} \right.$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30$.

c) Số tiền phải trả trong 2,5 giờ đầu là $f\left( {2{,}5} \right) = 10 + 20 \cdot 2{,}5 = 60$ nghìn đồng.

d) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {10 + 20x} \right) = 30 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Do đó hàm số liên tục tại $x = 1$.

Với $x \in \left( {0;1} \right)$, $f\left( x \right) = 30$ liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.

Với $x \in \left( {1; + \infty } \right)$, $f\left( x \right) = 10 + 20x$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - 4n + 7}}{{8{n^2} + 3n + 10}}$$= \lim \frac{{2 - \frac{4}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{8 + \frac{3}{n} + \frac{{10}}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{4}$.

b) $\lim {v_n} = \lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5} }}{{8n}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{{{n^2}}}} }}{8} = \frac{1}{4}$. Suy ra $\lim \left( {{v_n} - \frac{1}{4}} \right) = 0$.

c) $\lim \left( {2{u_n} - 4{v_n}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}$.

d) $\lim \frac{{{u_n}}}{{2{v_n}}} = \frac{1}{4}:\left( {2 \cdot \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}$$= \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left| {x - 2} \right|}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x} \right) = - 2$.

d) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x \to 2$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Với $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]$, $f\left( x \right) = {x^2} + x + 1$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right]$.

Suy ra hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục tại điểm $x = - 2$.

b) Với $x \in \left( { - 1;1} \right)$, $f\left( x \right) = x + 2$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Suy ra hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = 0$.

c) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 1 = f\left( { - 1} \right)$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục tại điểm $x = - 1$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục tại điểm $x = 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $f\left( 2 \right) = 2a + 2024$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 4$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {ax + 2024} \right) = 2a + 2024$.

d) Để tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$ thì $2a + 2024 = 4 \Leftrightarrow a = - 1010$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\lim {v_n} = \lim \left( {3 - \frac{5}{{{2^n}}}} \right) = 3$.

b) $\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^2} - n + 1}}{{a{n^2} + n + 2}}$$= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}$$= \frac{2}{a}$.

Với $a = 1$ thì $\lim {u_n} = 2$.

c) $\lim {u_n} = 1$ thì $\frac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 2$.

Theo câu a, ta có $b = 3$. Do đó $a \cdot b = 6$.

d) Với $a = 0$ thì dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn vô cực.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2$.

Suy ra $a = - 6;b = - 2$. Vậy ${a^2} + {b^2} = 40$.

Trả lời: 40.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right) = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {a{x^2} + bx - 2} \right) = 0$ hay $4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + \left( {1 - 2a} \right)x - 2}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {a{x^2} - 2ax} \right) + \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {ax + 1} \right)}}{{x - 2}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {ax + 1} \right) = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 3$.

Vậy $S = - 4$.

Trả lời: −4.

Từ giả thiết ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {f\left( x \right) - 20} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 20$.

$T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6f\left( x \right) + 5 - 125}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{6\left[ {f\left( x \right) - 20} \right]}}{{\left( {x - 2} \right)}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}}} \right)}^2} + 5\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} + 25} \right]}}$

$= 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{{5 \cdot \left( {25 + 25 + 25} \right)}} \approx 0{,}2$.

Trả lời: 0,2.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 5} + 3} \right)}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $a = 2;b = 3$. Vậy $a + b = 5$.

Trả lời: 5.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Do đó $S = 4$.

Trả lời: 4.

Ta có $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{100x\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)}}{x}$$= 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 100\left( {\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} - 3x} \right)$$= 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18x + 12}}{{\sqrt {9{x^2} + 18x + 12} + 3x}}$$= 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {18 + \frac{{12}}{x}} \right)}}{{x\left( {\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3} \right)}}$$= 100\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{18 + \frac{{12}}{x}}}{{\sqrt {9 + \frac{{18}}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} + 3}} = 300$.

Trả lời: 300.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - x}}{{5x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}}{5} = - \frac{3}{5}$.

Suy ra $a = - 3;b = 5$. Do đó $P = a + b = 2$.

Trả lời: 2.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {f\left( x \right) + 4x - 1} \right]$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {4x - 1} \right)$$= - 2 + 11 = 9$.

Trả lời: 9.

Ta có $\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}$.

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 55}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{{55}}{x}} \right) = 2$.

Trả lời: 2.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 0{,}5$.

Trả lời: 0,5.

a) $\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}$$= \lim \frac{{1 + \frac{5}{n}}}{{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{3}$.

b) $\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}$$= \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 2}}{{5 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}} = - \frac{2}{5}$.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 1} \right) = - 3$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{x - 7}}{{\left( {{x^2} - 49} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {\sqrt {x - 3} + 2} \right)}} = \frac{1}{{56}}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2 + 4 - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} - 2}}{{3{x^2} + 2x - 5}}$