Bài tập ôn tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 1 có đáp án

$P = \sin \left( {\pi + \alpha } \right)\cos \left( {\pi - \alpha } \right)$$= \sin \alpha \cos \alpha$.

$Q = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)$$= - \cos \alpha \sin \alpha$.

Suy ra $P + Q = 0$. Chọn A.

$\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = - \tan \alpha < 0$ vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ $\Rightarrow \tan \alpha > 0$.

Có $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$$\Rightarrow \frac{{5\pi }}{2} < \frac{{3\pi }}{2} + \alpha < 3\pi$$\Rightarrow \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \alpha } \right) < 0$.

Ta có $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$$\Rightarrow - \frac{{3\pi }}{2} < - \alpha < - \pi$$\Rightarrow 0 < \frac{{3\pi }}{2} - \alpha < \frac{{3\pi }}{2} - \pi$$\Rightarrow 0 < \frac{{3\pi }}{2} - \alpha < \frac{\pi }{2}$.

Do đó $\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0;\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0 \Rightarrow \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) > 0$. Chọn B.

Vì $\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ nên $\cos \alpha < 0$.

Có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$ $\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}$. Chọn B.

Điều kiện: $1 + \cos x \ne 0$$\Leftrightarrow \cos x \ne - 1$$\Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Chọn C.

Ta có $0 \le {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow 0 \le 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 3$$\Leftrightarrow 4 \le 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4 \le 7$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{{12}}} \right) + 4$ bằng 7. Chọn A.

Ta có $- 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2$.

Suy ra $M = 2;m = - 2$. Do đó $P = M - m = 4$. Chọn B.

Điều kiện: $\cos 2x \ne 0$$\Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

$\sqrt 3 \tan 2x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$.

Kết hợp điều kiện ta có $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$. Chọn C.

Điều kiện: $\sin \left( {x + 45^\circ } \right) \ne 0$$\Leftrightarrow x + 45^\circ \ne k180^\circ$$\Leftrightarrow x \ne - 45^\circ + k180^\circ$.

$\cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$$\Leftrightarrow \cot \left( {x + 45^\circ } \right) = \cot 60^\circ$$\Leftrightarrow x + 45^\circ = 60^\circ + k180^\circ$$\Leftrightarrow x = 15^\circ + k180^\circ$.

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm phương trình là $x = 15^\circ + k180^\circ$. Chọn A.

$2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = k\pi$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]$ nên $\pi \le - \frac{\pi }{3} + k\pi \le 2\pi$$\Leftrightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{7}{3}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 2.

Do đó phương trình $2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0$ có 1 nghiệm thuộc đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$. Chọn B.

Điều kiện: $\cos x \ne 0$$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}$$\Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi$.

Vì $x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)$ nên $\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{8} + k\pi < 2\pi$$\Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{13}}{8}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 0; k = 1.

Suy ra các nghiệm của phương trình là $x = \frac{{3\pi }}{8};x = \frac{{11\pi }}{8}$.

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{{3\pi }}{8} + \frac{{11\pi }}{8} = \frac{{7\pi }}{4}$. Chọn A.

Điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$.

Ta có $\sqrt 3 \cot x = 1$$\Leftrightarrow \cot x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi$.

Vì nghiệm âm lớn nhất nên $k = - 1$. Suy ra $x = - \frac{{2\pi }}{3}$. Chọn A.

$\sin x = \sqrt 3 \cos x$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0$$\Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0$$\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi$$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0$.

Suy ra phương trình có 1 nghiệm trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$. Chọn D.

a) Vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0$.

b) Ta có ${\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{15}}{{32}}$$\Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt {30} }}{8}$.

c) Ta có ${\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 + {{\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{17}}{{32}}$$\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {34} }}{8}$.

d) $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{{\sqrt {34} }}{8}: - \frac{{\sqrt {30} }}{8} = \frac{{\sqrt {255} }}{{18}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) b) Vì $\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi$ nên $\sin x < 0;\cos x > 0$.

Ta có $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$$\Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = 4$$\Rightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{4}$$\Rightarrow \sin x = - \frac{1}{2}$.

Ta có $\cos x = \cot x.\sin x = \left( { - \sqrt 3 } \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

c) $\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - x} \right) = \sin \frac{{4\pi }}{3}\cos x - \cos \frac{{4\pi }}{3}\sin x$$= \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right)\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4} - \frac{1}{4} = - 1$.

d) Vì $\cot x = - \sqrt 3$$\Rightarrow \tan x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

$\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{3}}}$$= \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 }}{{1 - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\sqrt 3 }}$$= \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $f\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) - 1 = 1 - 1 = 0$.

b) Ta có $f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 2x} \right) - 1 = - \tan 2x - 1 \ne f\left( x \right)$.

Do đó hàm số f(x) không là hàm số chẵn.

c) Điều kiện $\cos 2x \ne 0$$\Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$ và tập giá trị là ℝ.

d) Hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{\pi }{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

$y = f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - 5$$= 2.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - 5$$= - 4 - \cos 2x$.

a) Hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$.

b) Ta có $f\left( { - x} \right) = - 4 - \cos \left( { - 2x} \right) = - 4 - \cos 2x = f\left( x \right)$. Do đó hàm số là hàm số chẵn.

c) Có $- 1 \le - \cos 2x \le 1$$\Leftrightarrow - 5 \le - 4 - \cos 2x \le - 3$.

Giá trị lớn nhất của hàm số là −3 khi $\cos 2x = - 1$$\Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là −5.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x$.

Điều kiện $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) $f\left( x \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x$.

c) $f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow - \tan x = 1$$\Leftrightarrow \tan x = - 1$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

d) Vì $x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]$ nên $- \pi \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2\pi$$\Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le k \le \frac{9}{4}$ mà k ℤ nên k = 0; k = 1; k = 2.

Khi đó phương trình có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4}$.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là $- \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{9\pi }}{4}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Số lượng bướm ban đầu ứng với t = 0. Khi đó $P\left( 0 \right) = 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}.0} \right) = 3$ nghìn con.

b) Ta có $- 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 1$$\Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 2$$\Leftrightarrow 1 \le 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) \le 5$.

Suy ra số lượng bướm nhỏ nhất là 1 nghìn con.

c) Theo câu b, ta có số lượng bướm luôn dao động từ 1 nghìn con đến 5 nghìn con.

d) Ta có $3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) = 4$$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6}t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{6}t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 12k\\t = 5 + 12k\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Số lượng bướm lần đầu tiên chạm mức 4 nghìn con khi k = 0 tức là t = 1 tuần.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Ta có $- 4 \le 4\sin x \le 4$$\Leftrightarrow - 6 \le 4\sin x - 2 \le 2$.

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 2; giá trị nhỏ nhất của hàm số là −6.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.

b) $f\left( { - x} \right) = 4\sin \left( { - x} \right) - 2 = - 4\sin x - 2 \ne f\left( x \right)$.

Do đó hàm số không là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = 4\sin x - 2$ là $D = \mathbb{R}$.

d) $f\left( {150^\circ } \right) = 4\sin 150^\circ - 2 = 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Chu kì tuần hoàn của hàm số là $T = 2\pi$.

b) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

c) Tập giá trị của hàm số là $T = \left[ { - 1;1} \right]$.

d) $\sin x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Tập nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ là $S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f\left( { - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = 1$.

b) Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$.

c) Trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ đường thẳng $y = - \frac{1}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y = \sin x$ tại 6 điểm phân biệt.

Do đó trên đoạn $\left[ { - 3\pi ;3\pi } \right]$ phương trình $\sin x = - \frac{1}{3}$ có 6 nghiệm phân biệt.

d) Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $f\left( x \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ; - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Vì $x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ nên $\left[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\\ - \frac{\pi }{2} \le - \frac{\pi }{3} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\\ - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{17}}{{12}}\end{array} \right.$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $\left[ \begin{array}{l}k = 0;k = 1\\k = 0;k = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3};x = \frac{{7\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{3};x = \frac{{5\pi }}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra phương trình có 4 nghiệm trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = \frac{1}{2}$trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là $\frac{\pi }{3} + \frac{{7\pi }}{3} + \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{5\pi }}{3} = 4\pi$.

d) $f\left( x \right) = g\left( x \right)$$\Leftrightarrow \cos x = \sin 5x$$\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x = - x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

$P = {\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 4{\cos ^2}x$$= 1 + 4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{13}}{9} \approx 1{,}4$.

Trả lời: 1,4.

$A = {\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)^2} + {\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)^2}$$= {\cos ^2}\alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + {\cos ^2}\beta + {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + {\sin ^2}\beta$

$= 2 + 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)$$= 2 + 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)$$= 2 + 2\cos \frac{\pi }{3} = 3$.

Trả lời: 3.

Tốc độ góc của quạt trần là $\frac{{45}}{{60}}.2\pi = \frac{{3\pi }}{2}\left( {rad/s} \right)$.

Sau 5 giây quạt quay được một góc có số đo là $\frac{{3\pi }}{2}.5 = \frac{{15\pi }}{2}$.

Suy ra a = 15; b = 2. Do đó b – a = −13.

Trả lời: −13.

Ta có $- 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1$$\Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4$$\Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14$.

Số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là 14 khi $\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = 149 + 356k$.

Vì $0 < t \le 365$ nên ngày có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày 149.

Số giờ có ít ánh sáng mặt trời nhất là 6 khi $\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = - 29 + 356k$.

Vì $0 < t \le 365$ nên ngày có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày 327.

Suy ra $a = 149;b = 327$. Do đó $a + b = 476$.

Trả lời: 476.

$\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0$$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \cos x + 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) + \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + \sin x - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x + \sin x - 2 = 0\end{array} \right.$.

TH1: $\sin x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]$ nên $x = \frac{\pi }{6};x = - \frac{{11\pi }}{6}$; $x = \frac{{5\pi }}{6};x = - \frac{{7\pi }}{6}$.

TH2: $\cos x + \sin x - 2 = 0$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2$$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2$ (vô nghiệm).

Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{{11\pi }}{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} + \left( { - \frac{{7\pi }}{6}} \right) = - 2\pi$.

Suy ra $a = - 2;b = 1$. Do đó $a - b = - 3$.

Trả lời: −3.

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ {0;2025\pi } \right]$ nên $0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2025\pi$$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{8101}}{4}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {1;2;..;2025} \right\}$.

Khi đó $S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + ... + \frac{{8099\pi }}{4}$$= \frac{\pi }{4}\left( {3 + 7 + 11 + ... + 8099} \right)$$= \frac{\pi }{4}.\frac{{\left( {3 + 8099} \right).2025}}{2} = \frac{{4051.2025\pi }}{4}$.

Khi đó $\frac{{4S}}{{2025\pi }} = \frac{4}{{2025\pi }}.\frac{{4051.2025\pi }}{4} = 4051$.

Trả lời: 4051.

$\sin 2x + 2 = m$$\Leftrightarrow \sin 2x = m - 2$.

Để phương trình có nghiệm thì $- 1 \le m - 2 \le 1$$\Leftrightarrow 1 \le m \le 3$.

Suy ra $a = 1;b = 3$. Do đó $a + b = 4$.

Trả lời: 4.

Ta có $0 \le \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| \le 3$ hay $0 \le h \le 3$.

Đẳng thức $h = 3$ xảy ra khi và chỉ khi $\left| {\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right| = 1$ $\Leftrightarrow \sin \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = 0$$\Leftrightarrow \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3} = k\pi$$\Leftrightarrow 2t - 1 = 3k$$\Leftrightarrow t = \frac{{3k + 1}}{2}\left( {k \in \mathbb{Z},3k + 1 \ge 0} \right)$.

Ta thấy $0 \le \frac{{3k + 1}}{2} \le 10$$\Leftrightarrow 0 \le 3k + 1 \le 20$$\Leftrightarrow - 1 \le 3k \le 19$$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} \le k \le \frac{{19}}{3}$.

Mà k ℤ nên $k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$.

Các giá trị tương ứng của t là $t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;\frac{{19}}{2}} \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có 7 lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Trả lời: 7.

$y = \cos 2x - 2\cos x + 4$$= 2{\cos ^2}x - 1 - 2\cos x + 4$$= 2{\cos ^2}x - 2\cos x + 3$.

Đặt $\cos x = t, - 1 \le t \le 1$. Khi đó $y = 2{t^2} - 2t + 3$.

Hàm số $y = 2{t^2} - 2t + 3$ là một parabol có bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh của parabol là ${t_0} = \frac{1}{2}$.

Vì $\frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại ${t_0}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $y\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2.\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ đạt được tại một trong hai đầu mút.

Ta có $y\left( { - 1} \right) = 7;y\left( 1 \right) = 3$. Vậy giá trị lớn nhất là 7.

Suy ra $M = 7;m = \frac{5}{2}$. Do đó $M \cdot m = \frac{{35}}{2} = 17{,}5$.

Trả lời: 17,5.

Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\tan x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi$ (thỏa mãn điều kiện).

Vì $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $x = \frac{\pi }{3}$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Trả lời: 1.

Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0$.

Ta có ${\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos a = - \frac{4}{5}$.

Có $\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4}$$= \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

a) $E = \frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\cos ^2}\alpha$$= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha$$= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1$$= \frac{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha$.

b) $F = 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x$$= 2\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)$

$= 2{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 2$.

a) $\sin \left( {3x - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = \sin \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = - x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x - \frac{{7\pi }}{{12}} = \pi - \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

b) $\sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 3x = \frac{{3\pi }}{4} - x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 3x = - \frac{{3\pi }}{4} + x + k2\pi \end{array} \right.$